北师大九年级上数学教案讲解

第一章特殊的平行四边形

§1,1菱形的性质及判定

一、教学目标：.1、菱形的性质定理的运用.2.菱形的判定定理的运用.

二、教学重点难点：掌握菱形的性质推导及面积计算方法的推导，运用综合法解

决菱形的相关题型。

三、概念：

菱形性质：

1.两条对角线互相垂直平分；

2.四条边都相等；

3.每条对角线平分一组对角；

4.菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形。

菱形的判定定理：

1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）

2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形.（根据对角线）

3、四条边都相等的四边形是菱形.（根据四条边）

4、每条对角线平分一组对角的四边形是菱形.（对角线和角的关系）

四、讲课过程：

1、例题、

例1.（2006•大连）已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F

是DB延长线上一点，且DE=BF.请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一

点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一

组线段相等即可）.

（1）连接AF；

（2）猜想：AF=AE:

(3)证明：(说明：写出证明过程的重要依据)

考点：菱形的性质；全等三角形的判定及性质。

专题：几何综合题。

分析：观察图形应该是连接AF,可通过证4AFB和4ADE全等来实现AF=AE.

解答：解：(1)如图，连接AF；

(2)AF=AE；

(3)证明：四边形ABCD是菱形.

AAB=AD,

Z.ZABD=ZADB,

，ZABF=ZADE,

在aABF和4ADE中

△ABF也△ADE,

点评：此题考查简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明.

例2、(2009•贵阳)如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点(不及A、B重

合)，连接DP交对角线AC于E连接BE.

(1)证明:ZAPD=ZCBE；

（2）若NDAB=60°,试问P点运动到什么位置时，ZXADP的面积等于菱形ABCD

面积吗为什么?

考点：菱形的性质；全等三角形的判定及性质；等边三角形的性质。

专题：证明题；动点型。

分析：（1）可先证△BCE^^DCE得到NEBC二NEDC,再根据AB〃DC即可得到结论.

（2）当P点运动到AB边的中点时，S&，DP“S菱形ABCD，证明S△ADP=1X2AB•DP=芯菱形CD

4224AB

即可.

解答：（1）证明：二•四边形ABCD是菱形

ABC=CD,AC平分NBCD（2分）

VCE=CE

.,.△BCE^ADCE（4分）

AZEBC=ZEDC

又TAB〃DC

，NAPD=NCDP（5分）

AZEBC=ZAPD（6分）

（2）解：当P点运动到AB边的中点时，芯菱形ABCD.（8分）

4

理由：连接DB

VZDAB=60°,AD=AB

.）△ABD等边三角形（9分）

•••P是AB边的中点

Z.DP1AB（10分）

,,SAADP~1AP-DP,S菱形ABCD=AB・DP（11分）

,.,AP=2AB

2

=

,,SAADP=—-iAB•DPAS菱形ABCD

224

即4ADP的面积等于菱形ABCD面积的上(12分)

4

点评：此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定，判断当P点运动到AB边的

中点时，S^ADP=空菱形ABCD是难点.

4

例3、(2010•宁洱县)如图，四边形ABCD是菱形，BE±AD.BF1CD,垂足分别为

E、F.

(1)求证：BE=BF；

(2)当菱形ABCD的对角线AC=8,BD=6时，求BE的长.

考点：菱形的性质；全等三角形的判定及性质。

分析：(1)根据菱形的邻边相等，对角相等，证明AABE及aCBF全等，再根据

全等三角形对应边相等即可证明；

(2)先根据菱形的对角线互相垂直平分，求出菱形的边长，再根据菱形的面积等

于对角线乘积的一半和底边乘以高两种求法即可求出.

解答：(1)证明：•・•四边形ABCD是菱形，

.\AB=CB,NA=NC,

VBE±AD>BF±CD,

AZAEB=ZCFB=90°,

在4ABE和4CBF中，

AAABE^ACBF(AAS),

.,.BE=BF.

(2)解：如图，

•••对角线AC=8,BD=6,

・••对角线的一半分别为4、3,

•••菱形的边长为庐#5,

菱形的面积=5BE皂X8X6,

2

解得BE=24.

5

点评：本题主要考查菱形的性质和三角形全等的证明，同时还考查了菱形面积的

两种求法.

例3、（2011•广安）如图所示，在菱形ABCD中，ZABC=60°,DE〃AC交BC的延

长线于点E.

求证：DE=2BE.

2

专题：证明题。

分析：由四边形ABCD是菱形，NABC=60°,易得BDLAC,NDBC=30°,又由DE〃AC,

即可证得DE_LBD,由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得DE=2BE.

2

解答：证明：

法一：如右图，连接BD,

•・•四边形ABCD是菱形，NABC=60°,

ABDXAC,ZDBC=30°,

VDE/7AC,

.\DE±BD,

即NBDE=90°,

ADE=1BE.

2

法二：•・•四边形ABCD是菱形，ZABC=60°,

，AD〃BC,AC=AD,

VAC/7DE,

・•.四边形ACED是菱形,

ADE=CE=AC=AD,

又四边形ABCD是菱形,

.\AD=AB=BC=CD,

，BC=EC=DE,即C为BE中点,

.•.DE=BC=1BE.

