初中数学知识点归纳全

第一章《有理数》总复习

一、基本概念

1、正数与负数

①表示大小

②在实际中表示意义相反的量

③带“-”号的数并不都是负数

1.正数、负数和零的概念

正数负数4：

31。叫做零，0既不是正

象1、2.5、3、48数也不是负数

象-、

等大于零的数叫正数1-2.5,-5,-48

等小于零的数叫负数

1.对于正数和负数的概念，不能简单的理解为：带“+”号的数是正数，带“一”号的数是负数。

2.引入负数后，数的范围扩大为有理数，奇数和偶数的外延也由自然数扩大为整数，整数也可以分为奇数和偶

数两类，能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数，

3.到现在为止，我们学过的数细分有五类：正整数、正分数、0、负整数、负分数，但研究问题时，通常把有理

数分为三类：正数、0、负数，进行讨论。

4.通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数；负整数和0统称为非正

整数。

分数和小数的区别：

分数(既约分数)都可表示成小数，但不是所有的小数都能表示成分数的。如圆周率元就不能表示成分数。

5.数0既不是正数，也不是负数，0是正数与负数的分界。0的意义已不仅是表示“没有”.

2、甲轴

,原点

①三,素正方向

单位长度

应用

定义三要素

数形结合

原点帮助理解有理数的概

规定了原点、比较有理数大小，

念，每个有理数都可用

正方向、单位数轴上右边的数

正方向数轴上的点表示，但数

长度的直线总比左边的数要

轴上的点并非都是有理

叫数轴大

单位长度数

1.数轴的概念

(1)规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.

这里包含两个内容：一是数热的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可.二是这三个要素都是

规定的.

（2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理

数.

2.数轴的画法

＜1）画直线（一般画成水平的）、定原点，标出原点“0”.

（2）取原点向右方向为正方向，并标出箭头.

（3）选适当的长度作为单位长度，各点。

（4）标注数字时，负数的次序不能写错，

3.用数轴比较有理数的大小

（1）在数轴上表示的两数，右边的数总比左边的数大。

（2）由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于0,负数都小于0,正数大于一切负数。

（3）比较大小时，用不等号顺次连接三个数。

正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数.

因为正数都大于0,反过来，大于o的数都是正数，所以，我们可以用a〉0,表示a是正数；反之，知

道a是正数也可以表示为。＞0。

同理，。＜0,表示。是负数；反之a是负数也可以表示为。〈0°

3.正数轴常见几种错误

1）没有方向

2）没有原点

3）单位长度不统一

②数轴上的点与有理数

3、相反数

①只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，0的相反数是0

②a的相反数-a

③a与b互为相反数a+b=0

相反数的意义

（1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数

（2）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。

（3）0的相反数是0。也只有0的相反数是它的本身。

(4)相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。

相反数的表示

在一个数的前面添上“一”号就成为原数的相反数。若。表示一个有理数，则。的相反数表示为一口。在一个数

的前面添上“+”号仍与原数相联系同。例如，+7=7,特别地，+0=0,-0=0。

相反数的特性

若0石互为相反数，则。+8=0,反之若=0，则°。互为相反数。相反数是它本身的数是0

4.多重符号化简

(1)相反数的意义是简化多重符号的依据。如是一1的相反数，而一1的相反数为+1,所以

-(-1)■+1■1

O

(2)多重符号化简的结果是由“一”号的个数决定的。如果“一”号是奇数个，则结果为负；如果是偶然数个,

则结果为正。可简写为“奇负偶正”。

化简一个数就是把多重符号化成单一符号，若结果是“+”号，一般省略不写。

5、绝对值

①一般地，数轴上表示数a的点与原点距离，表示成|a|。

a,(a20)

②ljl=

-a(aWO)

1.绝对值的代数定义

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零.

2.绝对值的几何定义

在数轴上表示一个数的点离开原点的距离，叫做这个数的绝对值.

3.绝对值的主要性质

(2)一个实数的绝对值是一个非负数，即|a|20,因此，在实数范围内，绝对值最小的数是零.

(4)两个相反数的绝对值相等.

运用绝对值比较有理数的大小

1.两个负数大小的比较，因为两个负数在数轴上的位置关系是：绝对值较大的负数一定在绝对值较小的负数

左边，所以，两个负数，绝对值大的反而小.

