五年级奥数几何圆与扇形包含与排除和旋转对称（B级）学生版

捆地球的绳子

假设地球上即无山，又无海，完全像一个大圆球，现在想用一根很长很长的绳子，沿着赤道用绳子捆

上一圈，问绳长多少？如果绳长加上1米，绳子围成一个大圆圈之后，就要离开赤道一段距离，形成围绕

地球的•个等距离的圆环，间圆环和地球之间的间隔有多大？(已知地球半径约为6400千米，不取3.14)

答案提示：地球赤道长：2乃厂=2x3.14x6400=40192(千米)，所以绳长40192千米；

一般我们会想对于4万多千米来说，仅仅延长1米，会有多大的间隔？即使有间隔，恐怕也只能在显微镜

下才能看见！让我们来计算一下吧！假如绳长加上1米变为40192001米，则有：

4()192001+2乃一6400()0()。().159(米)，大约为16厘米，差不多有一支铅笔长。简直不可思议！

圆的知识：

I.当一条线段绕着它的一个端点0在平面上旋转一周对，它的另一端点所画成的封闭曲线叫做圆，

点0叫做这个圆的圆心.

2.连结一个圆的圆心和圆周上任一点的线段叫做圆的半径.

3.连结圆上任意两点的线段叫做圆的弦；过圆心的弦叫做圆的直径.

4.圆的周长与直径的比叫做圆周率；圆周上任意两点间的部分叫做弧.

5.圆周长=直径XJT=半径X2丸圆面积=^X半径2

扇形的知识：

1.扇形圆心角.

2.我们经常说的!圆、，圆、，圆等等其实都是扇形，而这个儿分之几表示的其实是这个扇形的圆

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心角占这个圆周角的几分之几.那么一般的求法是什么呢？关键是工.

3.扇形中的弧长二黑.扇形的周长二黑+2r.扇形的面积二"二=llr.

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弓形的知识：

弦与它所对的弧所组成的图形叫做弓形。【一般来说，弓形面积二扇形面积-三角形面积.（除了半圆）】

常用方法：

1.常用的思想方法：

①转化思想（复杂转化为简单，不熟悉的转化为热悉的）

②等积变形（割补、平移、旋转等）

③借来还去（加减法）

④外围入手（从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的“关系”）

2.包含与排除法：重叠想减就是应用了包含与排除的思想，用包含与排除求面积时，关键是考虑重

叠部分的面积如何正确处理，应该加上还是减去，要仔细思考，正确选择。

3.旋转对称：将不规则图形或几个图形经过旋转、对称之后成为一个或几个规则图形进行面积计算

的方法。

重点：利用容斥原理就是重叠相减法求面积。

旋转图形问题的重点研究是当一个图形绕一点进行旋转轨迹扫过的面积。

难点：利用容斥原理如何对重叠部分的面积进行正确的处理。

如何利用旋转对称对所求图形进行简化。

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［例1］如图，直角三角形的边长分别为6,8,10,求阴影部分的面积.（兀取3）

【巩固】如图，AB与CD是两条垂直的直径，圆。的半径为15,ABE是以C为圆心，AC为半径的圆弧.求

阴影部分面积.

【例2】图中长方形的长是10厘米，宽是4厘米，那么忤中阴影部分的面积是多少？（用n的式子表

示）

【巩固】如右图，正方形的边长为5厘米，则图中阴影部分的面积是多少平方厘米，（用工的式子表示）

【例3】如图所示，求阴影部分的面积。（用n的式子表示）

【巩固】（2008年四中考题）已知三角形ABC是直角三角形，幺0=4cm,8c=2cm,求阴影部分的面积.（用

乃的式子表示）

【例3】三个圆的半径都是5厘米，三个圆两两相交于圆心，求三块阴影部分的面积之利。

【巩固】四个小圆的半径都是5厘米，大圆半径为小圆的直径，求三块阴影部分的面积之和。

【例4］（奥林匹克决赛试题）在桌面上放置3个两两重叠、形状相同的圆形纸片.它们的面积都是100

平方厘米，盖住桌面的总面积是144平方厘米，3张纸片共同重叠的面积是42平方厘米.那么图

中3个阴影部分的面积的和是多少平方厘米.

