冀教版八年级数学上册第十四章实数 集体备课教学设计

第十四章实数

14.1平方根.................................................................-1-

14.2立方根...............................................................-12-

14.3实数..................................................................-19-

14.4近彳以数...............................................................-36-

14.5用计算器求平方根与立方根............................................-41-

14.1平方根

第一课时

教学目标

【知识与能力】

1.能说出平方根的概念,会用根号表示一个数的平方根.

2.知道开平方与平方是互逆运算,会利用这个互逆运算关系求某些非负数的平方根.

3.知道士Ja表示的是非负数a的平方根.

【过程与方法】

在学习开平方运算求一个数的平方根的过程中，体会开平方运算与平方运算之间的互

逆关系.【情感态度价值观】

1.通过探究学习，使学生进一步感受到所学数学知识之间的内在联系.

2.培养学生发现问题、归纳结论、应用新知的意识，培养学生学数学、爱数学的良好

情感.教学重难点

【教学重点】

平方根、算术平方根的概念及求法.

【教学难点】

有关平方根、算术平方根的运算以及它们的区别与联系.

教学过程

一、新课导入：

导入一：

我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方的运算，但在现实生活中，有些问题仅

运用这五种运算是无法解决的.例如：小明家有一块面积为100nl2的正方形花W1.花圃

周围要用护栏围起来，需要护栏多少米?解决这个问题就要运用一种新的运算,这种运

算叫做开平方.这节课我们就要学习开平方运算和平方根.

［设计意图］新课程数学课堂强调，从学生已有的经验出发,让学生亲身经历将

实际问题抽象成数学模型并解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时,

在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展.

导入二：

小明家的新房刚刚装修好，星期天小明的爸爸带着小明去挑选餐桌.他们看中了

一款非常漂亮的餐桌,可是不知道边长是多少,正当小明的爸爸犯愁

的时候，小明看了看桌子上的标签，得意地说：‘我知道了”.

几秒之后提问：同学们,你们知道吗？

［设计意图］设疑之后，引导学生发现这个问题的本质，即求平方等于10。的数

是多少.随后，再说几个数让学生们找哪些数的平方等于它们.有了以上的铺垫,解决

这一问题对于学生来说就轻而易举了，即可轻松地引入课题.

导入三：

玲玲家最近喜事不断,家里新购了一套房子,全家欢欢喜喜地搬进新居，爸爸妈妈

又增加了工资.条件改善了，为了给玲玲一个好的学习环境，爸爸打算给玲玲买一张桌

子供她在家做作业.爸爸问玲玲：“你喜欢长方形桌子还是正方形桌子？”玲玲认为正

方形桌子更大，可以多放点书，又可以有足够的位置写字,所以她更喜欢正方形桌子.

于是爸爸根据她的要求为她购置了一张正方形桌子，玲玲量了量课桌的边长为100cm,

你能算出这张桌子的周长和面积吗?如果玲玲更直接地告诉爸爸:“我想要一张面积约

为125dm2的正方形桌子”.爸爸能为她购置到满意的桌子吗？计算正方形的面积必须

要知道正方形的边长，根据边长求面积是乘方运算,而根据面积求边长又是什么运算

呢?这节课我们就来探讨这个问题.

［设计意图］好的故事情境，充满了生活气息，让学生感知数学与生活的密切联

系，从中体会学习数学的重要性，使学生更能积极地衣入到本节的学习之中.

二、新知构建：

活动一:做一做一一感知平方根

［过渡语］通过导入我们知道当护栏的边K是10山时，正方形花圃的面积是

100m2,也就是102=100.下面我们再来看儿个问题.

思路一

【课件1】

和T的平方等于多少？10和T0的平方等于多少?

2.平方等于白的数有哪些?平方等于100的数呢？

/A

3.满足y-25的x的值是多少？

解：1.2,100.2.-,10,-10.3.5,-5.

2555

教师说明：因为5>=25,所以尸5;又因为(七尸二25,所以5或T的平方都等于25.

因为5和T的平方都等于25,我们把5和T叫做25的平方根.

归纳:一般地,如果一个数x的平方等于a,即声国那么这个数x就叫做a的平方

根,也叫做a的二次方根.

例如：100的平方根是10与T0.因为(±10)2=100,所以10与T0都是100的平方

根.

你能说出49,144的平方根吗？

(49的平方根是7和-7;144的平方根是12和-：2.)

［设计意图］使学生初步体会到：(1)互为相反数的两个数的平方相等；(2)初步

感受平方与开平方这种互逆关系.

【课件2】填写下表：

33

X•••-3-1013•••

22

♦♦・•••

学生填完表格后，引导学生观察：

(1)当一个正数和一个负数互为相反数时,它们的平方有什么关系？

(2)正数有平方根吗。如果有,有几个?它们有什么关系？

(3)0有平方根吗?如果有,它是什么数？

(4)负数有平方根吗。

学生独自思考,通过具体实例弄懂上述问题,然后总结出：

(1)它们的平方相等.

(2)一个正数有两个平方根,它们互为相反数.

(3)0有一个平方根，是0本身.

(4)负数没有平方根.

说明:通过具体数的平方根的探究，引导学生总结出正数、0、负数的平方根的情

况.