2

点评：此题考查了菱形的性质，直角三角形的性质等知识.此题难度不大，注意

数形结合思想的应用.

例4.(2010•益阳)如图，在菱形ABCD中，ZA=60°,AB=4,0为对角线BD的中

点，过0点作0ELAB,垂足为E.

(1)求NABD的度数;

(2)求线段BE的长.

分析：(1)根据菱形的四条边都相等，又NA=60°,得到4ABD是等边三角形，

NABD是60°；

(2)先求出0B的长和NB0E的度数，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一

半即可求出.

解答：解：（1）在菱形ABCI）中，AB=AD,ZA=60°,

二.△ABD为等边三角形，

AZABD=60°；（4分）

（2）由（1）可知BD=AB=4,

又丁。为BD的中点，

A0B=2（6分）,

XV0E1AB,及NABD=60°,

AZB0E=30°,

.*.BE=1.（8分）

点评：本题利用等边三角形的判定和直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的

一半求解，需要熟练掌握.

2、巩固练习

1.有一组邻边相等的平行四边形是.

2.菱形的两条对角线长分别是8cm和10cm,则菱形的面积是

3.菱形的两邻角之比为1：2,边长为2,则菱形的面积为.

4.菱形的面积等于（）（20分）

5.下列条件中，可以判定一个四边形是菱形的是（）（20分）

6.菱形的两条对角线把菱形分成全等的直角三角形的个数是（）.（20分）

A1个B2个C3个D4个

7.如图，四边形ABCD是菱形，ZABC=120°

的度数为;对角线BD=,AC二

.（20分）

B

5、在矩形四切中，。是对角线力。的中点，比'是线段,%于

E、£求证：四边形/比尸是菱形（20分）

6、如图，在菱形ABCD中，AB=BD=5,

求：（1）NBAC的度数；（2）求AC的长。

7、四边形/及刀是矩形，四边形/比厂是菱形,若/庐2cm,&>4cm,求四边形/比厂

的面积。

8、在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF,过点C做CG〃EA交

FA于H，交AD于G,若NBAE=25°,ZBCD=130°，求NAHC的度数。

3、作业：

一、选择题。

1、已知菱形两个邻角的比是1:5,高是8cm,则菱形的周长是（）。

A.16cmB.32cmC.64cmD.128cm

2、已知菱形的周长为40cm,两对角线长的比是3:4,则两对角线的长分别是

（）O

A.6cm、8cmB.3cm、4cmC.12cm>16cmD.24cm、

32cm

3、如图：在菱形中，AELBC,AFICD,且£、F济别为BC、缪的中点，则

/EAF等于（）。

A.75°B.60°C.45°D.30°

4、棱形的周长为8.4cm,相邻两角之比为5：1,则菱形一组对边之间的距离为（）

5、菱形具有而矩形不具有的性质是（）

A.对角相等B.四边相等C.对角线互相平分D.四角相等

6、口/反》的对角线/C、劭相交于点。，下列条件中，不能判定64灰》是菱形的是

（）O

A.A斤ADB.ACLBDC.D.CA平分/BCD

7、下列命题中，真命题是（）。

A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形。

B.有一条对角线平分一组对角的四边形是平行四边形。

C.对角线互相垂直的矩形是菱形。

D.菱形的对角线相等。

8、菱形是轴对称图形，对称轴有（）。

A.1条B.2条C.3条D.4条

9、已知菱形的两条对角线长为10cm和24cm,则这个菱形的周长为,面积

为

10、将两张长10cm宽3cm的长方形纸条叠放在一起，使

之成60度角，则重叠部分的面积的最大值为

11、一个菱形面积为80,周长为40,则两条对角线长度之和为.

12、如图所示,已知菱形ABCD中，E、F分别在所和CD上,且N如N所示60°,

ZBAE=15°，求NCEF的度数。

13、已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD

上的点，且CE=CF。过点C作CG〃EA交AF于H,交AD

于G,若NBAE=25°，ZBCD=130°，求NAHC的度数。

14、如图所示，已知菱形ABCD中E在BC上，且AB二AE,NBAE4

ZEAD,AE交BD于M,试说明BE=AM。

15、如图，在AABC中，AB=BC,D、E、F分别是BC、AC、AB上的中点，（1）求

证四边形BDEF是菱形。（2）若AB=12cm,求菱形BDEF的

周长?

16、已知：如图，AABC中，ZBAC的平分线交BC于点D,E是AB上一点，且AE=AC,

EF〃BC交AD于点F,求证：四边形CDEF是菱形。

17.如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线

及AD、BC、AC分别交于点E、F、0,求证：四边形AFCE

是菱形。

18、已知：如图，C是线段BI）上一点，ZXABC和△ECD

都是等边三角形，R、F、G、H分别是四边形AABDE各边

的中点，求证：四边形RFGH是菱形。

B

19、如图，已知在aABC中，AB=AC,ZB,NC的平分线BD、CE相交于点DF

〃CE,EG/7BD,DF及EG交于N,求证：四边形MDNE是菱形。

§1,2矩形的性质及判定

一、教学目标：

1、能用综合法来证明矩形的性质定理和判定定理以及相关结论.

