中考数学教学指导：二次函数中平行四边形存在性问题

中考数学教学指导：二次函数中平行四边形存在性问题摘要：本文旨在深入探讨中考数学中二次函数里平行四边形存在性问题的解法。通过对平行四边形性质的剖析，结合二次函数的特点，详细阐述了求解此类问题的一般思路与方法，包括利用平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分等性质建立方程或方程组来求解满足条件的点的坐标，同时通过具体实例进行分析讲解，帮助学生更好地掌握这一重要考点，提升解题能力和应对中考的信心。一、引言二次函数是初中数学的重点内容，平行四边形存在性问题作为二次函数综合题中的常见题型，具有一定的难度和综合性。它不仅考查学生对二次函数图象和性质的理解，还涉及平行四边形的判定与性质等知识的运用。解决这类问题需要学生具备较强的逻辑思维能力和综合运用知识的能力，因此在中考复习中备受关注。二、平行四边形的性质1.对边平行且相等若四边形ABCD是平行四边形，则AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC。2.对角线互相平分平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则AO=CO，BO=DO。三、二次函数中平行四边形存在性问题的解题思路1.设点坐标根据已知条件，设出二次函数图象上相关点的坐标。一般设二次函数\(y=ax^2+bx+c\)（\(a≠0\)）上的点为\((x,ax^2+bx+c)\)。2.利用平行四边形性质列方程根据平行四边形对边平行且相等或对角线互相平分的性质，结合已知条件列出方程或方程组。若已知平行四边形的一组对边平行且相等：设\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，\(C(x_3,y_3)\)，\(D(x_4,y_4)\)为平行四边形的四个顶点。当AB为平行四边形的一边时，若AB∥CD且AB=CD，则可根据两点间距离公式\(d=\sqrt{(x_2x_1)^2+(y_2y_1)^2}\)列出等式\(\sqrt{(x_4x_3)^2+(y_4y_3)^2}=\sqrt{(x_2x_1)^2+(y_2y_1)^2}\)，同时结合平行关系得到关于坐标的方程。若利用对角线互相平分：设平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若AO=CO，BO=DO。已知\(A(x_1,y_1)\)，\(C(x_3,y_3)\)，则O点坐标为\((\frac{x_1+x_3}{2},\frac{y_1+y_3}{2})\)。又已知\(B(x_2,y_2)\)，可根据BO=DO列出方程求解。3.解方程求解点坐标解上述方程或方程组，得到满足条件的点的坐标。4.检验结果将求得的点坐标代入二次函数及平行四边形条件进行检验，确保结果的正确性。四、实例分析（一）已知三点求第四点构成平行四边形例1：已知二次函数\(y=x^22x3\)的图象与\(x\)轴交于\(A\)、\(B\)两点（点\(A\)在点\(B\)左侧），与\(y\)轴交于点\(C\)，顶点为\(D\)。若点\(M\)在抛物线的对称轴上，且以\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(M\)为顶点的四边形是平行四边形，求点\(M\)的坐标。1.求抛物线与坐标轴交点坐标令\(y=0\)，则\(x^22x3=0\)，即\((x3)(x+1)=0\)，解得\(x_1=1\)，\(x_2=3\)，所以\(A(1,0)\)，\(B(3,0)\)。令\(x=0\)，则\(y=3\)，所以\(C(0,3)\)。由\(y=x^22x3=(x1)^24\)，可得顶点\(D(1,4)\)，对称轴为\(x=1\)。2.设点\(M\)坐标设\(M(1,m)\)。3.分情况讨论当AB为平行四边形的边时：若\(AB\parallelCM\)且\(AB=CM\)。因为\(AB=3(1)=4\)，\(C(0,3)\)，\(M(1,m)\)，根据两点间距离公式\(\sqrt{(10)^2+(m+3)^2}=4\)。两边平方得\(1+(m+3)^2=16\)，即\((m+3)^2=15\)，解得\(m=3±\sqrt{15}\)。