余弦定理习题课参考教案

余弦定理习题课参考教案一、教学目标1.知识与技能目标进一步巩固余弦定理，能熟练运用余弦定理及其变形公式解决各类三角形问题，包括已知三边求三角、已知两边及夹角求第三边、已知两边及一边对角求另一边的对角等。通过习题演练，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的逻辑推理和运算求解能力。2.过程与方法目标经历对各类余弦定理习题的分析、解答过程，让学生体会从条件出发，通过合理选择定理及变形公式进行推理和计算的解题思路，培养学生分析问题、解决问题的思维习惯。通过小组讨论、交流等方式，让学生在合作中相互学习、共同进步，提高学生的团队协作能力和表达能力。3.情感态度与价值观目标让学生感受数学在解决实际问题中的重要作用，体会数学的应用价值，激发学生学习数学的兴趣和热情。在解题过程中，培养学生严谨的治学态度和勇于探索的精神，增强学生学好数学的自信心。二、教学重难点1.教学重点熟练掌握余弦定理及其变形公式，并能灵活运用它们解决各种三角形问题。引导学生正确分析题目条件，合理选择解题方法，提高解题的准确性和效率。2.教学难点已知两边及一边对角求另一边的对角时，三角形解的个数的判断。利用余弦定理解决一些综合性较强的实际问题，培养学生的数学建模能力和应用能力。三、教学方法1.讲授法：通过系统讲解，向学生传授余弦定理的相关知识、解题思路和方法技巧，使学生对所学内容有一个清晰、准确的理解。2.练习法：安排适量的针对性练习题，让学生通过实际演练，巩固所学知识，提高运用余弦定理解决问题的能力。在练习过程中，教师巡视指导，及时发现学生存在的问题并进行纠正。3.讨论法：对于一些具有挑战性的问题或容易混淆的知识点，组织学生进行小组讨论。通过讨论，激发学生的思维活力，促进学生之间的思想交流，培养学生的合作意识和创新思维。4.多媒体辅助教学法：利用多媒体课件展示教学内容，如三角形的图形、例题的解答过程等，使教学更加直观形象，帮助学生更好地理解和掌握知识。同时，通过动画演示等手段，辅助讲解一些抽象的概念和复杂的解题过程，降低学生的学习难度。四、教学过程（一）知识回顾1.余弦定理教师通过多媒体展示余弦定理的内容：\(a^{2}=b^{2}+c^{2}2bc\cosA\)\(b^{2}=a^{2}+c^{2}2ac\cosB\)\(c^{2}=a^{2}+b^{2}2ab\cosC\)引导学生回顾余弦定理的推导过程，强调定理中各边和角的对应关系，让学生理解余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特殊情况（当\(\angleC=90^{\circ}\)时，\(\cosC=0\)，余弦定理就变成了勾股定理）。2.余弦定理的变形公式教师提问："根据余弦定理，我们还能得到哪些有用的变形公式呢？"引导学生思考并回答，然后通过多媒体展示余弦定理的变形公式：\(\cosA=\frac{b^{2}+c^{2}a^{2}}{2bc}\)\(\cosB=\frac{a^{2}+c^{2}b^{2}}{2ac}\)\(\cosC=\frac{a^{2}+b^{2}c^{2}}{2ab}\)强调变形公式在解题中的作用，如已知三边可求三角，已知两边及夹角可求第三边等，让学生明白熟练掌握这些公式是解决各类三角形问题的关键。（二）例题讲解1.已知三边求三角例1：在\(\triangleABC\)中，\(a=3\)，\(b=5\)，\(c=7\)，求\(\angleA\)，\(\angleB\)，\(\angleC\)。教师引导学生分析：已知三边求三角，可直接运用余弦定理的变形公式。