2、能运用矩形的性质进行简单的证明及计算.

二教学重难点：矩形的性质的证明以及它及平行四边形的从属关系.

三、概念：1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的

平行四边形）。

2.矩形的性质：矩形具有平行四边形的所有性质。

（1）角：四个角都是直角。

(2)对角线：互相平分且相等。

3.矩形的判定：

(1)有一个角是直角的平行四边形。

(2)对角线相等的平行四边形。

(3)有三个角是直角的四边形。

4.矩形的对称性：矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；

矩形是轴对称图形，对称轴有2条，是经过对角线的交点且垂直于矩形一边

的直线。

5.矩形的周长和面积：

矩形的周长=2(。+b)矩形的面积=长、宽为矩形的长及宽)

★注意：(1)矩形被两条对角线分成的四个小三角形都是等腰三角形且面积相等。

(2)矩形是轴对称图形，两组对边的中垂线是它的对称轴

1--------1

小:/、:/*一~7口正方形

四、讲课过程：一E.

【经典例题：】

例1：已知：0是矩形ABCD对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、

0D上的点,AE=BF=CG=DH,求证：四边形EFGH为矩形.

分析：利用对角线互相平分且相等的四边形是矩形用

证明：TABCD为矩形

A—

.•.AC=BD

-AC、BD互相平分于0

.\AO=BO=CO=DO

,.,AE=BF=CG=DH

.•.EO=FO=GO=HO

又HF=EG

AEFGH为矩形

例2：判断

(1)两条对角线相等四边形是矩形()

(2)两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形()

(3)有一个角是直角的四边形是矩形()

(4)在矩形内部没有和四个顶点距离相等的点()

分析及解答：

(1)如图

四边形ABCD中，AC=BD,但ABCD不为矩形，AX

(2)对角线互相平分的四边形即平行四边形，...对角线相等的平行四边形为

矩形二•V

(3)如图,

四边形ABCD中，ZB=90°,但ABCD不为矩形AX

(4)矩形对角线的交点0到四个顶点距离相等AX,

如图，

【课堂练习题：】

1.判断一个四边形是矩形，下列条件正确的是()

A.对角线相等B.对角线垂直C.对角线互相平分且相等D.对角线互相垂直

且相等。

2.矩形的两边长分别为10cm和15cm,其中一个内角平分线分长边为两部分，这

两部分分别为（）

A.6cm和9cmB.5cm和10cmC.4cm和11cmD.7cm和

8cm

3.在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（）

A,对角线互相平分且相等B.四个角相等

C.是轴对称图形D.对角线互相垂直平分

4在矩形ABCD中，对角线交于0点，AB=0.6,BC=0.8,则△A0B的面积为；周长

为.

5一个矩形周长是12cm,对角线长是5cm,则它的面积为.

6.若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12,则斜边上的中线等于.

°,一条对角线及矩形短边的和为15,则矩形对角线的长为，短边长为.

8.矩形的两邻边分别为4cm和3cm,则其对角线为cm,矩形面积为cm）

°,则两条对角线相交所成的锐角是.

10.矩形的对角线相交所成的钝角为120。，矩形的短边长为5cm,则对角线之

长为cm。

11.矩形ABCD的两对角线AC及BD相交于0点，NA0B=2NB0C,若对角线AC的

长为18cm,则AD=cmo

12、已知：如图所示，矩形ABCD中，E是BC上的一卓，且AE=BC,NEDCp15。.

求证：AD=2AB./

B!----------------------

【课后练习题：】

1.矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征是(

A.对角相等B.对边相等C.对角线相等D.对角线互

相平分

2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC及BD相交于点0,AB=5,AC=13,则矩形ABCD

的面积_°

3.已知，矩形的一条边上的中点及对边的两个端点的连线互相垂直，且该矩形的

周长为24cm,

2

则矩形的面积为cmo

4.如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC,在CD上取一点E,使AE=AB,则NEBC二。

5.如图，已知aABC中，AB=AC,D为BC上一点，DE±AB,DFLACdBM为高，

求证：DE+DF=BM。/\

6.如图，ABCD是矩形纸片，翻折N反/D,使比、4?恰好落在/C上。设足II

分别是反〃落在上的两点，E、G分别是折痕区AG及AB、必的交点。

(1)求证：四边形/比'G是平行四边形；

(2)若AB=4cm,BC=3cm,求线段夕7的长。

7、已知：如图，在aABC中，AB=AC,AD±BC,垂足为点D,AN是aABC的外角N

CAM的平分线，CE±AN,垂足为点E,求证：四边形ADCE为矩形。

8、如图，在矩形ABCD中，AP=DC,PH=PC,求证：PB平分/CBIL

9、如图，矩形ABCD中，E为AD上一点，EFLCE交AB于F,若DE=2,矩形ABCD

的周长为16,且CE=EF,求AE的长.

