成信工大气流体力学讲义

流体力学基本知识

1流场的运动学

1.1描述流体运动的两种方法

有两种描述流体运动的方法：Eulerian表述和Lagrangian表述。

Eulerian表述：将流体看作一个在时空上连续变化的场，所有物理量都定义

为空间x和时间t的函数,例如速度场u(x,t)。

Lagrangian表述：跟踪某一个流体粒字的运动，所关心的物理量是该粒子的

质心位置a和时间t的函数，例如粒子的速度v(a,t)-

相比于Lagrangian表述，Eulerian表述有很多优点：(1)在大多数理论分

析中，采用Eulerian表述更加简单明了，特别地，Eulerian表述所关心的是场

量，我们可以利用强大的场论工具对流场进行分析；(2)流体力学中的许多

试验，诸如风洞试验和外场试验，往往比较容易观测到的是与流场有关的物理

量。(3)工程上关心的多是与流场有关的物理量，如速度、压力或温度等物理

量的时空分布，而不去关心一个流体粒子的运动细节。考虑到上述因素，在下

面的章节中，除特别说明外，均选用Eulerian表述，来探讨流场的运动规律或者

通过场函数来探讨流体粒子的运动规律。

1.2流线

为了直观地描述流体的速度场，我们引入流线的概念。在某一时刻，如果

流场中一条线上任何一点的切线方向都与该点的速度方向平行，这条线称为流

线。流线的方程为：

dxdvdz

u(x,t)=v(x,t)=w(x,t)-

如果已知速度场，对上式求积分可以求出流线的具体表达式，注意式中的时间

在求积分时应看作常数。

只有当流场平稳的时候，流线与流体粒子的运动轨迹才会重合。另外，流

管也是经常使用的概念，它是指通过某一闭合曲线的所有流线组成的几何体。

1.3随体导数

随体倒数建立了Eulerian表述和Lagrangian表述之间的联系。下面以速度场

为例，给出随体导数的表达式。

1

如果速度场u(x,t)已知，那么如何根据速度场求出流体粒子在某一时刻

某一位置的加速度呢？设流体粒子在t时刻的位置为X,t+bt时刻所在的位置

为x+u5to于是流体粒子的速度在时间t内的改变量为：

(,)

u(x+u6t,t+6t)ju(x,t)=5t—+u-ru+0(612).

in

因此，粒子的加速度为：

上述推导可推广到其它的物理量：已知采用Eulerian表述的物理量6(x,t)

(这个量可以是标量，也可以是矢量)，可以求出流体粒子相应的物理量

上式中对流体场，x,t)的求导，定义为随体导数:

1.4连续性方程

连续性方程又称质量守恒方程。考虑空间中某一块具有任意形状的区域,

单位时间内流入这个区域的流体质量为：

pu-ndS.

式中的积分涵盖该区域的整个表面积，并且根据Green公式,

r■(pu)dV.

另外，单位时间内该区域中流体质量的增加量等于

,\

pdV.

上式中的积分是在整个区域中进行的。如果该区域内不存在任何流体源(比如

任何排水管或水泵)的话，

pdV=r'(pu)dV.

由于积分区域是任意选取的，去掉积分，我们就可得到连续性方程:

2

1.5不可压缩性

流体粒子在运动过程中，如果其密度不随压力的变化而变化的话，我们就

说该流体是不可压缩的。

根据（4）和（5）式，可以用随体导数表示表示连续性方程：

IDe

+r•u=0.(6)

pDt

由于流体粒子的体积随时间的变化率是：

\

lim--=lim12u-ndS

T!0rdtr\

=lim-r-udV

=r-u,(7)