解：由\(\cosA=\frac{b^{2}+c^{2}a^{2}}{2bc}\)，可得：\(\cosA=\frac{5^{2}+7^{2}3^{2}}{2\times5\times7}=\frac{25+499}{70}=\frac{65}{70}=\frac{13}{14}\)利用计算器求得\(\angleA\approx21.79^{\circ}\)由\(\cosB=\frac{a^{2}+c^{2}b^{2}}{2ac}\)，可得：\(\cosB=\frac{3^{2}+7^{2}5^{2}}{2\times3\times7}=\frac{9+4925}{42}=\frac{33}{42}=\frac{11}{14}\)利用计算器求得\(\angleB\approx38.21^{\circ}\)由\(\cosC=\frac{a^{2}+b^{2}c^{2}}{2ab}\)，可得：\(\cosC=\frac{3^{2}+5^{2}7^{2}}{2\times3\times5}=\frac{9+2549}{30}=\frac{1}{2}\)所以\(\angleC=120^{\circ}\)教师总结：在已知三边求三角的问题中，按照余弦定理的变形公式依次计算出三个角的余弦值，再通过反三角函数求出角的大小。计算过程中要注意准确运用公式，计算结果要保留适当的精度。2.已知两边及夹角求第三边例2：在\(\triangleABC\)中，\(a=2\)，\(c=3\)，\(\angleB=60^{\circ}\)，求\(b\)。教师引导学生分析：已知两边及其夹角，可直接使用余弦定理求第三边。解：由余弦定理\(b^{2}=a^{2}+c^{2}2ac\cosB\)，可得：\(b^{2}=2^{2}+3^{2}2\times2\times3\times\cos60^{\circ}\)\(b^{2}=4+912\times\frac{1}{2}\)\(b^{2}=136=7\)所以\(b=\sqrt{7}\)教师总结：对于已知两边及夹角求第三边的问题，直接代入余弦定理公式进行计算即可。在计算过程中，要注意先计算平方项和乘积项，再进行加减法运算，最后开方得到第三边的长度。3.已知两边及一边对角求另一边的对角例3：在\(\triangleABC\)中，\(a=2\sqrt{3}\)，\(b=6\)，\(\angleA=30^{\circ}\)，求\(\angleB\)。教师引导学生分析：已知两边及一边对角，可根据正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}\)来求解，但本题要求用余弦定理求解。解：由余弦定理\(a^{2}=b^{2}+c^{2}2bc\cosA\)，可得：\((2\sqrt{3})^{2}=6^{2}+c^{2}2\times6\timesc\times\cos30^{\circ}\)\(12=36+c^{2}6\sqrt{3}c\)\(c^{2}6\sqrt{3}c+24=0\)对于一元二次方程\(c^{2}6\sqrt{3}c+24=0\)，教师引导学生回顾求根公式\(x=\frac{b\pm\sqrt{b^{2}4ac}}{2a}\)，其中\(a=1\)，\(b=6\sqrt{3}\)，\(c=24\)。解这个方程：\(\Delta=b^{2}4ac=(6\sqrt{3})^{2}4\times1\times24=10896=12\)\(c=\frac{6\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{2}=\frac{6\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{2}\)解得\(c_{1}=4\sqrt{3}\)，\(c_{2}=2\sqrt{3}\)再由余弦定理\(\cosB=\frac{a^{2}+c^{2}b^{2}}{2ac}\)，分别计算当\(c=4\sqrt{3}\)和\(c=2\sqrt{3}\)时\(\cosB\)的值：当\(c=4\sqrt{3}\)时，\(\cosB=\frac{(2\sqrt{3})^{2}+(4\sqrt{3})^{2}6^{2}}{2\times2\sqrt{3}\times4\sqrt{3}}=\frac{12+4836}{48}=\frac{24}{48}=\frac{1}{2}\)所以\(\angleB=60^{\circ}\)当\(c=2\sqrt{3}\)时，\(\cosB=\frac{(2\sqrt{3})^{2}+(2\sqrt{3})^{2}6^{2}}{2\times2\sqrt{3}\times2\sqrt{3}}=\frac{12+1236}{24}=\frac{1}{2}\)所以\(\angleB=120^{\circ}\)教师总结：已知两边及一边对角求另一边的对角时，先用余弦定理列出关于第三边的方程，求解第三边。