10、已知：如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分

线分别相交于点E,F,G,H,求证：四边形EFGH是

矩形。

BC

11、已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，M、

N分别为BC、AD的中点.求证：四边形BMDN是矩形.

12>如图，已知在四边形“BCD中，交于0,E>G、〃分别最四边的中

点，

求证：四边形EFG”是矩形.B

§1,3正方形的性质及判定

一、教学目标：了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质和判定方法。

二、教学重难点：探索正方形的性质及判定。掌握正方形的性质和判定的应用方

法

三、概念：

正方形的性质：

1、正方形的四个角都是直角，四条边都相等.

2、正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角。

正方形的判定：

1、有一个角是直角的菱形是正方形.

2、有一组邻边相等的矩形是正方形。

3、两组对边平行的菱形是正方形。

4、对角线相等的菱形是正方形。

5、对角线互相垂直的矩形是正方形。

6、两组对边平行的矩形是正方形

7、四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形。

8、一组邻边相等，对角线互相垂直的平行四边形是正方形。

9、一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

io,每个角都是90度的平行四边形是正方形。

11、一组邻边相等，对角线平分的四边形是正方形。

12、四个均为直角，每条对角线平分一组对角的四边形是正方形

正方形的判定方法有哪些:

正方形的判定方法还有哪些？

修岫盘狮四条边都相等且有一个角是直角

对角线相等且垂直平分

四、讲课过程

1、例题

例1：如图:△ABC中，NACB=90°,CD平分NACB,DEJ_BC,DFJ_AC,垂足分另lJ为E、F

求证：四边形CFDE是正方形.

分析：要证明四边形CFDE是正方形,可以先证四边形CFDE是矩形,然后再证明有

一组邻边

相等;也可以先证四边形CFDE是菱形,然后再证有一个角是直角.

解平分NACB,DE±BC,DF1AC

•••DE=DF（角平分线上的点到角的两边的距离相等）

AZDEC=NECF=NCFD=90°,

・•.四边形CFDE是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），

又DE=DF（已证）

...四边形CFDE是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.

例2：已知：如图点A'、B'、C'、D'分别是正方形ABCD四条边上的点，并且

AA'=BB'=CC'=DD'

求证：四边形A'B'C'I）'是正方形

分析：法一：①先证明四边形A'B'C'D'是菱形②再证明四边形A'B'C'D’

有一个角是直角

法二:①先证明四边形A'B'C'D'是矩形②再证明四边形A'B'C'D'

有一组邻边相等。

证明：•・•四边形ABCD是正方形

/.AB=BC=CD=DA

XVA'A=B'B=C'C=D'D

/.D'A=A'B=B'C=C'D

ZA=ZB=ZC=ZD=90°

AAA'D'^ABB'A'^ACC'B'^ADD'C'

AD'=AB'=BC'=CD'

四边形A'B'C'D'是菱形

又ZAD'A'=ZBA'B',ZAA'D'+ZAD'A'=90°

AZAA'D'+ZBA'B'=90°

VZD'A'B'=180°—（ZAA'D'+ZBA'B'）=90°

・•・四边形A'B'C'D'是正方形

例3：如图：EG、FH过正方形ABCD的对角线的交点O,EG_LFH,求证四边形EFGH

为正方形

解答：•・•正方形ABCDEG1FH

NOAH=ZOBE=45°,DB=ACOA=OB,ZA0H=90°-NA0E=ZBOE,

ZIAOH^ZIBOE(ASA).OH=OE.

同理OE=OF=OG=OH,

四边形EFGH是平行四边形，FH=EG

VEGXFH，四边形EFGH为正方形。

2、巩固练习

1、如图，分别延长等腰直角AOAB的两条直角边A0和B0,使AO=OC,BO=OD

求证：四边形ABCD是正方形---------71。

2、矩形ABCD中，四个内角的平分线组成四边形EMFN,判断四边形EMFN的形状,

并说明原因：

D

3、判断下列命题哪些是真命题、哪些是假命题?

对角线相等的菱形是正方形。（）

②、对角线互相垂直的矩形是正方形。（）

③、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形。（）

@、四条边都相等的四边形是正方形。（）

⑤、四个角都相等的四边形是正方形。（）

⑥、四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形。（）

⑦、正方形一定是矩形。（）

@、正方形一定是菱形。（）

@、菱形一定是正方形。（）

国、矩形一定是正方形。（）

4、已知：如图，正方形4ra中，C拒CD,MN1AC,连结制则/"除=/B,

/初快=ZB.

5、在正方形/a72中，/斤12cm,对角线ZC、放相交于0,则△/80的周长是（）

A.12+12V2B.12+6V2C.12+V2D.24+6收

3、作业

1、在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E,使CE=CA,连接AE交CD于F,求4ED

的度数。

变式：1、已知如下图，正方形/宽9中，£是切边上的一点，尸为及;延长线上一

点,CE-CF.

(1)求证：ABEC^ADFC；(2)若/应'e60°，求/跖9的度数.