因此（6）式的物理意义是：当流体粒子质量守恒的时候，流体粒子的体积变化

率和密度变化率大小相等，但相差一负号，这是很显然的。当流体不可压缩的

时候，Dp/Dt=0o根据（6）式，

r-u=0.（8）

这就是无源不可压缩流体的速度场所应满足的方程。

严格地说，现实世界中所有的流体都是可压缩的。但是当流体满足下述条

件的时候，可以近似看作是不可压缩的1：

1、如果流体是平稳的，流体的速度|u|<c,其中C是声速；

2、如果流体是不平稳的，除了条件（1）满足外，还要求T>I/C,其

中T和I是流体的速度发生明显改变的特征时间和距离。

1.6流函数

如果流体是不可压缩的或者是可压缩的平稳流，并且流体是二维的或者是

轴对称的2,那么我们可以引入流函数，从而将两个速度分量的求解转化为对一

个标量函数的求解。

首先，讨论二维不可压缩流体的流函数及其性质。对于不可压缩的二维流

体，连续性方程为：

duSv

-

—3x+Tdy=0-

因此，存在标量函数中，其全微分为dip=udyjvdx。因此，

标量函数qj（x,y）称为流函数。

二维不可压缩流体的流函数具有以下性质：

1LandauandLifshitz,FluidMechanics,secondedition,p.21

2二举流体的速度场在直角坐标系下可以表示为(u(x,y),v(x,y),0)；轴对称的流体在柱坐

标(z,r,A)下，其速度场可以表示为(Uz(z,r),ur(z,r),UA(Z,r))0

3

1、设P和Q是xy平面内任意两点，如和qjQ是这两点的流函数，于是:

\p

qjpiWQ=(udyjvdx)

Q

只要积分路径上每一点都满足不可压缩的条件。另外可以证明，通过积分路径

的面积通量为：

—•=u-ndl=(udyjvdx)

QQQ

其中，n是垂直于线元的单位矢量，并且从0往P看，n指向线元的右侧。因此,

吐7Q==，•(10)

出Q

这说明，曲线两端点的流函数之差等于单位时间通过这条曲线的面积，只要这

条曲线上每一点都满足不可压缩条件。

2、从Q出发沿不同的路径到P,如果这两条路径上的每点满足不可压缩条

件，那么这两条路径围起来的区域中面积的增加率为：

=/(udyjvdx)-I(udyjvdx).

dtJqiJqrz

如果这个区域中的流体是不可压缩的，那么dSQp/dt=O,因此：

I(udyjvdx)=/(udyjvdx).

JQIJQI

相反地，如果区域中有部分不可压缩的流体，上述等式不成立，这样就会导

致中Pi"Q菖两个不同的值，这种慢况下的流函数不再是单值函数。因此，如果

流体中莓一次都是不可压缩的话，兼函数是单值函数。

3、因为没有任何通过流线的面积通量，所以流线上流函数处处相等。这个

结论也可以根据(10)式和流线方程得到。

其次，讨论轴对称不可压缩流体的流函数及其性质。对于轴对称不可压缩

流体，其连续性方程为：

:Uzl<9(rur)

C+C=0.

dzrdr

根据二维流体的讨论，相应地我们可以定义流函数qj(r,z),它与速度场的关系

是：

1加1加

Uz=5=jq.

r2drrdz

在二维流体中，流函数包含了整个速度场的信息。而在轴对称流体中，根据流

函数不能求出UA的值。

轴对称不可压缩流体的性质为：

1、设P和Q是轴平面内任意两点，于是只要积分路径上每点都不可压缩：

qjpiHJQ=r(uzdrjurdz).