教师指出：一个正数a的正的平方根,用符号“否”表示,a叫做被开方数.正数a

的负的平方根，用符号"7窗’表示，这两个平方根合起来可以记作"±G”.根指数

是2时,通常这个2省略不写，如仿记作历，读作“根号a”;土记作土读作“正、

负根号a”.

【课件3］观察框图，说一说求一个数的平方运算和求一个数的平方根运算具

有怎样的关系.

底数----指数

_______<—0=7

Q为％的平方

嘉G的平方）

根号被开方数

x-±J~a->1______

%为。的平方根

。的平方根

教师指导学生根据框图，明确求一个数的平方运算和求一个数的平方根运算互为

逆运算,并举例加以说明,我们把求一个数的平方根的运算,叫做开平方.

［设计意图］理解和掌握平方根的性质，认识平方与开平方互为逆运算.

思路二

说明：导入一中的问题，实际就是要求一个数，这个数的平方等于100,结合以前

乘方的知识,我们不难得出10:100.所以护栏的边长是10m.

教师说明：一般地,如果一个数x的平方等于%即*=&那么这个数x就叫做a的

平方根，也叫做a的二次方根.

因为5-25,所以5是25的一个平方根.

说明：除5?二25外,可以由学生多举几个例子，以加深对概念的认识,从具体到抽象,

便于学生理解和接受平方根的概念.

问1:25的平方根只有一个吗?有没有其他的数,它的平方也是25?

学生思考，快速得到:因为（T）2=25,所以T也是25的一个平方根.

问2:从上述解决问题的过程中，你能总结一下求一个数的平方根的方法吗？

（根据平方根的意义，可以利用平方来寻找或检验一个数的平方根）

【课件4】求100的平方根.

问1:你能按照上述问题解决的方法求出100的平方根吗？

问2:你能正确书写解题过程吗？

解：・・•(10)2=100,(-10)2=100,・・・100的平方根为10或。0(也可以写成土成).

说明：理解概念的基础上，引导学生思考，由学生口述，教师适时纠正易出现的错

误,板书规范解题格式.

【课件5】试一试.

(1)144的平方根是什么？

(2)0.0001的平方根是什么？

(3)0的平方根是什么？

讨论:通过刚才的“试一试”你能发现什么规律？

总结：1.正数的平方根有两个,它们互为相反数.

2.0的平方根是0.

由以上讨论发现,有时候我们已知一个数要求这个数的二次幕时，只有一个,也有

些时候,我们已知某数的二次事,要求出这个数，发现此时通常可找到两个数，且这两

个数互为相反数.

［设计意图］进一步巩固有关平方根的概念,在练习中总结平方根的有关性质，

培养学生的总结归纳能力.教师引导,学生自己总结出平方根的性质，充分反映了“教

师主导，学生主体”的理念.

问1：Y有没有平方根?为什么？

学生思考得出：一个负数没有平方根,因为任何数的平方都是非负数.

结论：

1.正数的平方根有两个,它们互为相反数.

2.0的平方根只有一个，为0.

3.负数没有平方根.：补充:非负数才有平方根

问2:a有没有平方根?为什么？

结合问1:当时,a有平方根;当水0时,a没有平方根.

［设计意图］引导学生学会用简练的数学语言来表达,促进学生数学思维的发展

及数学语言的运用.

注：学生刚开始接触平方根时，有两点可能不太习惯：一是正数有两个平方根，即

正数进行开平方运算时有两个结果，这与学生过去遇到的运算结果啡一的情况有所不

同；另一个是负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算.教学时，可以通过较多实

例说明这两点,并在本节以后的教学中继续强化这两点.

说明：正数a的两个平方根记为土亚其中a叫做被开方数.如4的平方根为土",

被开方数是4;0.01的平方根为被开方数是0.01.

活动二:例题讲解

［过渡语］我们把求i个数平方根的运算，叫做开平方.我们可以借助平方运算

来求一个正数的平方根.

【课件6】

例题求下列各数的平方根.

⑴81;⑵日;(3)0.04.

JL4工

指导学生利用平方与开平方的互逆关系求各数的平方根.

解：(1)因为(±9)2=81,所以81的平方根为±9,即土W二±9.

⑵因为(±5)2=券所以含的平方根为土.即土焉土*

(3)因为(±0.2)2=0.04,所以0.04的平方根为二0.2,BP±Vo7O4=±O.2.

教师规范书写格式.

思考：土历表示什么意思,这里的a可取什么样的数呢？

7FT乂该怎样理解呢?这里的x又可取什么样的数呢？

学生讨论回答.

【课件7】

(补充)下列各数有平方根吗?如果有,求出它的平方根,如果没有,说明理由.

-64,0,I)?.

学生分组讨论,选派一名代表回答.

解：与4没有平方根;0的平方根是0;(Y)2的平方根是±4.

［知识拓展］(1)平方根是一个数,是开平方的结果;而开平方和加、减、乘、除、

乘方一样,指的是一种运算,是求平方根的过程.

(2)平方和开平方互为逆运算,我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正

确.