2：如图，片为正方形/及刀的a'边上的一点，CG平货Z.DCF,连结并在CG

上取一点G,使吩/£求证：AEA.EG.

3、尸为正方形/及刀内一点，为=1,PF2,片3,求乙4%的度数.

AD

P

B

C

4、（海南省）如图，〃是边长为1的正方形48缪对角线4。上一动点QP及A、C

不重合），点£在射线式上，鱼PE=PB.

（1）求证：①PE=PD；②PEIPD；

（2）设力Rx,△上定的面积为y.求出y关于x的函数关系式，并写出x的取

值范围；

5、如图，四边形ABCD为正方形，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE,CE及

DB相交于点F,则NAFD=o

6、（哈尔滨）若正方形ABCD的边长为4,E为BC边上一点，BE=3,M为线段AE

上一点，射线BM交正方形的一边于点F,且BF=AE,则BM的长为。

7、.正方形的面积是;，则其对角线长是,

8、6为正方形力用》内一点，且△石％是等边三角形，求/右M的度数.

9、如图，正方形ABCD及正方形OMNP的边长均为10,点0是正方形ABCD的中心,

正方形OMNP绕0点旋转，证明：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个正方

形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值.

10、E是正方形ABCD对角线AC上一点，理rsEG：。,垂足分别为F、G,求证:

BE=FGo

11>已知见”8。中，zc=90°,CD平分NNCB,交AB于D,DF//BC,DE//AC,求证:

四边形DECF为正方形。

第二章一元二次方程

§2,1认识一元二次方程

一.教学目标：

1、经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。

2、渗透“夹逼”思想

二.教学重点难点：用“夹逼”方法估算方程的解；求一元二次方程的近似解。

三.概念：(一)、一元二次方程定义

含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

(二)、一元二次方程的一般形式

ax2+6x+c=0(a^0),它的特征是：等式左边是一个关于未知数X的二次多项式,

等式右边是零，其中“叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做

一次项系数；C叫做常数项。

四.讲课过程

一、复习：

1、什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么？一般形式：ax2+bx+c-0(a^0)

2、指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。

(1)2X2-X+1=0(2)-X2+1=0(3)x2-x=0(4)一3x2=0

二、新授：

1、估算地毯花边的宽。

地毯花边的宽x(m),满足方程(8-2x)(5-2x)=18

也就是：2X2-13X+11=0

你能求出x吗？

(1)x可能小于。吗？说说你的理由；x不可能小于0,因为x表示地毯的宽度。

(2)x可能大于4吗？可能大于2.5吗？为什么？

x不可能大于4,也不可能大于2.5,x〉4时，5-2x<0,x>2.5时，5-2x<0.

(3)完成下表

X012

2x2一

13x+ll

从左至右分别11,4.75,0,-4,-7,-9

(4)你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？及同伴交流。

地毯花边1米，另，因8—2x比5—2x多3,将18分解为6X3,8—2x=6,x=l

2、例题讲析：

例:梯子底端滑动的距离x(m)满足(x+6)2+72=10?

也就是X2+12X-15=0

(1)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？

(2)x的整数部分是几？十分位是几？

X012

X2+12X—-15-213

15

进一步计算

X

X2+12X—

15

因此X的整数部分是1,十分位是1

注意：(1)估算的精度不适过高。(2)计算时提倡使用计算器。

三、巩固练习：

1、判断下列方程是否为一元二次方程，如果是说明二次项及二次项系数、一次项

及一次项系数和常数项：

(1)2X2+3X+5(2)(x+5)(x+2)=x2+3x+l

(3)(2x-l)(3x+5)=-5(4)(3x+l)(x-2)=-5x

2、把方程(3x+2)2=4(x-3产化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、

一次项系数和常数项。

3、关于x的方程(k-3)X2+2X-1=0,当k时，是一元二次方程。

4、试找出五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和：

如果设五个连续整数中的第一个数为X,则后面四个数依次可表示为、、

、，根据题意可得方程：

判断下列方程哪些是一元二次方程

(1)4x2—5x—l=x(2)9x'—5=0(3)-+x—5=3

(4)ax2+(b—l)x+c=O(aWO)(5)5(x—l)2=5x2(6)

6、判断关于x的方程x2—nx(x—n—l)=5x是不是一元二次方程，如果是，指出

其二次

项系数，一次项系数及常数项。

7、如果关于x的一元二次方程：x2—2(a+l)x+a2=0有两个整数根，a为整数，且

12<a<60,求这个方程的两个根。

四、小结：估计方程的近似解可用列表法求，估算的精度不要求很高。

五、作业：

1、五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，你能求出这五个连

续整数吗？

2、一个面积为120平方米的矩形苗圃，它的长比宽多2米，求苗圃的周长？

之,则他最多有多长时间完成规定的动作？

4、已知两个数的和为10,积为9,求这两个数。

5、把方程2x(x-3)=(x+l)(x-2)+3化成ax2+bx+c=0的形式后，a,b,c的值分别是()

