2024-2025学年高中数学 第3章 三角恒等变形 2 2.3 两角和与差的正切函数（教师用书）教学设计 北师大版必修4

2024-2025学年高中数学第3章三角恒等变形22.3两角和与差的正切函数（教师用书）教学设计北师大版必修4主备人备课成员课程基本信息1.课程名称：2024-2025学年高中数学第3章三角恒等变形22.3两角和与差的正切函数（教师用书）

2.教学年级和班级：高一年级（1）班

3.授课时间：2024年10月15日星期二上午第二节课

4.教学时数：1课时

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亲爱的高一（1）班同学们，大家好！今天我们要一起探索三角函数的奥秘，走进“两角和与差的正切函数”的世界。让我们一起揭开这神秘的面纱，感受数学的奇妙之旅吧！🌟📚💡核心素养目标分析教学难点与重点1.教学重点：

-理解两角和与差的正切函数的定义及其性质。

-掌握两角和与差的正切公式：tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ)。

-应用这些公式解决实际问题，如证明三角恒等式和求解三角方程。

2.教学难点：

-理解正切函数的周期性和奇偶性，并能正确应用。

-正确运用两角和与差的正切公式进行计算，特别是在分母含有tanαtanβ时避免错误。

-在解决实际问题时，将问题转化为适用于正切公式的形式，如将角度和差的形式识别出来。

-例如，当遇到如tan(30°-45°)这样的问题时，学生可能难以识别出这是一个差的形式，或者在使用公式时忘记考虑tan45°的特殊值。因此，教学中需要通过具体的例子和练习来帮助学生熟悉这些公式，并能够在不同的情境中灵活运用。学具准备Xxx课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源准备1.教材：确保每位学生都有北师大版必修4教材，特别是第3章三角恒等变形的相关内容。

2.辅助材料：准备与两角和与差的正切函数相关的图片、图表和动画视频，以帮助学生直观理解公式和性质。

3.教学工具：准备计算器，以便学生在课堂上进行计算练习。

4.教室布置：设置小组讨论区，鼓励学生合作学习；确保教室光线充足，便于观看多媒体资源。教学过程一、导入新课

同学们，上节课我们学习了三角函数的基本概念和性质，今天我们要继续深入探索三角函数的奥秘，特别是两角和与差的正切函数。请大家翻开教材第3章的内容，让我们一起揭开这神秘的面纱。

二、新课导入

1.复习导入：回顾上节课的内容，提问学生三角函数的基本性质有哪些？学生回答后，老师总结并导入本节课的主题。

2.创设情境：展示一幅生活中的图片，如钟表的时针和分针，引导学生思考如何用三角函数描述时针和分针的位置关系。引入两角和与差的正切函数的概念。

三、新课讲解

1.两角和与差的正切函数的定义

-介绍两角和与差的正切函数的定义：对于任意两个角α和β，它们的和α+β和差α-β的正切值分别记为tan(α+β)和tan(α-β)。

-解释正切函数在角度和差的应用，如tan(30°+45°)和tan(30°-45°)。

2.两角和与差的正切公式

-介绍两角和与差的正切公式：tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)，tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)。