比较两个负数的方法步骤是：

(1)先分别求出两个负数的绝对值；

(2)比较这两个绝对值的大小：

(3)根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确的判断.

2.两个正数大小的比较，与小学学习的方法一致，绝对值大的较大.

6、倒数：

知识结构

①乘积是1的两个数叫作互为倒数。即：=则互为倒数。

②a的倒数是1（aNO）

a

③a与b互为倒数ab=l

关于倒数的求法要注意：

（1）求分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母颠倒位置即可.

（2）正数的倒数是正数，负数的倒数仍是负数.

（3）负倒数的定义：乘积是一1的两个数互为负倒数.

（4）0没有倒数

①倒数是它本身的数是±1②绝对值是它本身的数是非负数

③平方等于它本身的数是0,1④立方等于经本身的数是±1,0

数轴上表示相反数的两个点和原点的关系：关于原点对称

7、乘方

1.求力个相同因数的积的运算，叫做乘方.

乘方的结果叫做累，相同的因数叫做底数，相同的因数的个数叫做指数.一般地，在中，［取任意有理

数，力取正整数.

注意：乘方是一种运算，塞是乘方运算的结果.看作是。的越次方的结果时，也可读作《的八次塞.

（1）当a>。时，a*〉0（国为正整数）；

/>0卜为正偶效）1

（2）当n<0卜・<。卜为正奇鞅）1

（3）当。•（）时，a*«0（岸为正整数）；

⑷『一产（国为正整数）；

21.121-1

a（力为正整数）；

a”>0（外为正整数，a为有理数）.

①乘方和幕的区别.

②（・。了与-a"的区别.

乘方符号法则

负数的积次嘉是负数，负数的偶次幕是正数，正数的任何次骞都是正数，。的任何正整数次累都是0

8、科学记数法

①把一个绝对值大于10的数表示成aX10n（其中1WIa|V10,n为正整数）

②指数n与原数的整数位数之间的关系。

9、近似数与有效数字

①准确数、近似数、精确度

精确到p位

②精畴要精确到0.001

保留三卜有效数字

③近似数的最后一位是什么位，这个数就精确到哪位。

④有效数字

⑤如何求较大数的近似数，有两种方法，一种用单位，一种用科学记数法

10、有效数字：一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个数精确到哪一位，这时，从左边第一个不

是。的数字起，到精确的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字.

明确近似数的有效数字需注意的两点：一是从左边第一个不是零的数起；二是从左边第一个不是零的数起，到精

确的位数止，所有的数字，

如果是整数有效数字是构成整数的个数

如果是小数，有效数字是这个小数从左边的第一个非。的数字数起到未位为上

二、有理数的分类

1、按整数与分数分

正整数

莓数0，

工整数

W理数

正分数

分数<

负分数

2、按正负分

正整数.

正审理数［

正介数

有*数0

负整数

负有理数,

负分数

三、有理数的运算

知识结构

1有理数加法法则：

(1)同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加.

(2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为

相反数的两个数相加得0.

(3)一个数同0相加，仍得这个数

如果是同号相加I,取相同的符号，并把绝对值相加。如果是异号两数相加，应先判别绝对值的大小关系，如果绝

对值相等，则和为0;如果绝对值不相等，则和的符号取绝对值较大的加数的符号，和的绝对值就是较大的绝对值与较

小的绝对值的差。一个数与0相加，仍得这个数。

加法交换律：a+b=b+a

加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

2有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数-b)

引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算

知识结构

知识结构

3有理数乘法法则

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘

任何数同0相乘，都得0.

方法规律

先确定积的符号，再把各个乘数的绝对值相乘，作为积的绝对值

1.有理数乘法法则，实际上是一种规定。行程问题是为了了解这种规定的合理性。

2.两数相乘时，确定符号的依据是“同号得正，异号得负”.绝对值相乘也就是小学学过的算术乘法.

S.基础较差的同学，要注意乘法求积的符号法则与加法求和的符号法则的区别。

4.几个数相乘，如果有一个因数为0,则积就等于0.反之，如果积为0,则，至少有一个因数为0.

5.小学学过的乘法交换律、结合律,分配律对有理数乘法仍适用，需注意的是这里的字母a、b、c既可以

是正有理数、0,也可以是负有理数。

6.如果因数是带分数，一般要将它化为假分数，以便于约分。

乘法交换律：ab=ba

乘法结合律：（ab）c=a（be）

分配律：a（He）=ab+ac

4有理数除法法则：1除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数.