⑶平方和开平方之间的关系我们可以这样来理解:①已知底数勿和指数2,求痛

是平方运算，即序二(?)；②已知幕a和指数2,求底数,是开平方运算，即(?)2F.

［设计意图］通过例题，让学生掌握平方根的计算方法，强化对平方根性质的理

解，进一步掌握正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根;0的平方根是

0.

三、课堂小结：

一般地,如果一个数x的平方等于a,即/=a那么这个数x就叫做a

平方根的定义

的平方根，也叫做&的二次方根.

表示方法当a为正数时,a的平方根为土

(1)一个正数有两个平方根，它们互为相反数.

平方根的性质(2)0只有一个平方根，是0本身.

(3)负数没有平方根.

第二课时

教学目标

【知识与能力】

1.了解数的算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根.

2.理解算术平方根与平方根的联系与区别.

【过程与方法】

1.通过教学过程中学生的参与，培养学生学习的主动性,提高数学表达和运算能力.

2.通过举例使学生明确平方根与算术平方根的区别和联系.

【情感态度价值观】

1.学生通过积极参与教学活动获取新知,通过小组活动发展独立思考和竞争意识.

2.通过主动参与使学生勇于面对困难并能够解决困难,发展合作交流意识.

教学重难点

【教学重点】

算术平方根的概念和性质.

【教学难点】

对算术平方根意义的理解.

教学过程

一、新课导入：

导入一：

【课件11学校要举行美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为25dm2

的正方形画布,画上他自己的得意之作参加比赛,这块正方形画布的边长应取多少？

师:怎样算出画布的边长为5dm的呢？(思考1分钟)

【课件2】填表：

4

正方形面积191636

25

正方形边长

教师在学生完成的基础上与学生共同总结：已知正方形的面积求边长，本质

上就是已知一个正数的平方，求这个正数的问题.那么这个正数与这个正数的平方是

什么关系呢?下面我们来共同探讨这个问题.

［设计意图］从正方形的面积，引出求一个正数的正的平方根，让学生初步认识

算术平方根,为下面的学习做好铺垫.

导入二：

同学们,2003年10月15日是我们每个中国人值得骄傲的日子.因为这一天，“神

舟”五号飞船载人航天飞行取得圆满成功，实现了中华民族千年的飞天梦想（多媒体同

时出示“神舟”五号飞船升空时的画面）.那么你们知道宇宙飞船离开地球进入轨道正

常运行的速度是在什么范围吗?这时它的速度要大于第一宇宙速度■（米邓）而小于

第二宇宙速度丹（米邓）/»的大小满足说二g兄匕=2就怎样求匕外呢?这就要用到

算术平方根的概念,也就是本节要学习的内容.

［设计意图］“神舟”五号成功发射和安全着陆,标志着我国在攀登世界科技高

峰的征程上乂迈出具有重大历史意义的一步，是我们伟大祖国的荣耀.此内容有感染

力，使学生对本章知识的应用价值有一个感性认识，同时激发学生的好奇心和学习的

兴趣.这里的计算实际上是已知界和指数求底数的问题,是乘方的逆运算,学生以前没

有见过，由此引出了本章所要研究的主要内容，以及研究这些内容的大体思路.

导入三：

【课件3】

1.（1）625的平方根是多少?这两个平方根的和是多少？

（2）-7和7是哪个数的平方根？

（3）正数力的平方根怎样表示？

（4）求下列各数的平方根.

①64;②0;③（为人尸；④卜1|）2；⑤16；⑥（⑷）

2.已知正方形的面积等于a,那么它的边长等于多少？

解:设正方形的边长为x,则根据平方根的定义,得产土因为正方形的边

长是正数,所以正方形的边长是

［设计意图］复习巩固平方根的知识,进一步掌握平方根的计算方法，为学习算

术平方根做准备.

二、新知构建：

活动一:感知算术平方根的定义

思路一

［过渡语］上面的问题，可以归纳为“已知一个正数的平方，求这个正数”的问题.

实际上是乘方运算中，已知一个数的指数和它的幕求这个数.

一个正数的两个平方根互为相反数,我们把一个正数a的正的平方根叫做a的

算术平方根.

一般地,如果一个正数x的平方等于a,即是a,那么这个正数x叫做a的算术平

方根.a的算术平方根记为迎，读作“根号a”,a叫做被开方数.规定:0的算术平方根

是0.也就是,在等式x=a(^0)中，规定产历.

思考:这里的数。应该是怎样的数呢？

试一试:你能根据等式“2=121说出121的算术平方根吗?并用等式表示出来.

解：121的算术平方根是11,用等式表示为

L知识拓展」平方根与算术平方根的区别和联系.

区别：(1)概念不同：如果一个数的平方等于&那么这个数就叫做a的平方根;非

负数a的非负平方根叫做日的算术平方根.

(2)表示方法不同：正数a的平方根表示为土迎;正数a的算术平方根表示为

(3)个数及取值不同:一个正数的算术平方根只有一个，是正数;一个正数的平方

根有两个,一正一负且互为相反数.

联系：(1)具有包含美系：平方根包含算术平方根，一个数的算术平方根是一个数

的平方根中的一个.

(2)存在条件相同:平方根和算术平方根都只有非负数才有.