Q

4

另外，如果将PQ曲线沿对称轴z旋转一圈构成闭合曲面，那么流过这个闭合曲

面的体积流为

，八''P

—=u-ndS=2TTr(uzdrjurdz).

dtQ

因此，以轴平面上两点之间曲线为母线，绕对称轴旋转一周形成闭合曲面，那

么在这两点上的流函数之差等于通过闭合曲面的体积通量除以2TT。

2、相应于二维流场，如果流体处处不可压缩，流函数为单值函数。

3、如果轴对称速度场没有q)方向分量，此时流线上流函数处处相等，这是

因为没有体积通量通过流管的外壁。

1.7流体粒子速度的分解

流体粒子的运动可以分解为平动、形变和刚体转动，分析如下：

设流体中某一点。的速度为u(x,t),其附近另一点的速度为u(x+r,t),r是

这一点到。点的矢径。通过Taylor展开，并保留一阶小量，我们有：

Ui(x+r,t)=Ui(x,t)+6ui=Ui(x,t)+rj7T-

将二阶张量手分解为对称和反对称张量:

dUi13Uj犯1gUjdUj

Sxj=iaxj+.)+2(dXji双)=eij+G

其中，对称部分用eg表示，反对称部分用号表示。于是速度增量可以分解为：

5Ui=6u?+6u?,

其中

6u®=rjeybu?=rj&j.

先来考察对称速度增量的物理意义。先将对称增量写成下面的形式：

MC独

buf=neij=—,

前

其中，

①=&kheki.

然后旋转坐标系，使得坐标轴与二阶张量e”的主轴重合。在新坐标系下，

l222

(P=.r；e；.i=1(a<+br^+cr1).

并且，二阶张量的迹是标量，在坐标变换时是不变量：

Gj=6ii=a+b+c.

因此，在新坐标系下，速度的增量为

6u=(ar'；,br"cr)(11)

5

根据(11)式，可以看出：

1、平行于主轴的直线，只会沿主轴被拉伸或压缩。在每个主轴方向，其

形变速率(单位时间内的形变量除以形变前的长度)为分别a、b和c。对于其

它方向的直线，除受到拉升或压缩外，一般还会向形变速率快的方向旋转。如

果a=b=c'k,那么在任何方向的直线都会沿着自身的方向以相同的速率k伸

缩。因此，二阶张量eg被称为形变率张量，其在主轴坐标系下的对角元，决定

了与主轴平行的直线的形变速率。

2、设想有一个球形的流体粒子，受(11)式支配，发生形变，变成一个椭

球体，椭球体的主轴即为eg的主轴方向。在形变过程中，主轴方向的直线会沿

着主轴拉升或压缩，而偏离主轴的直线其在主轴平面上的投影会向椭圆的长轴

方向移动，这就好像气球在短轴方向受到挤压，球面上的点向长轴靠拢。

3、对于不可压缩流体，r-u=0,因此不可压缩流体粒子在形变过程中

体积不变，并且酬=0。而对于可压缩流体，我们可以将形变率张量分为两部

©ij=可+稣=9丽+eijj1e.所.

很明显，e|j表示各向同性的伸缩，可的迹量=eK=r•u,表示流体粒子在形变

中体积的变化率或称为局域体积变化率，参见(7)式。e：j的迹等于0,表示等

体积的形变。

综上述，bus会引起流体粒的形变。对于不可压缩流体，流体粒子的体积在

形变中保持恒定。而对于可压缩流体，形变可看作是各向同性形变和等体积形

变的叠加，前一种形变会改变粒子的体积。

再来考察反对称速度增量的物理意义。反对称张量有三个独立的变量，一

般可以写成下面的形式：

*j=i-©ijkWk.

因此，反对称速度增量为：

▼“1

6uf=-eikjwkrj,

写成矢量形式：

6ua=£r.(12)

根据(12)式，可以看出：

1、刚体的运动可以分为平动和转动，其中转动的线速度：

u=wr£r,(13)

其中，Wr=r£u是刚体的角速度。将(12)式与(13)式进行对比可知：如

果扣除形变，流体粒子可看作刚体，反对称张量就是刚性流体粒子绕。点转动

的线速度。相应地，流体粒子的角速度为w=⑴£，其中w称为局域

涡旋(vortidty),所谓局域，指的是涡旋与空间巫标有关，整个流体并不像刚体

那样有相同的涡旋。”表示对矢径求导。

2、因为扁=1(2/、)，故而

W=rx£U,

6

其中仅表示对坐标求导，于是:

仅£u="£6ua'w.(14)

上式有什么物理含义呢？根据Stokes公式，在很小的一块圆形面积内，

w-n=1[r£u(x)]-n%—[r£u(x+r)]-ndS=—Lu(x+r)-dr.