然后再用余弦定理求出所求角的余弦值，进而确定角的大小。在求解过程中，要注意一元二次方程的求解以及角的取值范围，因为三角形内角和为\(180^{\circ}\)，可能会出现一解、两解或无解的情况。（三）课堂练习1.在\(\triangleABC\)中，\(a=4\)，\(b=6\)，\(c=8\)，求\(\angleA\)，\(\angleB\)，\(\angleC\)。2.在\(\triangleABC\)中，\(b=5\)，\(c=3\)，\(\angleA=120^{\circ}\)，求\(a\)。3.在\(\triangleABC\)中，\(a=5\)，\(b=4\)，\(\angleA=60^{\circ}\)，求\(\angleB\)。（学生练习，教师巡视指导，及时纠正学生在解题过程中出现的错误。练习结束后，邀请几位学生上台展示他们的解题过程，教师进行点评和总结。）（四）拓展延伸1.实际应用问题例4：有一个三角形的地块，已知其三边长度分别为\(20\)米、\(30\)米、\(40\)米，求这个地块的最大内角的度数。教师引导学生分析：首先判断出最大边所对的角就是最大内角，然后运用余弦定理的变形公式求出该角的余弦值，进而得到角的度数。解：设\(a=20\)，\(b=30\)，\(c=40\)，\(c\)边所对的角\(\angleC\)为最大角。由\(\cosC=\frac{a^{2}+b^{2}c^{2}}{2ab}\)，可得：\(\cosC=\frac{20^{2}+30^{2}40^{2}}{2\times20\times30}=\frac{400+9001600}{1200}=\frac{1}{4}\)利用计算器求得\(\angleC\approx104.48^{\circ}\)教师总结：在实际应用问题中，要先将实际问题转化为数学问题，确定已知条件和所求目标，然后选择合适的数学知识和方法进行求解。在本题中，通过判断最大边所对的角为最大内角，利用余弦定理求出了最大内角的度数。2.综合问题例5：已知在\(\triangleABC\)中，\(a\)，\(b\)，\(c\)分别为角\(A\)，\(B\)，\(C\)的对边，且\(a^{2}a2b2c=0\)，\(a+2b2c+3=0\)，求\(\triangleABC\)中最大角的度数。教师引导学生分析：本题需要先通过已知条件求出三边的关系，再判断最大边，进而求出最大角。解：由\(a^{2}a2b2c=0\)可得\(2b+2c=a^{2}a\)①由\(a+2b2c+3=0\)可得\(2b2c=a3\)②①+②得：\(4b=a^{2}2a3\)，即\(b=\frac{a^{2}2a3}{4}\)①②得：\(4c=a^{2}+3\)，即\(c=\frac{a^{2}+3}{4}\)比较三边大小：\(cb=\frac{a^{2}+3}{4}\frac{a^{2}2a3}{4}=\frac{2a+6}{4}=\frac{a+3}{2}\gt0\)，所以\(c\gtb\)\(ca=\frac{a^{2}+3}{4}a=\frac{a^{2}4a+3}{4}=\frac{(a1)(a3)}{4}\)当\(a\gt3\)时，\(ca\gt0\)，\(c\gta\)当\(1\lta\lt3\)时，\(ca\lt0\)，\(c\lta\)当\(a\lt1\)时，\(ca\gt0\)，\(c\gta\)所以当\(a\gt3\)或\(a\lt1\)时，\(c\)最大；当\(1\lta\lt3\)时，\(a\)最大。当\(c\)最大时：由余弦定理\(\cosC=\frac{a^{2}+b^{2}c^{2}}{2ab}\)，将\(b=\frac{a^{2}2a3}{4}\)，\(c=\frac{a^{2}+3}{4}\)代入可得：\(\cosC=\frac{a^{2}+(\frac{a^{2}2a3}{4})^{2}(\frac{a^{2}+3}{4})^{2}}{2a\times\frac{a^{2}2a3}{4}}\)化简得：\(\cosC=\frac{a^{2}+\frac{a^{4}4a^{3}6a^{2}+12a+9}{16}\frac{a^{4}+6