(3)0的平方根、算太平方根都是0.

(4)求算术平方根、平方根都可看成是平方的逆运算.

思路二

说明：正数a有两个平方根(表示为±6)，我们把其中正的平方根,叫做石的算术

平方根,表示为VH.

0的平方根也叫做0的算术平方根，因此0的算术平方根是0,即历二0.

几何图形可以直观地表示算术平方根的意义,面积为江苏0)、边长为伤的正方形,

边长就表示a的算术平方根.

“J”是算术平方根的符号,就表示a的算术平方根.

思考:石的被开方数是什么样的数?它的结果又是怎样的数？

的意义有两点：

(1)被开方数a表示非负数，即打20;

(2)也表示非负数,即VS20.

也就是说，非负数的算术平方根是非负数，负数不存在算术平方根，即水0时，正

无意义.

如：75=3,8是64的算术平方根,C无意义.

强调:这里需要说明的是，算术平方根的符号不仅是一个运算符号，如d

三0时,伞表示非负数a进行开平方运算，也是一个性质符号，即表示非负数a的非负

平方根.

例如,再表示对9进行开平方运算,也表示9的正的平方根.

［设计意图］让学生在小组间进行必要的合作与交流，以加深学生对平方根及算

术平方根意义的理解.

活动二:强化一一算术平方根的计算

［过渡语］理解了算术平方根的意义以及表示方法,我们就可以求出一个非负数

的算术平方根.

【课件4］(教材第63页做一做)求下列各数的算术平方根.

(1)144;(2)0.01;⑶士(4)132;⑸(-16)2.

49

1.引导学生正确应用算术平方根的表示方法计算.

2.学生口述过程.

解：⑴12.(2)0.1.(3号(4)13.(5)16.

观察“做一做”中⑷和⑸的结果，你有什么发现？

a(a>0),

小组讨论得出:、宇=\a\=0(a=0),

-a(a<0).

语言表述:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.

说明：首先让学生体验一个数的算术平方根应满足怎样的等式，应该用怎样的符

号来表示，在此基础上再求出结果.在开始阶段，宜让学生适当模仿，熟练后直接写出

结果.

【课件5】

例1计算下列各式.

(1)71769；(2)^225;

(4)"17)2.

说明：要让学生明白各式所表示的意义；根据平方关系和算术平方根的概念进行

求解，注意解题格式.

(2)^225=^15^=-15.(3)土后土屑号

解：(l)YT^=VT字=1.3.

(4)=-V172=-17.

【课件6】

例2某小区有一块长方形草坪，为了加强保护，小区管理人员准备用篱竺沿草

坪边缘将具围起来.已知该长方形草坪的长是宽的4倍,草坪的面积是900m',求所需

篱笆的总长度.

(解析)(1)如果设所需篱笆的宽为次,它的长是多少?怎样列方程？(2)怎样求

出x的值？

解:设这块长方形草坪的宽为须,则长为4Am.

因为长方形草坪的面积是900m2,所以4x・尸900,即*=225.

所以^=±V225=±V152=±15.

A=-15不合题意，舍云.

所以A=15,2X(15+4X15)=150(m).

答:所需篱笆的总长度是150nL

［设计意图］体会平方根和算术平方根的实际意义,理解实际情境中值的取舍;

规范步骤,让学生养成良好的书写习惯.

三、课堂小结：

算术平方根的定

一个正数a的正的平方根内叫做a的算术平方根.

义

算术平方根的表

«S20)(即非负数有算术平方根)

示方法

表示一个数的平方的算术平方根，它等于这个数的绝对值.

后的意义a(a>0),

即:=|a|=0(a=0),

-a(a<0).

注意的问题

（1）只有非负数有算术平方根；（2）算术平方根具有双重非负性,一个是被开方

数是非负数,二是结果是非负数；（3）百（a20）的最小值是0.

14.2立方根

教学目标

【知识与能力】

1.了解立方根的概念，初步学会用根号表示一个数的立方根，让学生体会一个数的立

方根的唯一性.

2.了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根，分清一个数的立

方根与平方根的区别.

【过程与方法】

1.帮助学生了解数的立方根的概念和性质，会用三次根号表示数的立方根,让学生体

会一个数的立方根的唯一性.

2.帮助学生了解开立方运算与立方运算之间的互逆关系，掌握用立方运算求一个数的

立方根的方法，帮助学生了解用计算器求某些数的立方根的方法.

3.通过学生的积极参与,培养学生独立思考的能力,提高数学表达和运算能力.

【情感态度价值观】

1.通过立方根的学习，认-只数学与人类生活的密切联系,激发学生的学习兴趣.

2.通过探究活动，锻炼克服困难的意志，增强自信心，激发学生的探索热情.

教学重难点

【教学重点】

立方根的概念和性质.

【教学难点】

区别立方根和平方根.

教学过程

一、新课导入：

导入一：

师:请同学们回忆我们是怎样定义平方根的?它的符号怎么表示？

生:如果代a那么x叫做a的平方根（或二次方根）.符号表示：土其中a2

o.（教师板助

师:我们还学习了一种新的运算,是什么运算呢。它是怎么定义的？

生：开平方:求一个数的平方根的运算,叫做开平方,与平方互为逆运算.