2两数相除，同号得+,异号得-，并把绝对值相加。0除以任何一个不等于0的数，都得0.

有理数除法有两种法则。

法则1：除以一个数等于乘以这个数的倒数。是把除法转化为乘法来解决问题。

法则2是把有理数除法纳入有理数运算的统一程序：一确定符号；二计算绝对值。

5乘方符号法则：负数的积次第是负数，负数的偶次塞是正数，正数的任何次第都是正数，0的任何正整数次第

都是0

五种运算：

运算：力n、减、乘、除、乘方；

运算结果：和、差、积、商、

混合运算顺序：

①三级（乘方）二级（乘除）一级（加减）；

②同一级运算应从左到右进行：

③有括号的先做括号内的运算；

④能简便运算的应尽量简便。

第二章《一元一次方程》总复习

一、主要概念

1、方程：含有未知数的等式叫做方程。

2、一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的指数是1的方程叫做一元一次方程。

一元一次方程具有以下几个特点：1、必须是等式的形式；2、只含一个未知数；3、未知数的次数是1次；4、分

母中不含未知数.因此只有同时满足以上四个特点的等式叫一元一次方程.

3、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

4、解方程：求方程的解的过程叫做解方程。

二、等式的性质

等式的性质1：等式两边都加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

这两个分别是移项和去分母的依据.

三、解一元一次方程的一般步骤及根据

1、去分母-------------------等式的性质2

2、去括号-------------------分配律

3、移项----------------------等式的性质1

4、合并----------------------分配律

5、系数化为1----------------------等式的性质2

6、验根----------------------把根分别代入方程的左右边看求得的值是否相等

四、解一元一次方程的注意事项

1、分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数；

2、去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，此时不含分母的项切勿漏乘，分数线相当于括号，去分

母后分子各项应加括号；

3、去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号；

4、移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项；

5、系数化为1时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号；

6、不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法。

7要注意所求得的解是否为原方程的解,即解完方程后，应将所求得的解分别代入方程的左右两边，如果左边

=右边，说明所求的解是原方程的解；如果左边工右边，说明求解过程有错误，应认真检查看是哪一步计算出了错.这

一步可以不写在书面上，但是不可疏漏.

五、列方程解应用题的一般步骤

1、审题

2、设未数

3、找相等关系

4、列方程

5、解方程

6、检验

7、写出答案

等式•方程•方程的解

1.等式与方程的区别

表示相等关系的式子叫做等式.含有未知数的等式叫做方程，可见方程必须具备两个条件：一是必须含有未知数,

二是必须是一个等式.

2.等式性质的应用

应用等式的性质对等式进行变形时，必须注意：（1）强调一个“都”字.性质1告诉我们，等式两边都加上（或

减去）同一个数，所得的结果仍然是等式；性质2也有个“都”字，要求对等式进行变形的方式要保持对等，也就是

说，变形必须两边同时进行.

3.方程的解与解方程

方程是一个有待于研究的等式，即研究这个等式中的未知数取什么确定数值时等式才成立.解方程的任务就是“确

定使方程左右两边相等的未知数所取的数值”，我们把这个值叫做方程的解（一元方程的解又叫做“根”）.这样的值可

能有一个或多个，也可能没有，所以方程可能有一解、多解，也可能无解.如3x-5=4x+3的解只有一个x=-8,方程2x-7

=5x-（3x+7）的解就有无数个，而方程2x-3=2x+2则无解.求方程的解或判定方程无解的过程叫做解方程.利用等式

的性质，通过一定的变形，就可以求出方程的解.

4.方程解的检验方法

要检验一个数是不是方程的解，其方法是：将这个数代入方程的左边和右边，计算其左、右两边的值，如果左、

右两边的值相等，则这个数就是方程的解；如果左、右两边的值不等，则这个数就不是方程的解.