、7、、-5、、-5、、-7、-1

6、方程①X?-l=x;②2x2-y-1=0;③3x2-1+1=0;④中.其中是一元二次方程

X

的是()

A.①④B.①③④C.①D.①②

7、方程x2=x的解是()

或或0

8、在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形

图。如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,则满足的方程

是()

22+65X-350=0

22-65X-350=0

9、一元二次方程的一般形式是，二次项是，一次项系数是。

io、方程3(x2-l)=x的二次项系数是，一次项是，常数项是。

11、根据题意，列出方程：

(1)有一面积为54平方米的长方形，将它的一边剪短5米，另一边剪短2米,

恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？

⑵三个连续的整数两两相乘，再求和，结果为242,这三个数分别是多少？

12、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项

系数和常数项：

方程一般形式二次项系一次项系常数项

数数

3X2=5X-1

13、关于x的方

(x+2)(xT)=6

程(k2-l)X2+2

4-7x2=0

(k-1)

x+2k+2=0

当k时是一元二次方程；当k时是一元一次方程。

14、关于x的方程(k-3)x2+(m-3)x-l=0,是一元二次方程。则k和m的取值范

2

围分别为什么？

15、把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项：

(1)9x2—4x=5(2)(x—7)(4x+3)=(x—I)2

§2、2用配方法求解方程

一.教学目标：

1、会用开平方法解形如(x+m)2=n(n》0)的方程；

2、理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程；

3、体会转化的数学思想，用配方法解一元二次方程的过程。

二.教学重难点：理解并掌握配方法，能够灵活运用配方法解二次项系数为1的

一元二次方程。如何利用等式的性质进行配方？

三.概念：

1.配方法：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二

闪方程的方法称为配方法2.配方法一般步骤:

(1)方程ox?+bx+c=0(〃工0)两边同时除以a,将二次项系数化为1.

⑵将所得方程的常数项移到方程的右边。

(3)所得方程的两边都加上一次项系数一半的平方

(4)配方，化成(x+4=6

(5)开方。当60时，x/土瓜当b<0时，方程没有实数根。

四.教学程序：

一、复习：

1、解下列方程：

(1)x=9(2)(X+2)2=16

2、什么是完全平方式？

利用公式计算：

(1)(x+6)"(2)(x--)-

2

注意：它们的常数项等于一次项系数一半的平方。

3、解方程：(梯子滑动问题)

X2+12X-15=0

二、新授：

1、引入：像上面第3题，我们解方程会有困难，是否将方程转化为第1题的方程

的形式呢？

2、解方程的基本思路(配方法)

如：X2+12X-15=0转化为

(x+6)J51

两边开平方，得

x+6=±-\/51

...X尸倔-6X2=-A/51—6(不合实际)

因此，解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(x+m)2=n的形式，它的

一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n20时，两边开平方便可求

出它的根。

3、讲解例题：

例1：解方程:X2+8X-9-0

分析：先把它变成(x+m)2=n(n20)的形式再用直接开平方法求解。

解：移项，得：X2+8X=9

配方，得：X2+8X+42=9+42(两边同时加上一次项系数一半的平方)

即：(x+4)=25

开平方，得：x+4=±5

即：x+4=5,或x+4=—5

所以:Xi=Lx2=—9

三、巩固练习：

1＞解下列方程：

(1)(2-x)=3(2)(x-V2)=64(3)2(x+1)2=-

2

(4)x-8x+9=0(5)x--x=2

3

2、配方：填上适当的数，使下列等式成立：

(1)X2+12X+=(X+6)2

(2)X2—12x+=(x—)2

(3)X2+8X+=(X+)2

3、若x?=4,贝！Jx二.若(x+D、4,则x=.若x?+2x+l=4,则x=.若x?+2x=3,则x=.

4、填上适当的数，使下列等式成立：

X2+12X+=(X+6)2;

X2-4X+=(x-)2;

X2+8X+=(X+)2.

5、利用配方法快速解下列两个方程：

X2+2X-35=05X2-15X-10=0

6、方程y2-4=2y配方,得()

A.(y+2)2=6B.(y-l)2=5C.(y-l)=3D.(y+l)=-3.

四、小结：

(1)什么叫配方法？

(2)配方法的基本思路是什么？

(3)怎样配方？

五、作业：

1、如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽

的两条互相垂直的道路，剩余部分种花草，要使剩余部分面积

为850m2,道路的宽应为多少？(第1题)

2、解下列方程:

(1)X2+12X+25=0(2)x+4x=10

(3)X2-6X=11

(4)X2-2X-4=0(5)x-4x-12=0

(6)x-10x+25=7

(7)X2+6X=1(8)x-6x-40=0

(9)X2-6X+7=0

(10)X2+4X+3=0

4、当x取何值时，代数式10-6x+x?有最小值，是几?