师:那么平方根有什么样的性质呢？

生:正数有两个平方艰,它们互为相反数;0的平方根还是0;负数没有平方根.

教师引导学生回忆，并回答出平方根的定义、符号表示及性质，对定义及符号进行

板书，性质利用表格的形式板书出来,有利于跟本节课的新知识进行对比.

被开方数平方根

正数2个,互为相反数

00

负数无

［设计意图］通过对平方根的复习，可以增加学生对平方根的印象，同时,教

师也能通过学生复习过程的表现，间接了解学生对知识的掌握程度，也能让学生在学

习完立方根后，更好地对这两个概念进行比较.

导入二：

传说很久以前,在古希腊的某个地方发生大旱,地里的庄稼都干了，于是大家一起

到神庙里去向神祈求.神说：“我之所以不给你们降水,是因为你们给我做的这个正方

体的祭坛太小，如果你们给我做一个比它大一倍的祭坛放在我面前，我就会给你们降

下雨水.”大家觉得这好办,于是很快做好一个新祭坛送到神那儿,新祭坛的边长是原

祭坛的2倍,可是神更加恼怒,他说:“你们竟愚弄我!这个祭坛的体积根本不是原来的

2倍,我要惩罚你们！”

要做一个体积是原来2倍的新祭坛,它的边长应该是原来的多少倍呢?学完这节

课，同学们一定会有所收获.

［设计意图］通过故事情境的导入,让学生对本节内容的学习充满了期待，能更

加积极地投入到本节的学习之中.一个良好的学习态度，是学生学习知识的基础,学生

积极性的调动,更是一节课成功的灵魂.

二、新知构建：

活动一:感知立方根

【课件1】（教材第66页观察与思考）如图所示，已知小正方体的棱长为2,那么

它的体积是多少?反过来,如果大正方体的体积匕27,你能不能求出它的棱长x呢？

(1)想一想:正方体的体积公式是什么？

体积=棱长3

(2)你能解答这道题吗？

指名口述：由正方体的体积公式可知,棱长是2的正方体的体积是2~8.因为33=27,

所以当f=27时，产3.

说明:将此题转化为求一个数,使它的立方是27,得出这个数是3.

活动二:立方根的定义

［过渡语］我们知道了平方根的定义，那么什么叫做立方根呢?请同学们完成下

面的问题.

【课件2］(教材第66页试着做一做)求满足下列各式的x的值.

(1)A-1;⑵炉工64;(3)V工0.008;(4)^=—.

125

指导学生独立完成,然后指名回答.

解：(1).Y=T.(2)x=4.(3)A=0.2.(4)产二.

5

本题是已知一个数A的立方,求这个数的值,而平方根是已知一个数的平方,求这

个数,从而学生可以类比平方根的概念归纳出立方根的概念.

师:对比平方根的定义，你能归纳出立方根的定义是什么吗？

学生谈论思考,教师引导归纳概念：

概念归纳:一般地,如果一个数x的立方等于冬即炉=&那么这个数x就叫做d的

立方根,也叫做a的三次方根.(教师板书)

师:在上面问题中，因为33=27,所以3是27的立方根.

类比开平方的运算,我们也可以定义出开立方运算:求一个数的立方根的运算，叫

做开立方.(板书)

正如开平方与平方互为逆运算一样,开立方与立方也互为逆运算.因此,我们可以

通过开立方与立方的这种关系来求一个数的立方根.

［设计意图］联系平方根的概念,让学生类比,给出立方根的概念,学生初步体会

到立方根与平方根的联系和区别.

活动三:立方根的性质及表示方法

1.立方根的性质

思路一

探究:根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点。

教师将题目板书出来,然后要求学生口答,最后让学生观察、讨论,归纳出立方根

的性质.

【课件3】

①因为23=8,所以8的立方根是(2);

②因为(0.5)W).125,所以0.125的立方根是(0.5);

③因为(V.5/=4).125,所以~0.125的立方根是(a5);

④因为03=0,所以0的立方根是(0);

3

⑤因为(-|)二吟,所以吟的立方根是(-|).

【课件4】(教材第67页大家谈谈)

1.一个正数有几个立方根?正数的立方根是正数还是负数？

2.一个负数有几个立方根?负数的立方根是正数还是负数？

3.0的立方根是什么数？

生:一个正数有一个立方根，正数的立方根是正数;一个负数有一个立方根，负数

的立方根是负数;0的立方根是0.

归纳:任何数(正数、负数、0)都有立方根，并且只有一个.

教师根据学生的回答将以下的表格填写完整，可以清晰地看出平方根和立方根的

区别，同时要求学生记在笔记上.

被开方数平方根立方根

正数两个,互为相反数有一个，是正数

000

负数无有一个，是负数

教师还要指导学生:我们发现，进行立方运算，当底数互为相反数时，它们的

鼎也互为相反数，这与平方运算不同.平方运算的底数互为相反数，但它们的幕相等，

故一个正数的平方根有两个，但一个正数的立方根却只有一个.