第三章《图形初步认识》总复习

(一)多姿多彩的图形

一、常见的立体图形

(1)柱体：

①棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每两个相邻的四边形的公共边互相平行，由这些面围成

的几何体叫棱柱。如三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

②圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边围绕它旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱

(2)锥体：

①棱锥：：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫棱锥。如三棱

锥、四棱锥、五棱锥等。

②圆锥：以宜角三角形一边所在的直线为旋转轴，其余各边围绕它旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。

(3)球体：

半圆以它的直径为旋转轴，旋转而成的曲面所围成的儿何体叫做球体。

(4)多面体：

围成棱柱和棱锥的面是平的面，像这样的立体图形叫做多面体。

如图：下列图形分别为：棱柱(长方体)、棱锥(三棱锥)、圆柱、球体、圆柱。

温馨提示：空间想象能力的培养必须以日常观察为基础，从不同的方向看立体图形关键是要分清楚物体各部分上

下左右的关系。

二、平面图形：

立体图形是由平面图形所围成的，因此研究立体图形往往要从平面图行开始。

圆是由曲线围成的封闭图形，由线段围成的封闭图形叫做多边形，它具有两个基本性质：①由线段围成，②是一

个封闭的图形。按边数多边形可以分为：三角形、四边形、五边形等。

在多功形中三角形是最基本的图形，仟何一个多功形都可以分割为若干个三角形，特别是从〃边形的一个顶点出

发，可以将它分为(〃-2)三角形。

三、立体图形的画法一一三视图法

①视图的概念：

从正面、上面、左面三个方向看一物体，然后描绘出三张所看到的图即视图，这样就把立体图形转化为了平面图

形。

②正视图、俯视图、左视图的概念：

从正面看到的图形称为正视图；

从上面看到的图形称为俯视图；

从左面看到的图形称为左视图。

③视图和立体图形的联系：

由立体图形可以画出该物体的三视图，反之，由立体图形的三视图可以说出立体图形的形状。

四、立体图形的展开图：

（1）圆柱和圆锥的展开图：

圆柱的侧面展开是一个长方形，这个长方形的长和宽分别为圆柱的高和底面周长，圆锥展开是一个扇形。

（2）棱柱和棱锥的展开图：

棱柱和棱锥都是由平面围成的多面体，沿它们的某些棱剪开，所得到的平面图形就是它们的平面展开图，对于同

一个立体图形当我们按不同的方式展开式，得到的平面图形是不同的。

（3）根据展开图判断立体图形的规律：

①展开图全是长方形或正方形时，应考虑长方体或正方体；

②展开图中有圆和长方形时一般是圆柱；

③展开图中有扇形时应考虑是圆锥：

④展开图中有三角形时应考虑棱锥或棱柱，当展开图中有两个三角形和3个长方形应为三棱柱，如果全是三角形

（4个）时应为三棱锥。

多姿多彩的图形导学

一、立体图形

我们生活在立体三维世界中，随时随地看到和接触到的物体都是立体的.有些物体，像石头、植物等呈现出极不

规则的奇形怪状.同时也有许多物体有较为规则的形状.我们研究的是一些具有较为规则形状的物体.如柱体、锥体、

球体等.

1.常见的立体图形

日常生活中，我们常见这几种立体图形：圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球.

说明：I.长方体和正方体都属于棱柱，因为它们比较常见，为大家所熟悉，所以在此单独列出.

II.棱柱分为直棱柱和斜棱柱.________

（1）柱体c,__a

①圆柱：底面是圆，侧面是曲面（如图）.!

②棱柱：底面是多边形，侧面是长?.形或者正g形.丽宥兰肥四棱柱、五棱柱、六棱柱等（如图）.

⑵/a卒言।

①圆锥：底喋叫涉I,与曲面物弓J卜I1+勺

②棱锥：底面是多边形，侧面是三隹形.棱露看三赢、四棱锥、五棱锥、六棱锥等（如图）.

（3）球体：封闭曲面组成的图形.

（4）多面体：围成立体图形的面都是平的面，像这样的立体图形又称为多面体.

2.棱柱与圆柱的区别及联系

棱柱与圆柱有相同之处，又有许多差别，如何正确区分它们呢？

3.圆柱与圆锥的区别及联系

圆柱与圆锥能比较容易地区别开来，则它们之间有什么相同或不同之处呢？

二、平面图形日常生活中，我们还会遇到很多平面图形（planefigure）.长方形、正方形、三角形、圆等

都是一些我们十分熟悉的平面图形.生活中经常遇到一些由简单的平面图形组合成的优美图案.