其中，a表示这块圆面的半径，n表示圆面的法向单位矢量。上面的等式中最左

边wn表示反对称速度增量沿圆面边界的切向速度(该切向速度在边界上处

处相等)除以半径a,等式最右边3u(x+r)•dr表示沿着圆面边界的平均

切向速度除以半径a。因此，(14「发表示：扣除掉平动和变形后，流体粒子刚

性转动的线速度(也即是反对称速度增量)，沿其内部某一圆环的切向分量等

于流体粒子的真实速度(未分解前的速度)沿同一圆环的切向分量的平均值。

为什么会这样呢？我们考察一下平动和变形就知道：平动的切向分量沿着平动

方向几乎处处反对称(所谓反对称，就是绕动方向相反，一个沿逆时针，另一

个沿顺时针，但两者大小相等。“几乎”表明最高点和最低点是例外，两者切

向速度对称，但这两点的贡献平均后为零)，因而对平均切向速度没有贡献。

另外，变形的切向分量沿着主轴方向反对称，也对平均切向速度没有贡献。最

后只剩下反对称速度增量或者说是流体粒子的刚性线速度对平均切向速度有贡

献。

综上述，反对称速度增量表示流体粒子刚性转动的线速度，并且通过

(14)式可以利用速度场直接求出角速度或涡度的分布。这个等式的物理意义

是：由于平动和变形运动的切向分量反对称，流体粒子粒子刚性转动的线速

度沿其内部某一圆环的切向分量和真实速度沿同一圆环的切向分量的平均值相

等。

例子：剪切运动中流体粒子速度的分解

流体流动的方向设与坐标轴Xi平行，与流动方向垂直的坐标轴设为X2,于

是剪切运动的速度场为：

u=[Ui(x2),0,0].

于是：()

©ij=’—，当i7j=1,2w=r£u=0,0,j—.

先分析刚体旋转运动。从W的表达式可以看出这是绕X3瞬时针方向的刚体

旋转运动。另外，可以求出刚体旋转的线速度为：

*2*2f9r^.*2fi

再分析形变运动。由于a=0,因此只有等体积形变。另外，可以求

出e.一时主轴方间的单位矢量:工，_L,0,i二，_£,0和(0,0,1),以及主

nrajirar

值：2dX2，i2dx2,°。在主轴坐标系下，形变速度增量为：

MS'I""1,I""I,

bi/=r,j,0.

7

从上式可以看出，剪切运动的形变具有以下特征：

1、沿两个坐标轴方向分别存在压缩和拉伸形变，并且压缩率和拉伸率相

等；

2、沿另一个坐标轴方向没有形变。

根据这些特征，我们可以将流体粒子的形变运动分解为各项同性形变、

剪切运动和刚性旋转运动。证明如下：流体粒子的形变可以分为各向同性形

((I)

变:e.6jj和等体积形变eji。其中，等体积形变运动在主轴坐标系下

的描度增量为：

[(I)(।)(1)1

6ll=T3,i—Gjj6jj,Tjb\—Gjj6ij,TC\—Gjj6ij

[(:)(l)]

=Iaeii6y,(j,jTt：j一©仃6。刀

+0,Tbj:e"6ij,jTbj;3^6°.