［设计意图］让学生动手计算,亲身感受任何一个数都有一个立方根，以及一个

数的立方根的唯一性,并体会到开立方与立方互为逆运算,求一个数的立方根可以通

过立方运算来求的道理.教学中，教师注意引导学生养成边做边总结的习惯,有利于学

生明晰道理.

思路二

想一想:平方根的性质是什么？

学生思考后得出：(1)正数的平方根有两个，它们互为相反数；(2)0的平方根是

0；(3)负数没有平方根.

［过渡语］那么立方根又有怎样的性质呢？下面我们共同探讨一下.

【课件5】求下列各组数的立方根.

(1)125,0.004,3-;

648

(2)0;

(3)-125,-0.004,—64,-3-8.

说明：引导学生说出以上三组数的立方根,并讨论能得出哪些结论?

教师根据学生的回答进行归纳：

【总结归纳】

(一个正数有一个正的立方根;

|o有一个立方根,是它本身；

一个负数有一个负的立方根;

、任何数都有唯一的立方根.

大多数同学也会得到,互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，教师也要及

时加以表扬和肯定.

［规律总结］

(1)求一个数的立方艰时要注意:一个正数只有一个正的立方根，一个负数只有一

个负的立方根,这和一个正数有两个平方根，一个负数没有平方根不同.

(2)立方根等于它本身的数只有三个:0,T,1.

(3)当一个分数是带分数时,先将它化为假分数再求它的立方根.

2.立方根的表示方法

［过渡语］通过计算我们会发现,这样表述一个数的立方根太复杂了，是否立方

根也能像平方根一样用一个符号来表示呢？

类似于平方根，一个数a的立方根用符号“表示,读作“三次根号a”,其中，a

是被开方数,3是根指数.

师:现在我们学习了立方根的符号表示，就可以用立方根的符号表示一个数的开

立方运算.

【课件6】

例1

(1)2-7;(2)-8;(3)-0.064.

解：⑴因为(I?=弟所以.的立方根为|,即

(2)因为(-2尸=-8,所以-8的立方根为-2,即

(3)因为(4).4)3:4).064,所以4).064的立方根为4).4,即60.064二~0.4.

教师在书写过程中要重点强调：“孤”的根指数3不能省略，同时3的书写位置

也要重点注意.此处教师可以通过举反例的方法来引起学生的注意.

问题1:学习了立方根的符号后,大家是否有个疑问，立方根有根指数3,那么算术

平方根有没有根指数呢?如果有,它的根指数是多少。

教师通过学生的回答情况,强调：算术平方根也有根指数,且为2,因此伤也可以

读作“二次根号a"，但是这里的根指数可以省略.

问题2:我们已经学过算术平方根的符号中的a必须是非负数,那么立方根的符号

中的a的取值有什么限制吗？

生:立方根的符号中的，没有限制，可以取任何数.

教师通过这个问题总结出：任何数都有立方根，且它的立方根都只有一个，但只有

非负数才有平方根.

［知识拓展］平方根与立方根的联系与区别.

联系:①都有相应的乘方运算与开方运算互为逆运算,开平方与平方互为逆运算，

开立方与立方互为逆运算;②0的平方根与立方根都是它本身.

区别:①用根号表示平方根时，根指数2可以省略，而用根号表示立方根时，根指

数不能省略;②平方根只有非负数才有,而立方根任何数都有.如T没有平方根，但有

立方根,为-2;③正数的平方根有2个,而正数的立方根只有1个.如2的平方根是土企,

而立方根只有血.

［课件7］探究:因为V2年,-V8=,所以班-我.

因为V-0.125=,-VO7125=，所以-0.125

-VO.125.

问题3:请同学们计算出上式,看看你能得出什么结论？

学生计算出各题的答案后，能得出两者是相等的，教师再引导学生总结出一般规

律:①=o；②V7港-亚.

开立方和立方互为逆运算关系,求一个数的立方根,就可以利用这种互逆关系，检

验结果的正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相

反数，即谆二-孤.（互为相反数的两个数的立方根也互为相反数）

问题4:想一想:一个数a的立方的立方根等于多少?请举出几个例子加以说明.

教师指导学生举正数、负数、0的立方的立方根，从中发现规律.

归纳:一个数的立方的立方根等于它本身，即/二a

【课件8】

例2求下列各式的值.

⑴“0.027;(2)

(解析)教师分析出每题的含义,然后再求解.

含义：(1)表示3.027的立方根.(2)表示白的立方根.

216

解:(1)V-0.027=-V0.027=-Vo.33=-0.3.

⑵告得

【课件9】拓展练习.

⑴广!；⑵V-B+27;(3)+V27.

教师重点关注学生的解题格式，以及第二题的计算顺序是否正确，再将第三题与

之对比，让学生体会其中的区别.同时，教师要向学生强调混合运算中的计算顺序问

题.

解:⑴疹=席=需/

(2)"-8+27=V19.

(3)部两+旧=-2+3=1.

［设计意图］在了解立方根的性质的同时，让学生掌握立方根的表示方法;通过

对问题的探究,让学生掌握立方根的一些规律,从而能够灵活应用.例题着重于弄清立

方根的概念,不仅让学生会求立方根,还让学生学会从开立方与立方是互为逆运算中

寻找解题途径.