-解释公式中tanαtanβ的含义，以及公式的推导过程。

3.两角和与差的正切函数的性质

-介绍正切函数的周期性和奇偶性，以及两角和与差的正切函数在这些性质上的体现。

-通过实例讲解如何利用这些性质解决实际问题。

四、课堂练习

1.基本练习

-让学生独立完成教材中的例题，巩固两角和与差的正切函数的定义和公式。

-教师巡视指导，解答学生疑问。

2.应用练习

-给学生提供一些实际问题，要求他们运用两角和与差的正切函数解决。

-学生分组讨论，共同解决问题。

五、课堂小结

1.回顾本节课所学内容，引导学生总结两角和与差的正切函数的定义、公式和性质。

2.强调本节课的重点和难点，帮助学生巩固知识。

六、课后作业

1.完成教材中的课后练习题，巩固所学知识。

2.预习下一节课的内容，为后续学习做好准备。

七、课堂反馈

1.教师根据学生的课堂表现和作业完成情况，了解学生对本节课内容的掌握程度。

2.教师针对学生在学习过程中遇到的问题，进行个别辅导。教学资源拓展1.拓展资源：

-《数学之美》：这本书以通俗易懂的语言介绍了数学的魅力，其中涉及到的三角函数知识可以帮助学生从更广阔的视角理解三角函数的应用。

-《几何原本》：欧几里得的《几何原本》是数学的经典著作，其中关于角度和三角形的讨论可以加深学生对三角函数的理解。

-《三角函数在工程中的应用》：这本书详细介绍了三角函数在工程领域的应用，如建筑、机械设计等，对于对数学应用感兴趣的学生来说是一本很好的拓展读物。

2.拓展建议：

-观看科普视频：推荐学生观看一些关于三角函数在自然界和科技中的应用的科普视频，如“三角函数在音乐中的运用”、“三角函数在建筑设计中的应用”等，通过视频中的实例来加深对知识的理解。

-实践项目：鼓励学生参与一些数学建模或物理实验项目，如利用三角函数计算建筑物的角度、设计一个简易的电子钟等，通过实际操作来提高解决问题的能力。

-比赛和竞赛：鼓励学生参加数学竞赛或科学展览，如数学奥林匹克竞赛、物理竞赛等，这些活动可以激发学生的学习兴趣，同时也能检验学生对三角函数知识的掌握程度。

-在线课程：推荐学生利用在线教育资源，如Coursera、edX等平台上的数学课程，这些课程通常由大学教授授课，内容深入且系统，有助于学生拓展知识面。

-小组讨论：组织学生进行小组讨论，让学生就三角函数在不同领域的应用进行交流，这样可以提高学生的团队合作能力和批判性思维能力。

-数学游戏：利用数学游戏来提高学生的学习兴趣，如三角板游戏、几何拼图等，这些游戏可以帮助学生在玩乐中学习数学知识。板书设计①两角和与差的正切函数

-定义：tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)，tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)

-公式推导关键步骤

-利用tan(α)=sin(α)/cos(α)

-分母分子同时乘以cos(α)cos(β)

-利用sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)和sin(α-β)=sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)

②公式的性质和应用

-周期性：tan(α+π)=tan(α)，tan(α-π)=tan(α)

-奇偶性：tan(-α)=-tan(α)

-应用实例

-证明三角恒等式：如证明tan(α+β)=tan(α)+tan(β)/(1-tanαtanβ)

-求解三角方程：如解方程tan(θ)=1

③计算技巧和注意事项

-分母不能为零：tanαtanβ≠1

-确保角度转换正确：在涉及角度加减时，注意角度的单位一致性

-计算过程中的符号：注意加减运算中的符号，特别是分母的符号

-实际应用举例：如计算建筑物倾斜角度的正切值，或计算机械装置中的角度差等教学反思与改进亲爱的同事们，教学是一项持续的学习过程，每节课结束后，我都会进行一番反思，以便更好地提升自己的教学水平。以下是我对本次“两角和与差的正切函数”教学的反思与改进计划。