三、视图

“横看成岭侧成峰，远近高低各不同.不识庐山真面目，只缘身在此山中.”这是宋代诗人苏轼的《题西林壁》.这

首诗说的是：从前面看，觉得庐山是一座又开阔又高大的山岭：从侧面看，又觉得庐山是一座险峻陡峭的高峰；再从

远处和近处，从高处和低处看庐山，总觉得它千姿百态，变化无穷.我实在说不出到底什么才是庐山的真面目，因为

我自己就在庐山中呀.

这首诗正是诗人从不同方向观察同一物体看到了不同的景观的结果.下面我们也学着用诗人的眼光去从不同方向

观察同一物体.

1.三视图

主视图：从正面看到的图，

左视图：从左面看到的图，从上面看

俯视图：从上面看到的图.

下面我们看几个由小正方体搭建成的图如工图所示:U

队看一）——_7

当我们从正面看就得到主视图：从左面看就得到左视图；从上面看就得到/晚修/（如：图师不）

四、立体图形的平面展开图,一」,

许多立体图形是由一些平面图形围城的，将它们适当地剪开，就可以啜睢面图形.这就是我们以下要研究的

立体图形的平面展开图（net）.我们以正方体为例进行研究.

将正方体展成一个平面图形，是指正方形的六个面展开后所成的六个正方形中的每一个至少有一条边与其他的正

方形的某条边重合即相连.

则，具体应该怎样操作呢？

我们都知道，正方体有6个面，12条棱，如果把它展成平面图形，6个正方形中的每一个正方形至少有一边与其

他正方形相连.因此，我们从它的上底面入手，先将上底面中的四条棱中剪开二条，然后沿着和连着的棱有公共点的

侧棱顺次剪下去，到达下底面，然后再将下底面的四条棱中剪开三条，便可得到正方体的平面展开图.

如图，我们给正方体的12条棱进行编号.

如果沿着棱②一③一④一⑤一⑫一⑪一⑩剪开，我们就得到展开图（1）;

如果沿着②f③一④一⑤f⑨f⑩f⑪展开，就得到展开图（2）；

如果沿着②f③f④一⑤一⑫一⑨f⑩展开就得到图（3）；

如果沿着②f③f④一⑤一⑫一⑪一⑨展开，就可得到图（4）.

展开的方法很多，刚才的展开图，都是沿着和边④有公共点的边⑤剪开的，如果沿着和边④也有公共点的边

⑥剪开后，和以上四种展开图差不多.

如果沿⑥继续剪开，正方体的平面展开图经过旋转，平移等都可以得到以上四种展开图，因此，我们在此不考虑

由于旋转等造成的相对位置不同，将这种展开方式归于前面一类.

同样将上底面的②一③一④这三条棱展开，但接下来不沿着和①有公共点的棱⑤剪，而是沿着和①无公共点的侧

棱⑦或⑧继续剪至下底面的三条棱，便可得到如下两个平面展开图（图（5）、图（6））

我们可以观察以上六个立方体的平面展开图，它们有规律可寻找吗？

这六个平面展开图有共同的特性，中间连排的四个正方形恰好是正方体的侧面，而分布侧面两边的两个正方形无

论和四个侧面中的哪一个相连，都能是正方体的平面展开图.

则，是不是立方体的平面展开图只有六种呢？

我们还像前面那样给正方体的每条棱做同样的编号，如果沿着②一③一④剪开后，再分别沿着⑥一⑨一⑫和⑦剪

开，便可得到展开图（7）.类似的还可以得到图（8）、（9）.

在以上的几种展开第中，是侧前的:部丁芷才即.如果让他们两个两个相连结果会如何呢？

我们剪出六个同样大小的正比照作为咻的六个菽1国这六个面摆成下面两个图的情形，如图（10）、（11）,

然后将它们折叠，结果发现这方介面围成S了飞伞正方体.⑼

(10)di)

只要沿着②一③f④剪开后，再分别沿⑤一和⑦以及⑨剪开便可得到图（10）.

沿着②一③f④剪开后，再将⑥f⑩一和⑤剪开，便得到展开图（11）.

我们再来看，如图（12）,这个平面图形经过折叠后能否围成一个正方体.

答案是否定的.因为把一个正方体展开后6个正方形的每一个正方形至少有一边与其他正方形的某边重合，

在这个图中，虽然满足了上面的要求，但右上角的正方形和相邻的三个正方形相连的情形是无法折叠起来的，因此不

能围成一个正方体.