上式中第一项加上局域涡度为§aj6ij的刚性转动就是剪切运动，第二

()

项加上局域涡度为§bjenSij的刚性转动就是另一个剪切运动，所以等体

积形变又可以分解为两个剪切运动和两个刚性转动，证毕。

8

第一章流体力学基础

§1.流体的物理性质和宏观模型

§2.流体速度与加速度，Lagrange法和Euler法

§3.迹线和流线

§4.涡度、散度、环流和形变率

§5.速度势函数和流函数

本章重点：描述流体运动的基本方法及物理量。

引言

流体：具有流动性，形状易变的物体（如水、空气），不同于固体（刚体），是液体和气体的统称。

流体力学：研究流体运动规律以及流体和固体间相互作用的科学（不同于研究刚体的“理论力学”）。

地球物理流体（动）力学：以与地球相联系的大气、海洋、河流等为主要研究对象的流体力学，简称

地球流体力学。

大气流体力学（FluidMechanicsoftheAtmosphere）：以大气为主要研究对象的流体力学。

§1.流体的物理性质和宏观模型

质点力学中把实际物体抽象概括称为“质点”（有质量但无体积）。

流体力学也把实际流体抽象概括为“流点”或“连续介质”。

1.连续介质假设：把离散分子构成的实际流体，看作是由无数流体质点没有空隙、连续分布而构成

的，称为“流点”。即：流体质点（气象上称空气微团或气块）=大量流体分子的集合。

流体质点是连续分布的，其上的物理量（如：温度、密度、速度等也是连续分布的，从而构成各

种可用连续函数表示的物理量场，可利用高等数学中矢量分析与场论的知识来研究。

2.对流点的尺度要求：既要充分小（以使它在流动中可当作“点”），又要足够大（能保持大量分子，

具有确定的统计平均效应）。其密度表示为：

0=「im=p{x,y,z,t）

3.连续介质假设对大多数流体适用，但对个别情况不适用，如高层（z>50km,即平流层中层以上）

稀薄大气（此时，流点必须取得很大，则失去点的意义）。

1

§2.流体速度与加速度，Lagrange法和Euler法

1.矢径：r=Xi++A(1.1)

其中(x,y,z)为直角坐标系中的位置坐标。

一注

2.流速：1/=-(1.2)

dt

—dtz

3.加速度：a=~(1.3)

ot

4.拉格朗日(Lagrange)变量

，位于(x,y,z)=(xo,yo,z〃的流点的位置：

r=f(x0,y0,z0,t)(1.4)

fx=x(x0,y0,z0,t)

Iy=y(xo,yo,zo,t)d-5)

Vz=z(x0,y0,z0,t)

则其流速为：

V(x0,y0,z0,t)=-^r(x0,y0,z0,t)(1.6)

ot

拉氏变量(观点)：着眼于个别流点，跟踪考察确定的个别流点在不同时刻的速度和位置。即以某

一流点为对象，研究其空间位置及物理量随时间变化的规律，进而推广到整个流体中的所有流点。实

例：漂流瓶、小踪剂。

判断特征：流场一般用位置坐标(函数)表示，变量为：XO,yo,ZO,t

5.欧拉(Euler)变量

固定在某一空间点(x,y,z)上考察其各个时刻的流速，表示为：

v=(Vx,y,z,t)(1.7)

=u(x,y,z,t)

或v=v(x,y,z,t)(1.8)

\w=w(x,y,z,t)

即以流体空间某一固定体积元(空间中的固定点)为对象,研究不同时刻流体通过该固定点时的

运动状态及物理量的变化规律。实例：气象站、水文站。

判断特征：流场一般用流速分量(函数)表示，变量为：x,y,z,t

欧拉观点的本质：流体运动归结为物理量场的特征及变化，通过物理定律，转换为一组偏微分方

程来描述。

2

6.描述流体运动的两种方法(观点)的关系(区别及联系)