1.学生参与度

-反思：我发现有些学生在课堂上不太积极参与讨论，特别是在涉及到复杂公式推导时，他们的眼神中似乎缺少了那份探究的激情。

-改进：为了提高学生的参与度，我计划在未来的教学中，设计更多互动环节，如小组讨论、角色扮演等，让学生在轻松的氛围中主动探索知识。

2.知识点的讲解

-反思：在讲解两角和与差的正切公式时，我发现部分学生对于公式中的tanαtanβ的处理感到困惑。

-改进：我将重新设计这部分内容的讲解方式，通过绘制示意图、实际操作等方式，帮助学生更好地理解公式中的概念。

3.实践应用

-反思：在课堂练习环节，我发现学生在解决实际问题时，往往不能灵活运用所学知识。

-改进：我将增加实际应用题目的数量和多样性，让学生在实际操作中提高解决问题的能力。

4.教学节奏

-反思：在本次教学中，我发现教学节奏有些快，部分学生跟不上进度。

-改进：我将调整教学节奏，适当放慢讲解速度，确保每位学生都能跟上课堂进度。

5.课后反馈

-反思：课后，我收到了一些学生的反馈，他们表示希望有更多的时间进行练习和巩固。

-改进：我将增加课后作业的量，并鼓励学生在课后进行自主练习，以巩固所学知识。

6.教学评价

-反思：在教学过程中，我主要关注学生对知识的掌握程度，但忽视了学生的情感态度和价值观的培养。

-改进：我将关注学生的情感态度和价值观，通过课堂讨论、小组合作等方式，培养学生的团队协作精神和创新意识。课后拓展1.拓展内容：

-《三角函数在建筑中的应用》：这篇文章介绍了三角函数在建筑设计中的实际应用，如如何利用三角函数计算屋顶的角度、确定建筑物的倾斜度等，可以帮助学生将数学知识应用于实际生活。

-《三角函数在音乐理论中的角色》：音乐与数学有着密切的联系，这篇文章探讨了三角函数在音乐理论中的运用，如音高、节奏和旋律的数学表达，可以激发学生对数学与艺术交叉领域的兴趣。

-《三角函数在物理学中的重要性》：在物理学中，三角函数被广泛应用于波动、振动和光学等领域，这篇文章详细介绍了三角函数在物理学中的应用实例，如波的传播、振动分析等。

2.拓展要求：

-阅读材料：鼓励学生在课后阅读上述拓展材料，通过阅读了解三角函数在不同领域的应用。

-实践项目：学生可以尝试自己设计一个小项目，如制作一个简易的三角板，并利用它来测量家中或校园中的角度。

-小组讨论：学生可以组成小组，讨论三角函数在实际生活中的应用，并准备一份简报或演示文稿，在下一节课上与全班分享他们的发现和见解。

-解答疑问：鼓励学生在阅读和讨论过程中提出疑问，教师可以在课后提供必要的指导和帮助，解答学生的疑问。

-创新应用：学生可以尝试将三角函数的知识应用于解决一些日常生活中的问题，如设计一个简单的计时器、计算太阳的位置等，通过实际操作加深对知识的理解。

-反思总结：在拓展学习结束后，学生需要写一篇反思总结，分享他们在学习过程中的体会和收获，以及如何将所学知识应用于实际生活。教学评价与反馈1.课堂表现：

-学生在课堂上的参与度较高，对于两角和与差的正切函数的定义和公式理解较好。

-在讲解公式推导时，大部分学生能够跟随教师的思路，但有个别学生对于公式中的tanαtanβ的处理感到困惑，需要进一步辅导。

2.小组讨论成果展示：

-在小组讨论环节，学生能够积极交流，合作解决问题，特别是在解决实际问题时，能够将所学知识应用到具体情境中。

-学生们展示了他们的项目成果，如利用三角函数设计了一个简易的计时器，这些成果展示出了学生对知识的深入理解和创新应用。

3.随堂测试：

-随堂测试覆盖了本节课的主要知识点，包括定义、公式和性质。学生的整体表现良好，能够正确应用公式解决问题。

-在测试中，发现部分学生对于公式的记忆不够牢固，需要加强记忆和复习。

4.学生反馈：

-收集了学生的课后反馈，他们普遍认为本节课的内容有趣且实用，希望教师能够提供更多的实际应用案例。

-部分学生提出，希望在课堂上能够有更多的互动环节，以便更好地理解和记忆公式。

5.教师评价与反馈：

-针对课堂