三、课堂小结：

立方根一般地,如果一个数X的立方等于&即那么这个数x就叫做a的立方

的定义根，也叫做。的三次方根.

立方根

一个数a的立方根,用符号“正”表示,读作“三次根号a"，其中，,是被开

的表示

方法方数,3是根指数.

(1)一个正数有一个立方根,正数的立方根是正数；

立方根

(2)一个负数有一个立方根,负数的立方根是负数；

的性质

(3)0的立方根是0.

14.3实数

第一课时

教学目标

【知识与能力】

1.理解和掌握无理数和实数的概念.

2.能正确识别无理数.

3.能正确地对实数进行分类.

【过程与方法】

通过实际问题的探究，使学生认识到数的扩充的必要性.

【情感态度价值观】

经历从有理数逐步扩充到实数的过程，体会人类对数的认识是不断发展的，认识到数

学的发展源于生活实际，又作用于生活实际.

教学重难点

【教学重点】

了解无理数和实数的概念.

【教学难点】

对无理数的认识.

教学过程

一、新课导入：

导入一：

1.复习提问：

(1)正数的平方根怎样表示?平方根的性质是什么？

(2)什么叫做算术平方根?什么样的数有算术平方根？

(3)立方根的概念是叶么？它有怎样的性质？

2.(教材第69页一起探究)如图⑴所示，在半透明纸上画一个两条直角边都是

2cm的直角三角形力的然后剪下这个三角形,再沿斜边上的高切剪开后,拼成如图(2)

ADB

所示的正方形.(1)(2)

这个二角形的面积和拼成的正方形的面积是不是相等的？面积是多少？

让学生求出面积，提问：如果设正方形的边长为疣叫那么x与这个正方形的面积

有怎样的关系？

引导学生说出：V=2,因为正方形的边长是正数，所以x是2的算术平方根,即企.

或是一个什么样的数呢？

［设计意图］通过复习使前后知识衔接，为学习后续知识做铺垫；学生通过动手

操作，培养学生的动手能力，学生在回答问题的过程中积极思考，加深对无理数的认

识.

导入二：

几千年来,人们为了寻求圆周率”的精确的近似值付出了巨大的努力，我国南北

朝时期伟大的数学家祖冲之，第一个将圆周率几精确到小数点后的第七位，这一记录

保持了近一千年.进入电脑时代，圆周率的计算突飞猛进，1999年，日本学者金田安政

及合作者在一台日立SR—800计算机上算得的n的值竟然精确到了2061亿多位.现

在，计算人的近似值已成为测试计算机运行速度的一个重要指标，那么n到底是一个

什么样的数呢？

［设计意图］利用圆周率n一一这个学生早已熟悉的数，把数进一步扩充，使

学生认识到这个数与以前学过的有理数不同，增加神秘感和学生的好奇心，使学生产

生浓厚的学习兴趣.

导入三：

师:随着年龄的增长、学习的深入，我们对数的认识也在不断地更新，请同学们回

忆一下,到目前为止,我们己经认识了哪些数？（举一个具体的例子）

生：（学生可能说出的数）自然数、整数、分数、正整数、负整数、正分数、负分

数、小数、有限小数、无限循环小数、无限不循环小数、偶数、奇数、质数、合数、

正数、负数……

（让学生大胆地说，一个学生讲完,其他学生补充,教师在黑板上记录）

师：不得了，我们已经认识了这么多数，那么这些数与数之间有什么关系，你能不

能帮我整理一下，理出一个思路呢？

比如:整数（板书），你能把属于整数的都找出来吗？

生:正整数、负整数、0、自然数、素数（质数）、合数、奇数、偶数.

（在开始记录的数的前方编号①）

师：同样,分数（板书），你能把属于分数的都找出来吗？

生:正分数、负分数、有限小数、无限循环小数、带分数.（在开始记录的数的前

方编号②）

师：剩下还有一些数，它们是整数吗？是分数吗？

如果学生说到“小数”：首先小数有哪几类？

有限小数可以化为分数（如1.3）;

无限循环小数可以化为分数（如0.3）：

还有没有其他的小数呢？（学生举例：冗）它是整数吗？是分数吗？那到底是什么数

呢？

如果学生说到“无限不循环小数几”，它是整数吗？是分数吗？谁知道"是多

少?3.1415926…（追问：后面呢?）课件展示j尽可能位数多一点，让学生观察其特点

（无限、不循环）.

这样的数,生活中还有吗?我们来玩一个拼图游戏.

［设计意图］使学生重新认识以前学过的数，了解数的发展和扩充,逐步深化,最

后引出无限不循环小数，即本节课要研究的内容一一无理数.

二、新知构建：

活动一：无理数的初步感知

思路一

［过渡语］&这个数是客观存在的，导入一中直角边长是2的等腰直角三角形的

斜边上的高以及边长是1的正方形的对角线长都是您.

1.大家谈谈——初步感知

【课件1】

1.或是整数吗？-3,-2,-1,0,1,2,3的平方等于2吗?你认为有平方后等于2的整

数吗？

2.鱼是分数吗？3,3,4"，|，浙平方等于2吗?你认为有平方后等于2的分

数吗？

3.企会是有理数吗？

说明：引导学生在小组内交流，使学生认识到:

（1）整数的平方是整数,没有平方后得2的整数.