则，将正方体的某些棱剪开，展成一个平面图形，需要剪开几条棱呢？

由于正方体有12条棱，6个面，将其表面展成一个平面图形，其面与面之间相连的棱（即未剪开的棱）有5条，

因此需剪开7条棱.

五、点、线、面、体

几何体也简称体（solid）.我们学过的长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体.

包围着体的是面（surface）.面有平的面和曲的面两种.平静的水面（如图）给我们以平面的形象，而酒杯（如

图）的凹槽则给我们以曲面的形象.

夜晚流星划过天空时留下一道明亮的光线（如图），节日的焰火画出的曲线组成优美的图案（如图），这些

都给我们以线（line）的形象.面和面相交的地方形成线.

天上的星星、世界地图上的城市等都给我们以点（point）的形象.线和线相交的地方是点.

点、线、面、体之间的关系：点动成线，线动成面，面动成体.

几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素.点、线、面、体经过运动变化，就能组合成

各种各样的几何图形，形成多姿多彩的图形世界.

立体图形j棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。

1、儿何，形

平面图形：三角形、四边形、圆等。

主（正）视图丁------从正面看

2、几何体的三视图侧（左、右）视图——从左（右）边看

俯视图---------------从上面看

（1）会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图。

（2）能根据三视图描述基本几何体或实物原型。

3、立体图形的平面展开图

（1）同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平现图形不一样的。

（2）了解直棱柱、圆柱、圆锥、的平面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型。

4、点、线、面、体

（1）几何图形的组成

点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形。

线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。

面：包围着体的是面，分为平面和曲面。

体：几何体也简称体。

（2）点动成线，线动成面，面动成体。

快速识别正方体的平面展开图

图形分类

正方体的平面展开图按展开图中正方形所在的行数及正方形的个数，归纳起来有四情形.

1.1一4-1型：展开图有3行，中间一行有4个正方形，其余两行均1个正方形，如图1中所示.

图1

2.2—3—1型：展开图有3行，中间一行有3个正方形，第1行有2个正方形，第3行有1个正方形，如图2中

所示.

图2

3.2—2—2型：展开图有3行，每一行均有2个正方形，如图3所示.

图3图4

4.3—3型：展开图有2行，每一行均有3个正方形，如图4所示.

规律：这里给出几种不是正方体的展开图的情况：

(1)出现“出”字格；

(2)由现的形状；

(3)连续四个正方形连成一行,而另外两个都在这“一行”的同侧；

(4)连续五个连成一行。

记住上面这四个规律，解答时采用排除法又快又准。

二.快速确定正方体的“对面”

如下图，我们先来统一以下认识：把含有图(1)所示或可由其作旋转后的图形统称为型图；把所给平面

图中含有(2)、(3)、(4)所示或可由其作旋转后的图形统称为“Z”型图。

(2)(3)(4)

结论：如果给定的平面图形能折叠成一个正方体，则在这个平面图形中所含的“/”型图或“Z”型图两端的正

方形(阴影部分)必为折成正方体后的对面。

应用上面的结论，我们可以迅速地确定出正方体的“对面”。

(二)直线、射线、线段

直线

1、直线的两种表示方法:

(1)用直线上的两个大写字母表示.如图：记作直线.

表示直线的两个大写字母可以是直线上的任意两点，两个字母的顺序可以随意排放

(2)用一个小写字母表示.如图：记作直线4.

若点C是线段AB的中点，则有AC=BC=TAB或AB=2AC=2BC.

两点间的距离：连接两点之间的线段的长度.

直线的性质

经过两点有一条直线，并且只有一条直线。

简单地：两点确定一条直线。

点与直线的位置关系

(1)0点在直线上，如图，叙述方法：点。在直线。上，或直线《经过点0.

(2)0点在直线外，如图，叙述方法：点?在直线a外，或直线4不经过点。.

相交直线

如果两条直线有一个交点，我们叫这两条直线相交.这个公共点叫做它们的交点，这两条直线叫相交直线.

射线

射线：直线上的一点和它一旁的部分叫做射线，这个点叫做射线的端点.

射线的表示方法

(D可以用两个大写字母表示：代表端点的字母写在前面。

(2)射线也可以用一个小写字母表示.

线段

线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段.这两点叫做线段的端点.4.线段的表示方法

线段的两种表示方法：14、5为端点的线段，可以记作线段48或线段班

对字母的排放顺序没有要求；

2也可以记作线段a.

