2024九年级数学下册 第28章 锐角三角函数28.1锐角三角函数（正切函数）教学设计（新版）新人教版

2024九年级数学下册第28章锐角三角函数28.1锐角三角函数（正切函数）教学设计（新版）新人教版学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容2024九年级数学下册第28章锐角三角函数28.1锐角三角函数（正切函数）教学设计（新版）新人教版

教材内容：本节课主要讲解正切函数的定义、性质及其图像，包括正切函数的定义、周期性、奇偶性、单调性等基本概念。通过实例分析和习题练习，使学生掌握正切函数的应用，为后续学习三角函数的其他性质和图像打下基础。核心素养目标培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等数学核心素养。通过正切函数的学习，提高学生运用数学语言描述现实世界的能力，发展学生逻辑推理和数学运算的能力，培养学生通过数学模型解决实际问题的意识。同时，引导学生直观感受函数图像，提升学生的空间想象力和几何直观能力。教学难点与重点1.教学重点，

①正切函数的定义：帮助学生理解正切函数的概念，明确正切函数的几何意义，能够将几何图形与函数表达式相联系。

②正切函数的性质：重点掌握正切函数的周期性、奇偶性、单调性等基本性质，并能运用这些性质解决实际问题。

2.教学难点，

①正切函数的图像理解：指导学生通过绘制图像来直观理解正切函数的变化规律，克服对函数图像的直观感知困难。

②正切函数的应用：将正切函数应用于实际问题中，如解决直角三角形的问题，需要学生具备较强的数学建模和问题解决能力。

③正切函数与其他函数的关系：引导学生理解正切函数与其他三角函数（如正弦、余弦）之间的关系，以及它们在坐标系中的相互位置。教学方法与策略1.采用讲授与讨论相结合的教学方法，通过教师的讲解引入正切函数的概念，随后引导学生进行小组讨论，分享对函数性质的理解。

2.设计几何绘图活动，让学生动手绘制正切函数的图像，通过实际操作加深对函数图像特征的认识。

3.利用多媒体展示函数图像的动态变化，帮助学生直观理解正切函数的周期性和单调性。

4.通过实际问题解决，如模拟直角三角形的测量，让学生应用所学知识解决实际问题，提高数学应用能力。教学过程一、导入新课

1.老师角色：首先，我会以一个简单的提问开始：“同学们，大家还记得我们在七年级学过的直角三角形吗？你们能否回忆一下，直角三角形中的哪些关系式对你们来说印象深刻？”

2.学生学习：学生积极回忆，并可能提到勾股定理或者直角三角形的边角关系。

二、新课导入

1.老师角色：接着，我会引导学生思考：“那么，如果我们想要知道一个直角三角形中某个角的正切值，我们该怎么办呢？”

2.学生学习：学生可能会提出使用三角板测量角度，或者尝试使用直尺和圆规作图来找到正切值。

三、正切函数的定义

1.老师角色：我会介绍正切函数的定义：“正切函数，简称为正切，记作tan，它是一个角的对边与邻边的比值。”

2.学生学习：学生跟随老师的讲解，理解正切函数的定义，并尝试用语言描述。

四、正切函数的性质

1.老师角色：我将继续讲解正切函数的性质，包括周期性、奇偶性和单调性，并通过实例展示这些性质。

-周期性：我会在黑板上画出正切函数的图像，并指出其周期性，强调周期为π。

-奇偶性：我让学生观察图像，讨论正切函数的奇偶性，并得出结论。

-单调性：我通过图像展示正切函数在各个区间内的单调性，并解释原因。

2.学生学习：学生跟随老师的讲解，通过观察图像和讨论，理解并记住正切函数的性质。

五、正切函数的图像

1.老师角色：接下来，我会引导学生绘制正切函数的图像，并分析图像的特征。

-我会让学生在纸上绘制几个关键点，如（0,0），（π/4,1），（π/2,不存在）等。

-学生在绘制过程中，我会指导他们观察图像的形状、周期性和渐近线。

2.学生学习：学生在老师的指导下绘制图像，并尝试自己总结图像的特征。

六、正切函数的应用

1.老师角色：我会提出一些实际问题，让学生运用正切函数解决。

-例如，给出一个直角三角形的两个边长，让学生求出第三个边的长度，并计算角的正切值。

2.学生学习：学生在解决问题的过程中，应用正切函数的定义和性质，进行计算和推理。

七、课堂小结

1.老师角色：在课程结束时，我会总结本节课的主要内容，强调正切函数的定义、性质和图像。

-我会让学生回顾正切函数的关键点，如定义、周期、奇偶性和单调性。

2.学生学习：学生跟随老师的总结，回顾所学内容，加深对正切函数的理解。

八、作业布置

1.老师角色：最后，我会布置一些课后作业，让学生巩固所学知识。

-作业包括绘制正切函数的图像，分析图像特征，以及解决几个实际问题。

2.学生学习：学生认真完成作业，通过实践加深对正切函数的理解和应用。拓展与延伸六、拓展与延伸

1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：

-《三角函数的几何背景》：介绍三角函数在几何学中的应用，特别是正切函数在解决几何问题中的作用。

-《三角函数的历史发展》：讲述三角函数的发展历程，包括正切函数的起源、演变和应用。

-《三角函数在现代科技中的应用》：探讨正切函数在现代科技领域，如工程学、物理学和计算机科学中的具体应用。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究：