5、配方法证明y2-12y+42的值恒大于0。

22

6.(DxMx+=(x-)；(2)x^x+=(x-)

7、方程XM12X=9964经配方后得(x-)2=

8、方程(x+m)2=n的根是

9、当x=-1满足方程X?-2(a+1)2X-9=0时，a=

10>已知：方程(m+1)x2mH+(m-3)x-l=O,试问：

(1)m取何值时，方程是关于x的一元二次方程，求出此时方程的解;

(2)m取何值时，方程是关于x的一元一次方程

11、关于x的一元二次方程(a+l)x2+3x+a2-3a-4=0的一个根为0,则a的值为()

A、-1B、4C、-1或4D、1

12、不论x、y为什么实数，代数式x?+y2+2x-4y+7的值()

A、总不小于2B、总不小于7C、可为任何实数D、可能为负数

§2、2用公式法求解一元二次方程

一.教学目标：

1、能够熟练地、灵活的应用配方法解一元二次方程。

2、进一步体会转化的数学思想方法来解决实际问题。

3、培养观察能力运用所学旧知识解决新问题。

二.教学重点、难点：能够熟练的应用配方法解一元二次方程和两种方法的选用。

用求根公式解简单数字系数的一元二次方程。对求根公式的推

导过程的理解

三.概念：

1.公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方

程的一般方法。

2

元二次方程ax+bx+c=O(a^0)的求根公式：x/士五―4竺(/_4ac>0)

2a

四.教学程序：

一、复习：上节课我们学过的解一元二次方程的基本思路是什么？其关键是什么？

二、新授：

1、例题讲析：

例1利用公式法解方程X2-7X-18=0

分析：此方程中哪些数字相当于ax?+bx+c=0(aWO)中的a、b、c?试写出解

方程的完整过程。

例2对于问题：k取何值时,kx2+3x+4=0有两个不相等的实数根，下面的

解法是否正确？若不正确，请给出正确解法。

解：VA=3-4•k-4=9-16k

令9T6k>0,则k<-

16

即当k<2时，方程kx2+3x+4=0有两个不相等的实数根。

16

2、用公式法解一元二次方程的步骤：

(1)把方程化为(一般形式)

(2)写出一元二次方程的各项(系数)

(3)计算(判别式了2-4ac)的值，并判断出及(0)的大小关系

(4)在一元二次方程有(b"2-4ac>=0)的前提下，用公式(x=(-b+(-)VA)

/2a)求出x的值

(5)具体写出xl=((-b+VA)/2a)x2=((-b-VA)/2a)

3、利用配方法推导一元二次方程的求根公式

若给出一个一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)你觉得应如何利用配方法求解？

(1)ax2+bx+c=O(aWO)方程的两边同时除以a可得到：。

⑵把上式中的常数项移项可得：

⑶如果对上式进行配方，方程两边应加上什么式子，这个式子是怎样得到的?

(4)配方后可得：。

⑸思考：对于上式能不能直接利用直接开平方，为什么？

结论：对于一元二次方程ax?+bx+c=O(aWO),当时，它的根是：

x=。式子称为求根公式，用解一元二次方程的方法称为公式法。

1、用公式法解下列方程:

(1)2X2-4X-1=0;(2)5x+2=3x2;

(x-2)(3x-5)=l

(4)X2-2X-4=0(5)5x2=4-2x

(x—2)(3x—5)=1

(7)x2-5V2X+8=0(8)X2+2X-35=0

5x-15x-10=0

(10)9X2+6X+1=0(11)16X2+8X=3

2、一个直角三角形三边的长为三个连续的偶数，求这个三角形的三条边长。

3、方程(m+1)x"(m-3)xT=O.

(1)m取何值时，方程是一元一次方程

⑵m取何值时，方程是一元二次方程，并求出此方程的解。

4、x=-2是方程2x2+mx-4=0的一个根，则m的值是。

5、两个连续奇数的积是483,则这两个奇数分别是、。

6、若一个等腰三角形三边长均满足方程X2-6X+8=0,则此三角形的周长为。

7、已知一元二次方程有一个根是2,则这个方程可以是(填上你认为正确的一个

方程即可)。

8、填空:

(1)方程x?+2x+l=0的根为5=,x2=,则Xi+x2=;xjX2=.

(2)方程x?-3xT=0的根为x尸，x2=,则Xi+x2=;xjX2=.

(3)方程3x2+4x-7=0的根为x尸,x2=,则Xi+x2=;xjX2=.

§2、2用分解因式法求解一元二次方程

一、教学目标：

1、了解分解因式法的概念；

2、会用因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程。

3、体验解决问题的方法的多样性，灵活选择方程的解法。

4、在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的信心。

二、教学重点、难点：会用因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程。

会用因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程。

三、概念：因式分解法：一元二次方程的一边另一边易于分解成两个一次因式的

乘积时使用此方法。

四、教学程序：

一、复习：

1、有两个数a、b,如果它们之间满足a・b=O,则a,b的值会是怎样的情况？

2、对下列各式分解因式：(1)5X2-4X(2)X-2-X2+2X

二、新授：

1、例题

例1：

如图所示：

(1)设花园四周小路的宽度均为xm,可列怎样的一元二次方程?