线段的中点(二等分点)、三等分点、四等分点等

定义：把一条线段平均分成两条相等线段的点。

图形：

AMB

符号：若点M是线段AB的中点,则AM=BM=AB,AB=2AM=2BM<»

线段的性质

两点的所有连线中，线段最短。简单地：两点之间，线段最短。

线段的画法

(1)画线段时，要画出两个端点之间的部分，不要画出向任何一方延伸的情况.

(2)以后我们说“连结法”就是指画以同、B为端点的线段.说明：“连结”是几何的专用名词，专

指画M两点间的线段的意思.

线段大小比较的两种比较方法：

1重叠比较法将两条线段的各一个端点对齐，看另一个端点的位置.步骤有三：

U)将线段AB的端点A与线段CD的端点C重合.

(2)线段AB沿着线段CD的方向落下.

(3)若端点B与端点D重合，则得到线段AB等于线段CD,可以记AB=CD.

若端点B落在D上，则得到线段AB小于线段CD,可以记作ABVCD.

若端点B落在D外，则得到线段AB大于线段CD,可以记作ABACD.

2度量法

直线射线线段区别联系

直线射线线段

图形

直线上的一点和它直线上两个点和它

一旁的部分叫做射们之间的部分叫做

定义

线，这个点叫做射线段.这两点叫做线

线的端点.段的端点.

联系射线、线段都是直线的一部分，线段是直线的有限部分.

直线无端点，长度无限，向两方无限延伸.射线只有一个

区别端点，长度无限，向一方无限延伸.线段有两个端点，长

度有限.

端点个数无一个两个

直线a线段a

表示法射线AB

直线AB(BA)线段AB(BA)

作线段a；

作直线AB；

作法叙述作射线AB作线段AB；

作直线a

连接AB

延长线段AB；

延长叙述不能延长反向延长射线AB

反向延长线段BA

端点个

延伸方向可否度量表示方法相同点

数

线段2无能两种

向一方延都是直的，由无数个点组

射线1不能两种

伸成，没有粗细之分，线段、

向两方延射线都是直线的一部分。

直线0不能两种

伸

1、直线没有端点，他可以向两方无限延伸，因此他的长度是无限的，我们不能度量他的长度；射线有一个端点,

他可以向一方无限延伸，因此他的长度也是无限的；线段有两个端点，他不能向任何一方延伸，所以既可以度量他们

的长度，也可以用度量法或叠合法（即把其中一条线段移到另一条线段上去）比较他们的大小。

另外，线段不能延伸，但他可以延长，而直线和射线能延伸，却不能延长。特别地，射线可以反向延长。

2、如图，三兄弟都可以用一个小写字母来表示，但用大小字母来表示时，就要注意：

①线段用表示端点的两个字母来表示，图1中的线段可表示为线段AB或线段BA；

②射线用表示端点的字母和表示射线上另一点的字母来表示的，这两个字母有严格的先后顺序，必须把表示端点

的字母写在前面，图2中的射线只能表示为射线0C；

③直线可以用它上面的任意两个点的字母来表示，图3中的直线可表示为直线DE或直线EDo

3、如图3,过点D和E有且只有一条直线，即两点确定一条直线，这里的“确定”和“有且只有”的含义相同。

“有”是指直线的存在性，“只有”指直线的惟一性。不难看出，过点D、E的线段和射线都是存在的，但他们都不是

惟•的。

4、线段是三兄弟中最小的，他的故事却是最多的，这里先向大家介绍两个：

（1）把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。如图，若点C是线段AB的中点，则有

AC=CB=LAB,或AB=2AC=2BCoA~C~B

2

（2）两点之间，线段最短。

（三）角

1.角的相关概念及计算

尸止的定义

一正乂二1"旋转的定义

一表不方法

—度量一度、分、秋进位制60）

角-、_

誓2「同危或等角通余角相等

二？鳖色力「同用或等角通补角相等

1-用角度表示万位

角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫角的顶点，这两条射线叫角的两边.

角：角还可以看成是一条射线从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.

2、角的表示法（四种）：

平角、周角的概念

射线0A绕点O旋转，终止位置03和起始位置。4成一条直线时，所成的角叫平角，如图2所示.同样可

表示为乙408，顶点°，两边为射线。4和射线05.继续旋转，回到起始位置时，所成的角叫做周角，如

图3所示.周角的顶点为0,两边重合成一条射线.