【巩固】（2010年四中）四个圆的半径都是10厘米，三个圆两两相交于圆心，求四块阴影部分的面积之和。

［例5］草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（见

如图）.问：这只羊能够活动的范围有多大？（圆周率取）（用n的式子表示）

【巩固】一只狗被拴在底座为边长3米的等边三角形建筑物的墙角上（如图），绳长是4米，求狗所能到的

地方的总面积.（圆周率按计算）

【例6】正三角形ABC的边长是6厘米，在一条直线上将它翻滚几次，使力点再次落在这条直线上，那

么“点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米？如果三角形面枳是15平方厘米，那么三角

形在滚动过程中扫过的面积是多少平方厘米？（用n的式子表示）

【巩固】如图，一条直线上放着一个长和宽分别为4cM和3cM的长方形I.它的对角线长恰好是5cM.让

这个长方形绕顶点B顺时针旋转90度后到达长方形II的位置，这样连续做三次•点A到达点E

的位置.求点A走过的路程的长.（用71的式子表示）

［例7］如图所示，直角三角形44C的斜边长为10厘米，N4BC=60。,此时8c长5厘米.以点8

为中心，将"8C顺时针旋转120。，点力、C分别到达点E、力的位置.求/C边扫过的图形

即图中阴影部分的面积.（冗取3）（用IT的式子表示）

【巩固】（2006年数学解题能力高年级初试8题）如下图，•是一个等腰直角三角形，直角边的长度

是1米。现在以C点为圆点，顺时针旋转90度，那么，?!«边在旋转时所扫过的面积是多少平方

米（4=3.14）

［例8］如图30-14,将长方形ABCD绕顶点C顺时针旋转90度，若AB=4,BC=3,AC=5,求AD动扫过部

分的面积.（不取3.14）

【巩固】（祖冲之杯竞赛试题）如图，/8C0是一个长为4,宽为3,对角线长为5的正方形，它绕C点按

顺时针方向旋转90。，分别求出四边扫过图形的面积.

［例9］（2004年第九届华杯赛初赛）半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的内侧作无滑

动的滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？

【巩固】如图所示，大圆周长是小圆周长的〃（〃〉1）倍，当小圆在大圆内侧（外侧）作无滑动的滚动一圈后

乂回到原来的位置，小圆绕自己的圆心转动了几周？

1、下图是一个直径为3的半圆，让这个半圆以A点为轴沿逆时针方向旋转60度，此时B点移动到夕点,

求阴影部分的面积。（用TI的式子表示）

2、如图，四个小圆为完全相同的圆，且半径为2,如图，求阴影部分的面积。

3、长方形的长为10,宽为4,求图中阴影部分的面积。（打取3）

4、直角三角形48c放在一条直线上，斜边/C长20厘米，直角边8c长10厘米.加下图所示，二角形由

位置I绕片点转动，到达位置II，此时8,C点分别到达4,G点；再绕4点转动，到达位置HI,

此时彳，G点分别到达4,G点.求c点经G到C?走过的路径的长.（用1r的式子表示）

5、有三个面积都是S的圆放在桌上,桌面被圆覆盖的面积是2s+2,并且重合的两块是等面积的，直线a过两

个圆心A、B,如果直线a下方被圆覆盖的面积是9,求圆面枳S的值.

1、在解决圆与扇形的组合图形时，先观察图形中自己会求得图形的面积，然后再分析如何利用这几个图

形来求组合图形的面积。

2、解决旋转图形的问题时，要认真分析运动着的物体所经过的路线或范围。

1、如图所示，圆的半径为4,BC=10,求阴影部分的面积。（用弘的式子表示）

2、如图，矩形肪⑦中，"=6厘米，比三4厘米，扇形力配半径丝=6厘米，扇形的'的半径==4厘米,

求阴影部分的面积.（用n的式子表示）

3、在桌面上放置310。平方厘米，盖住桌面的总面积是144立方厘米，1,2,3,部分的面积和为80,3张

纸片共同重叠的面积是阴影部分,求阴影部分得面积c

4、一个正方形的边长为2,它的一半是一个等腰直角三角形，逆时针旋转90度，得到如下图型，求阴影

部分得面积。（用兀的式子表示）

5、（2008年数学试题）如图，直角三角形44C中，NB为直角,且5c=2厘米，AC=4厘

米，则在将MBC绕C点顺时针旋转120＞的过程中，延边扫过图