所以\(M(1,3+\sqrt{15})\)或\(M(1,3\sqrt{15})\)。当AB为平行四边形的对角线时：设AC与BM相交于点O，因为平行四边形对角线互相平分，则\(O\)为AC中点。\(A(1,0)\)，\(C(0,3)\)，所以\(O\)点坐标为\((\frac{1+0}{2},\frac{03}{2})\)，即\(O(\frac{1}{2},\frac{3}{2})\)。又\(B(3,0)\)，设\(M(1,m)\)，则\(\frac{3+1}{2}=\frac{1}{2}\)（不成立），或\(\frac{0+m}{2}=\frac{3}{2}\)，解得\(m=3\)。所以\(M(1,3)\)。4.检验将求得的\(M\)点坐标代入，均满足以\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(M\)为顶点构成平行四边形的条件。（二）已知两点求另外两点构成平行四边形例2：已知二次函数\(y=x^2+4x3\)的图象与\(x\)轴交于\(A\)、\(B\)两点（点\(A\)在点\(B\)左侧），与\(y\)轴交于点\(C\)。点\(P\)是抛物线对称轴上一点，点\(Q\)在抛物线上，若以\(A\)、\(C\)、\(P\)、\(Q\)为顶点的四边形是平行四边形，求点\(Q\)的坐标。1.求抛物线与坐标轴交点坐标令\(y=0\)，则\(x^2+4x3=0\)，即\(x^24x+3=0\)，\((x1)(x3)=0\)，解得\(x_1=1\)，\(x_2=3\)，所以\(A(1,0)\)，\(B(3,0)\)。令\(x=0\)，则\(y=3\)，所以\(C(0,3)\)。由\(y=x^2+4x3=(x2)^2+1\)，可得对称轴为\(x=2\)。2.设点\(P\)坐标设\(P(2,n)\)。3.分情况讨论当AC为平行四边形的边时：若\(AC\parallelPQ\)且\(AC=PQ\)。先求\(AC\)的长度，\(A(1,0)\)，\(C(0,3)\)，根据两点间距离公式\(AC=\sqrt{(10)^2+(0+3)^2}=\sqrt{10}\)。设\(Q(x,x^2+4x3)\)，则\(\sqrt{(x2)^2+(x^2+4x3n)^2}=\sqrt{10}\)。又因为\(AC\parallelPQ\)，则\(\frac{x^2+4x3n}{x2}=\frac{30}{01}=3\)，即\(x^2+4x3n=3(x2)\)，\(x^2+4x3n=3x6\)，\(x^2+x+3n=0\)。将\(n\)用\(x\)表示代入\(\sqrt{(x2)^2+(x^2+4x3n)^2}=\sqrt{10}\)求解。由\(AC\parallelPQ\)可得\(\frac{x^2+4x3n}{x2}=3\)，即\(x^2+4x3n=3x6\)，\(n=x^2+x+3\)。代入\(\sqrt{(x2)^2+(x^2+4x3(x^2+x+3))^2}=\sqrt{10}\)，\(\sqrt{(x2)^2+(3x6)^2}=\sqrt{10}\)。展开得\((x2)^2+9(x2)^2=10\)，\(10(x2)^2=10\)，\((x2)^2=1\)，解得\(x=1\)或\(x=3\)（舍去，与\(A\)、\(B\)重合）。当\(x=1\)时，\(y=1^2+4×13=0\)，所以\(Q(1,0)\)（与\(A\)重合，舍去）。若\(AC\parallelQP\)且\(AC=QP\)，同理可得另一个\(Q\)点坐标。当AC为平行四边形的对角线时：设AC与PQ相交于点O，\(O\)为AC中点。\(A(1,0)\)，\(C(0,3)\)，则\(O(\frac{1+0}{2},\frac{03}{2})\)，即\(O(\frac{1}{2},\frac{3}{2})\)。设\(Q(x,x^2+4x3)\)，\(P(2,n)\)，则\(\frac{x+2}{2}=\frac{1}{2}\)，解得\(x=1\)；\(\frac{x^2+4x3+n}{2}=\frac{3}{2}\)。把\(x=1\)代入\(y=x^2+4x3\)得\(y=143=8\)，所以\(Q(1,8)\)。4.检验将\(Q(1,8)\)代入，满足以\(A\)、\(C\)、\(P\)、\(Q\)为顶点构成平行四边形的条件。五、总结二次函数中平行四边形存在性问题是中考数学的难点之