直线上取点表示点在直线上的位置，而平角是由顶点和边组成的角这一几何图形.

3、角的度量单位及换算

度、分、秒的互换：如果一个角比1°还小，则怎样度量它的大小？为了更秘密地度量角.我们把1°的角60等

份，每一份叫做1分的角，1分记作1';又把1'的角60等份，每一份叫做1秒的角，1秒记作1''.即1°=60',1'

=60''.这表明角的度、分、秒是60进制的，这和计量时间的时、分、秒是一样的.

4、角的分类

NB锐角直角钝角平角周角

范围0<ZP<90°ZB=90°900<Z3<180°Z3=180°Z3=360°

知识结构

5角的大小的比较有两种方法：

(1)重合法：即把要比较的两个角的顶点和一条边重合，再比较另一条边的位置；

①EF与BC重合，ZDEF等于乙必C,记作“•乙3C.

②EF落在乙由C的内部，/DEF小于“C,记作"EF<5C.

③EF落在4加C的外部，/DEF大于"SC,记作ZPEF>乙蛆C.

在比较角的大小时，应注意角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关.这是因为角的边是

射线而非线段.若用射线旋转成角的定义，也可以说转得较多的角较大.

(2)度量法：即比较两个角的度数.

利用比较角大小的上述两种方法，就可以画出角的和、差、倍、分，并进而比较角的和、差、倍、分的大小.

6角的和、差、倍、分

(1)Z2在4内部时，ZABC是N1与N2的差，记作：乙蛆.

(2)G在N1外部时，是/I与，2的和，记作：乙D£F・Z1+A.

7、画一个角等于已知角

(1)借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0〜180。之间共能画出11个角。

(2)借助量角器能画出给定度数的角。

(3)用尺规作图法。

8、角平分线

定义：一条射线杷一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.

几何语言表示："是ZX函的平分线，ZAM2ZXZCOB--zMB)

对于角平分线的概念，要注意以下两点：

(1)它是角的内部的一条射线，并且是一条特殊的射线，它把角分成了相等的两部分.

(2)要掌握角平分线的数学表达式：若0C是乙<第的平分线，则乙48&或

Zi<OC-ZCCB-izXQB.

知识结构

9、互余、互补

(1)若Nl+N2=90°,则N1与N2互为余角。其中/I是/2的余角，N2是/I的余角。

(2)若Nl+N2=180。，则N1与N2互为补角。其中N1是N2的补角，N2是N1的补角。

（3）余（补）角的性质：等角的补（余）角相等。

VZ1与/2互补，.•."♦A>80*gpZ2-18O*-Zl.

VZ3与24互补，,\Z3+Z4-I8（r即N4・l8Cf・z3.

•/Z1-Z3,/.Z2-Z4.

若两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，若两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角.理解这

两个概念，要把握以下几点：（1）必须具备两个角；（2）两个角的和是一个定值：互余两角的和是，互补两角的和

是；（3）与两个角的位置无关，只考虑两角间的数量关系.

10、方向角

（1）正方向

（2）北（南）偏东（西）方向

（3）东（西）北（南）方向

第四章数据的收集与整理

一、数据处理的一般过程

二、设计调查问卷的步骤

1、确定调查目的

2、选择调查对象

3、设计调查问题

三、设计调查问卷时要注意

1、提问时不涉及提者个人的观点2、不要提人们不原意回答的问题

3、提供的答案要尽可能全面4、问题应简明5、问卷应简短

1.普查、抽样调查的概念

为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查，称为普查.

普查可以直接获得总体的情况，但有时总体中个体的数目较多，普查的工作量较大；有时受客观条件的限制，无法对

所有个体进行普查；有时普查具有破坏性，不允许普查，这时人们往往从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查

称为抽样调查.

如何从总体中选取样本比较合理

要想使样本具有代表性，不偏向总体中的某些个性，有一个对每个个体都公平的方法，决定哪些个体进入样本，这

种理想的抽样方法我们把它称为简单的随机抽样.简单随机抽样，也叫纯随机抽样.其特点是：每个样本单位被抽中的

可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性.简单随机抽样是其它各种抽样

形式的基砒通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法.为了确保调查结果的准确性，调

有对象在总体中要有代表性，样本容量要足够大.

如何进行随机抽样

常见的随机抽样方式有以下几种：

1.抽签法

抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一

个号签，连续抽取n