拉氏观点的优点：描述流体运动直观、明了(跟踪流点)，如研究高层大气中的物质输送问题。

缺点：解决问题时，应用数学工具不方便。

欧拉观点的优点：把流体运动当作(流)场随时间的变化，便于应用矢量分析、场论和数理方程

等数学工具，应用更为广泛，如气象研究中涉及的绝大多数问题。

缺点：研究整个流场需要建立若干观测点。

两种变量仅是考察的角度不同，即着眼于流点还是空间(场)点，其描述同一流场的结论本质应

该是一致的，则两者可以相互转换。

如欧拉变量=>拉氏变量的方法：(1)对t积分，(2)利用初始条件定出积分常数

(u=u(x,y,z,t)[u=u[x(t),y(t),z(t),t]

Jv=v(x,y,z,t)—('v=v[x(t),y(t),z(t),tj(空间点一流点)(1.9)

Il尸r氏y,Z,t)Iy(t),z(t),t]

=

N

因为(

M

(L10)代入(1.9)后对t积分后可求解得:

{\x=x(c1,c2,c3,t)

(y=y(C[,C2,C3,f)(LU)

利用初始条件：t=to时(x,y,z)=(xo,yo,zo),可求出(ci,cz,C3),即可用(xo,yo,zo)

表示这些积分常数。

fx=x(x0,y0,z0,t)

则最后可得:(1.12)

〈y=y(x0,y0,z0,t)

Vz=z(x0,y0,z0,t)

即转换成了拉氏变量。

思考：拉氏变量==>欧拉变量?

例1：已知流场用欧拉变量表示为u=-coy,V=OJX,w=O(0为常数)，此处x,p,z为同一流点

在不同时刻的空间坐标，试将欧拉变量转换为拉氏变量。

解：因为M=--coy,v――—―3x,w=—0,

drdtdt

3

解得（消元后解一元二阶常微方程）：X=Acos（U）t+E）,y=/Isin他/+以，其中A£为常

数。

设f=0,X=xo,y=%为初始时该点的位置,

则有可得：+片，£=tgT%。

U产4in£

则拉氏变量为：X=-*+沸cos(u)t+tg-吁),"=-抚+必sin(a)t+tg-1),

z=Zo

7.两种观点下的加速度表示

a=；-「(莅。="七)（拉氏观点）(1.13)

Cf€rb

a=V[x,y,z,l)（欧拉观点）(1.14)

两者应一致，只是表示方法不同。若取（1.14）式中（x,y,z）为t时刻流点到达该空间点的位置

坐标，即把空间点的加速度变为该点随t变化的加速度时|

5dt）

V1/

则W=上匕=~+-dy+AVdz

didtdxdtdydtdzdt

=dV+udV+vdV+wdV

dtdXdydz(1.15)

引入Nabla(Hamilton)算子:

(1.16)

（1.15）式可改写为:

(1.17)

此为应用Euler变量求流场加速度的计算式。

推广，更一般的物理量（无论矢量、标量）有:

(1.18)

4

物理意义：个别变化=局地变化+迁移变化（而迁移变化=平流变化+对流变化）。

dV~~_

8.定常流场（稳定流场）：对于Euler变量表示的流场,若---=O^V=V(x,y,z),即流动与时

dt

间疣关，则称为定常流场。

作业1：［(必做)Cha.l—1,Cha.1—5

图L1迹线族与流线族（例1）

§3.迹线和流线

为了更直观、形象地刻画流动，引入迹线和流线的概念。

1.迹线：流点在各时刻所运行路径的轨迹，反映拉氏观点下流动的几何图象。例：染色剂、漂流瓶。

迹线演示链接

在娴段内流点在迹线上的位移为:

dx=Udt,dy=Vdt,dZ-Wdt(1.19)

玲也则,制就一廿标就总力豕同一制汁籽步川〃青枷｝一"片迹线方程（1,20）

（t是单个、独立变量）

2.流线：某时刻该曲线上的任一切线方向，正好和该时刻该处的流速方向相吻合。是流场的瞬间“快

照”。例：卫星云图，天气图。

设法为流线上任一线元矢，则有：Ws,即:

5

tt

\/xdS=0(1.21)

tttt

(dS=dxi+dyj+dzk；1/=Ui+"+麻)

(vdz-wdy)z+(wdx-udz^j+(^udy-vdx)1-0

(vdz-wdy=0

•­\\wdx-udz=0

।(udy-vdx=0

dxdydz

————流线方程（1.22）

u[x,y,z,t\v\x,y,z,i\w[x,y,z,i\

3.迹线和流线的区别:

流线：某瞬间反映整个流动状况的空间曲线。

迹线：某流点在不同时刻运行的路径（轨迹）。

一般情况下，两者不相重合；当流动定常时（流点在任一时刻的状态与当时的空间点一样），两者

重合。•••（1.20）、（1.22）两式都不显含/,各瞬间的流线均相同，二流线与迹线重合。

注意：流场定常只是流线与迹线重合的充分条件，即对于非定常流场，流线与迹线也可能重合（例

如第一章作业的题11）。

图1.2各种流场型式

6

图1.3卡曼泯式流场

§4.涡度、散度和形变率

为了描述流点形状、大小和滚动等方面的变化，有必要再引入一些新的物理量（除速度、加速度外）。

1.涡度

涡度矢=Vx1（=curlV-rot（1.23）

表示流点旋转的大小和方向（度量流点旋转的物理量）。

i/

ada_仆曲、一-械7一_「一一一-,…、

V口X，1一=;.=（---）i+（—A—.）VJ+,（A—―\-）k=&+用+9（1.24）

excyczcyccczororcy

UVw

1.1涡度与角速度的关系：涡度矢的垂直分量（表示水平面上该点的旋转程度）

（画）,二（画）.「若一步《

＞逆时针（气旋式）涡度

C=0无旋

＜顺时针（反气旋式）涡度

容易混淆的希腊字母的读音：€[ksai],a],?[rzi:ta],u[mju:],v[njiu:],

6[fai],中[psai],x[kai],K['k纪p3],u[ju:],£[ep，sail9n].

取一个以0角速度旋转动圆盘，其速度分布为：U=-U）yf/=3X（即为§2的例)

7

则：（VxI/）="-1u=2u）

'JzcXCV

即涡度值恰好等于流动旋转角速度的两倍。在地球大气推广：VxU=

（a>.整体旋转的度量，适用于刚体，？：流体中任一点旋转程度的度量）

图L4线涡

（b）R线育旋K前

<c）育・回运动

图L5涡度与旋转

2.散度

CU+「「+

散度二5七Div，(1.25)

dxdydi

8

>辐散

D=0（三维）无辐散

（辐合

2.1散度与通量___

引入流体通量F^\V-doa螫定理fjfS/-VdT

则对于流点：V•「二1itnV•V刁Itn

T•ta7

-F

V-r=lim—

—TO7

即：散度=单位体积的流点通量。

称为“流出”、“源”、辐散、膨胀。

v-r<«称为“流入”、“汇”、辐合、收缩。

图L6线源

2.2散度与体胀速度

体胀速度：单位体积的体积变化率。

体胀速度=―t—色0位雇）=_L3）」d（处）+上g）

STdt6x6y6zdtdtBydt6zdt

9

在连续介质的假设下,体胀速度喂管）+5传卜枭朗

叫d皿(1.27)

6x6y6z

，散度是量度流点体积的膨胀或收缩的物理量，其值等于体胀速度。

3.环流（环量）

一）——-——___

C=\y-dlS大成es公式口。（Vx『）0="o（vx/）彳回:"（其中一＜二上）

3.1环流与涡度的关系

都是描写流体旋转运动，但涡度描写一点的旋转（微观旋转），环流描写一闭合回路上所有流

点旋转的总趋势（宏观旋转）。

4.形变率

把流点当作既大又小的流体微团，它不但有转动、体积的变化，形状还可以改变。而形变又

分为轴形变（法向形变）和切形变（剪向形变）。

法形变率为:

切形变率为:(1.29)

由上述九个元素分别构成形变张量4,即

eyy

ezy

第一个下标表示形变的投影方向，第二个下标表示受力面的外法向。

作业2：Cha.1—3,Cha.1—11(改错：u改x,v改y),Cha.1—7

10

§5.速度势函数和流函数

1.速度势函数

若V人，=0,则称为无旋运动(此为引入速度势函数的前提条件)。

•••V人V0=0,.•.对无旋运动，可引入一个函数Q(x,yz力，使得

步=N(P(^i/=-grad(p)(1.30)

u=-U

I班

即：/v・•里(1.31)

口

C^P

w=—

HN

Q=ca7s曲面称为等位势面，17与它垂直。

?//?1/?M/

将(1.31)式代入D,得：

?x?y?z

D=-V?0(1.32)

则有求Q的方法：

(1)若已知流速，可由(1.31)积分求出Q。

(2)若仅知散度D,可解Poisson方程求出Q。

相应地，若已知Q,可由(1.32)式求得散度。

类似的可引入有势力(或保守力)函数，如重力g=—V0(0=gz)o

2.流函数

引入流函数的前提条件：若流动是无辐散的(V.仁0,也称不可压缩流动)和二维的(常

见的情形为：w=0,即V.%=0,称为水平无辐散)。则由于V.Q人V沙)=0,.•.可引入函

数/X,y,t),使得

1/=k人Nqj(1.33)

11

dl/J

U=-

dy

BP：（1.34）

dQJ

Idx

则叭x,y,t)=Const.的曲线称为等流函数线。

2.1等流函数线与流线的关系

'：dqj=0,即dy=0,利用（1.34）式，则有即"X=±L

dxcy//u

(流线方程)

...等流函数线即为流线。求流线的一个特殊方法：对于存在流函数的流动，若已知九令其等于

常数，即得流线方程。

将(1.34)式代入(VXV)=IVCU

0二得:

V2=[+票=<（1.35）

求”的方法:

(1)若已知流速，可由(1.34)式积分求出ipo

(2)若仅知涡度。，可解Poisson方程求出ip。

相应地，若已知心可由(1.35)式求出涡度。

12

13

作业3：[Cha.l—13,Cha.l-2,Cha.l—19,Cha.l—22(1)、(3)

本章小结

L概念：连续介质，流点，定常流场，拉氏变量，欧拉变量，迹线，流线，涡度，散度，环流，势函数,

流函数。

2.计算：位置，速度，加速度，涡度，散度，形变率。

3.推导：拉氏变量和Euler变量转换；迹线、流线方程；求势函数、流函数。

14

第三章大气运动坐标系与方程组

§1.作用于大气上的力，惯性坐标系运动方程

§2.视示力，旋转坐标系运动方程

§3.连续方程和热力学方程

§4.球坐标系大气方程组简介

§5.局地直角坐标系的大气方程组

§6.坐标变换，p坐标系的大气方程组

本章重点：作用在大气上的力，局地直角坐标系中的大气方程组，坐标转换公式,p坐标系中的大气方程组。

§L作用于大气上的力，惯性坐标系运动方程

1.惯性（绝对）坐标系：相对于某个恒星（如太阳）静止或作匀速直线运动（即没有加速度）的坐

标系。

2.惯性坐标系大气运动方程

在惯性坐标系中，牛顿第二运动定律成立，即：

d匕二日（3.1）

出乙

tt

绝对加速度合外力

对于单位空气微团，作用于其上的（真实）外力有：

'Fi—F\-\-Fi+2*3（3.2）

9

三种真实外力：气压梯度力+地球引力+摩擦力

（1）斤=—」即称为气压梯度力，由气压分布不均匀引起。

p

密度。=常数？pw常数？（密度一气压梯度力？）地面大气密度的计算公式：

1.276v—0.378g'