-学生可以尝试通过互联网资源，如教育视频、在线课程和数学论坛，来深入了解正切函数的更高级概念。

-鼓励学生探索正切函数在坐标系中的对称性，例如，研究正切函数图像关于哪些轴或点对称。

-学生可以尝试绘制不同角度的正切函数图像，并观察它们之间的相似性和差异性，以此来加深对周期性和单调性的理解。

-通过实验或模拟软件，学生可以探索正切函数在解决实际问题中的应用，例如，在建筑设计中计算斜面的角度。

-学生可以尝试推导正切函数的导数，了解函数的瞬时变化率，并探讨导数在解决实际问题中的意义。

-鼓励学生进行小组合作，共同完成一个关于正切函数的探究项目，如设计一个数学游戏，让学生在游戏中学习正切函数的性质。

3.综合实践活动：

-设计一个基于正切函数的数学竞赛，让学生在竞赛中运用所学知识解决问题。

-组织一个数学讲座，邀请相关领域的专家或教师分享正切函数在现代科学中的应用案例。

-学生可以创作一篇关于正切函数的科普文章，向其他同学或公众介绍这一数学概念的重要性。

4.拓展知识点的全面性：

-学生可以学习正切函数在复数域中的扩展，了解正切函数在复平面上的表示。

-探索正切函数在其他坐标系中的应用，如极坐标系中的正切函数。

-研究正切函数与三角恒等式的关系，如利用正切函数的定义推导出正弦和余弦的恒等式。

-学习正切函数在极坐标变换中的应用，如计算极坐标下的曲线长度和面积。课堂小结，当堂检测课堂小结：

1.回顾正切函数的定义：我们今天学习了正切函数，它是角的对边与邻边的比值。通过这个定义，我们可以计算出直角三角形中任意一个角的正切值。

2.强调正切函数的性质：我们讨论了正切函数的周期性、奇偶性和单调性。周期性告诉我们，正切函数的图像每隔π重复一次；奇偶性表明正切函数是一个奇函数；单调性则描述了函数在各个区间的增减变化。

3.分析正切函数的图像：我们通过绘制正切函数的图像，观察了其周期性、渐近线和对称性。图像中的关键点，如（0,0），（π/4,1），（π/2,不存在）等，帮助我们更好地理解函数的行为。

4.应用正切函数解决问题：我们通过实际例子，如直角三角形的测量问题，展示了如何应用正切函数解决实际问题。

当堂检测：

1.单项选择题：

-正切函数的周期是（）。

A.π

B.2π

C.π/2

D.4π

2.判断题：

-正切函数在其定义域内是单调递增的。（）

3.填空题：

-如果一个直角三角形的两个边长分别是3和4，那么这个三角形中角度θ的正切值是______。

4.应用题：

-一个直角三角形的斜边长度是5，其中一个角的正切值是3/4，求这个直角三角形的另一个角的度数。

5.简答题：

-简述正切函数的周期性、奇偶性和单调性，并举例说明。板书设计1.正切函数的定义

①正切函数（tan）：角A的对边/邻边

②定义域：所有实数，除了90°+kπ（k为整数）的角的终边在y轴上的情况

2.正切函数的性质

①周期性：周期为π

②奇偶性：奇函数

③单调性：在（-π/2,π/2）内单调递增

3.正切函数的图像

①关键点：原点（0,0），(π/4,1)，(π/2,不存在)

②周期性：图像每隔π重复

③渐近线：y=±kπ（k为整数）

4.正切函数的应用

①直角三角形的测量

②解直角三角形

③正切函数在坐标系中的应用课后拓展1.拓展内容：

-《三角函数在工程中的应用》：介绍三角函数在工程设计中的具体实例，如桥梁设计、建筑结构分析等。

-《三角函数在日常生活中的应用》：列举三角函数在日常生活中的应用案例，如导航系统、手机通讯等。

-《三角函数与音乐的关系》：探讨三角函数在音乐理论中的应用，如音调、音色和和声的关系。

2.拓展要求：

-阅读材料：鼓励学生在课后阅读上述拓展内容，以了解三角函数在不同领域的应用。

-自主学习：学生可以独立思考，尝试将正切函数的知识与实际应用联系起来。

-讨论交流：学生可以与同学或家人讨论所读内容，分享自己的理解和发现。

-实践活动：学生可以尝试设计一个小项目，如利用正切函数计算斜坡的倾斜角度，或者设计一个简单的游戏，通过游戏来学习正切函数的性质。

-互动问答：教师可以设置一个在线问答平台，鼓励学生提出问题，并解答其他学生的疑问。

-撰写报告：学生可以选择一个感兴趣的应用领域，撰写一篇简短的报告，展示正切函数在该领域的应用。

-观看视频资源：教师可以推荐一些与三角函数相关的教育视频，如数学公开课、科