(16-2x)(12-2x)=-X16X12

2

(2)元二次方程的解是什么？

Xi=2X2=12

(3)这两个解都合要求吗？为什么？

*尸2合要求，X2=12不合要求，因荒地的宽为12nl，小路的宽不可能为12m,

它必须小于荒地宽的一半。

例2、设花园四角的扇形半径均为xm,

可列怎样的一元二次方程？

21

x2Ji=-X12X16

2

(2)一元二次方程的解是什么？

X2^

(3)合符条件的解是多少？

X.

3、你还有其他设计方案吗？请设计出来及同伴交流。

(1)花园为菱形？(2)花园为圆形

三、巩固练习

1、利用分解因式法解方程

(1)5X2=4X(2)x-2=x(x-2)

2、你能用分解因式法解方程x?-4=0,(x+l)2-25=0吗？及同学交流一下。

四、小结：

1、本节内容的设计方案不只一种，只要合符条件即可。

2、设计方案时，关键是列一元二次方程。

3、一元二次方程的解一般有两个，要根据实际情况舍去不合题意的解。

五、作业：

1、用分解因式法解方程

(1)X2-6X=0(2)3(X-5)=2(5-X)(3)

2(x-3)2=X2-9

(4)4X2-4X+1=0(5)4(x-2)2=9(x+3)2

(6)4x(2x+l)=3(2x+l)

(7)(2x+3)=4(2x+3)(8)3x(x-1)=2-2x(9)

(x-2)2=(2x+3)2

(10)(x-2)(x-3)=12(11)X-5V2X+8=0(12)

2(x-3)2=X2-9

(13)5(x2-x)=3(x2+x)

2、解方程2x(x-1)=x-1时，有的同学在方程的两边同时除以(x-1),得2x=l,

解方程得x=0.5,这种做法对吗如

果不对,请你写出正确的答案并及同学交流.

3、方程y2-4=2y配方，得()

A.(y+2)2=6B.(yT>=5C.(y-l)=3D.(y+l)2=-3.

4、已知Di?-13m+12=0,则m的取值为()

5、如果关于x的一元二次方程：x2—2(a+l)x+a2=0有两个整数根，a为整数，且

12<a<60,求这个方程的两个根。

§2、5一元二次方程根及系数的关系

一、教学目标：提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。

二、教学重难点：寻找等量关系，建立方程模型。

三、概念：一元二次方程根及系数的关系：如果方程"2+bx+c=0（〃NO）的两个实数

根是X］，”则，。

四.教学程序：

1、例题精讲

例1:已知关于X的方程（1）--。-2切+/-3=0有两个不相等的实数根，且关于X

的方程（2）/-2x+2a-l=0没有实数根，问o取什么整数时，方程（1）有整数解？

分析：在同时满足方程（1）,（2）条件的口的取值范围中筛选符合条件的。的整

数值。

aJ

解：•・•方程（1）有两个不相等的实数根，.*.A1=［-（l-2a）］-4（a-3）＞0解

得；

•・•方程（2）没有实数根，.•.5=（-2尸-4（2"1）＜0解得”＞1；于是，同时满足

方程（1）,（2）条件的。的取值范围是其中，a的整数值有a=2或a=3

当a=2时，方程（1）为#+3x+l=0,无整数根；当a=3时，方程（1）为1+5x+6=0,

有整数根。解得：々=・2.勺=・3

所以，使方程（1）有整数根的。的整数值是。=3。

例2：不解方程,判别方程2M+3x-7=0两根的符号。

分析：对于一+6+＞咐工。）来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为己

知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在及否，若判定根的正

负,则需要确定A0或A+4的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别

式的值，又要确定A0或2+它的正负情况。

解：V2xa+3x-7=0,.-.△=3a—4X2X(―7)=65>0

••・方程有两个不相等的实数根。设方程的两个根为近⑦，

•••vo・•.原方程有两个异号的实数根。

说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根及系数的关系”结合起

来进行确定，另外由于本题中再0<0,所以可判定方程的根为一正一负；倘若A今

>0,仍需考虑丸+吃的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。

二作业

填空题：

1、如果关于x的方程M+6x+±=0的两根之差为2,则七=。

2、已知关于X的一元二次方程(/-D，-(a+l)x+l=0两根互为倒数，贝必=。

3、已知关于x的方程1-3用了+2如7)=0的两根为a、4且，贝帆=。

4、已知小刀2是方程2--7x-4=0的两个根，则:雄+4=；

(可+1)(/+1)=；k「xj=。

5、已知关于x的一元二次方程皿2-4八6=0的两根为玉和%且近+占=-2,则

=；(Xj+Xj)***=

6、如果关于x的一元二次方程/+及x+a=O的一个根是1-拉，则另一个根是,

。的值为。

7、已知2+、回是左=0的一根，则另一根为，上的值为。

8、一个一元二次方程的两个根是2+m和2-痴，则这个一元二次方程为：。

求值题：

1、已知小声是方程2?一3x7=0的两个根，利用根及系数的关系，求五、2・刀岩的

值。

2、已知可、匕是方程3/-2x-】=0的两个根,利用根及系数的关系，求尸

的值。

3、