（2）分数的平方是分数,没有平方后等于2的分数.

（3）平方后等于2的数既不是整数，也不是分数，所以加不是以前熟悉的有理数.

想一想:遮到底是什么样的数呢？

2.计算机计算一一强化认识

让学生用计算机计算,展示计算机计算的结果，学生观察，说出自己的看法.

可设置如下问题：

（1）小数可以分成几类？

（有限小数

学生得出：小数|上“9.米/f无限循环小数

无限小数,

II无限不循环小数

（2）或是什么样的小数？

（加是无限不循环小数）

教师展示圆周率几二

3.1415926535897932384626433832795028841971….实际上，圆周率,也是一个

无限不循环小数.

［设计意图］对无理数有个初步的认识，加和n都是无限不循环小数，让学生了

解它们不是以前学过的有理数，渗透知识的形成过程.

思路二

（针对导入一）

1.活动:请同学们拿出准备好的两个边长为1的小正方形和剪刀,将小正方形沿

着对角线剪开,设法重新拼成一个大正方形,大家动手试一试.

师:经过同学们的努力，基本都完成了任务，请一位学生把自己拼的图在黑板上展

示出来.

师:你们知道这个大正方形的面枳是多少吗？为什么？

生:它的面积为2,因为它是由两个面积为1的公正方形拼成的.

师:你知道了这个图形的面积,对这个正方形，你还想知道它的一些什么信息呢？

生:边长.

师:你知道它的边长是多少吗？

如果有学生说出企,先表扬（看来你对数学是很有兴趣的，肯钻研），那么鱼是什

么数呢？若回答1J14…（后面呢？）；若回答无限不循环小数（你怎么知道的呢？）.

2.为了便于探究这个问题,我们假设拼成的大正方形的边长为x,那么A2.

探究：（l）x是整数吗？

生：因为22=4,x是1和2之间的数，1〈水2,所以x不可能是整数.

（2）x是分数吗？

通过EXCEL,让学生寻找是否有这样的一个分数,它的平方正好是2?

找不到这样的一个分数,它的平方正好是2（直观感受），x也不是分数.

换个角度：如果x是分数,那么两个相同的分数相乘,积一定还是分数，不可能是2

的.

（3）x是怎样的数？

1.5X1.5=2.25,1.41X1.41=1.9881,

1.4X1.4=1.96,1.42X1.42=2.0164,

1.4<KL5,1.41<x<l.42,1.414<JK1.415-

探索中,得到1.4<X1.5,1.4KK1.42,1.414a<1.415……由此可以得到：片是一

个无限小数，它总介丁•两个有限小数之间，但永远找不到这样的个有限小数等丁及

同时,这些小数都不是循环小数.

按照这种方法探索下去,x的值是

1.414213562373095048801688724209698078569-.

师:你们发现这个数和H有什么共同点吗？

生:无限、不循环.

［设计意图］通过拼图得到鱼,然后采用逐步逼近的方法,通过计算与类比让学

生发现这个数是无限不循环小数,在操作的过程中，着重学生动手能力和计算能力的

培养,让学生主动发现问题、研究问题,体现了知识的获取过程.

活动二:无理数概念的形成

1.形成概念

［过渡语］通过刚才的探究和计算,我们已经知道了夜和H都是无限不循环小

数,那么有理数可以化成怎样的小数呢？

想一想：（1）什么叫做有理数？

（2）整数和分数都可以化成怎样的小数？

说明：整数可以写成小数部分是0的小数.如TO=T0.0,0,0=0.0等.

师：任何分数都可以化成怎样的小数？

让学生把忌,弓7,53,i5化成小数,并观察其特点.

1UU5Z1633ZZ

归纳:分数可以写成有限小数或无限循环小数.

思考:任意给定一个分数，你能将它写成有限小数或无限循环小数吗?请你利用计

算器再计算几个分数.

得出结论:有理数总可以写成有限小数或无限循环小数.

那么我们思考一下企,通是不是有理数?为什么？

通过前面的学习，学生可以知道&二1.41421356…,它是一个无限不循环小数.

我们把无限不循环小数叫做无理数.其实，无理数有很多，很多数的平方根和立方

根都是无理数,如:V3=l.732-,V5=2.23606-,V2=l.25992-,祈口二2.15443…等都

是无限不循环小数,它们都是无理数.

［知识拓展］（1）判断一个数是不是无理数,一是看它是不是无限小数;二是看它

是不是不循环小数，满足“无限”和“不循环”这两个条件,才是无理数.

（2）初中阶段所学的无理数主要包含以下几种:①特殊意义的数:如圆周率n及

含冗的一些数，如2-n等;②开方开不尽的数，如遥，-y/2,V5等;③特殊结构的数，如

2.01001000100001…（每两个1之间依次多一个0）等.

（3）带根号的数不一定是无理数，如而二0,仆二3,它们不是无理数,而是有理数,无

理数也不一定带根号,如n.

学习了有理数和无理数两个概念后，下面我写几个数，你们来判断一下，它是有理

数还是无理数？

-3,1.1414,2冗，0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）,-0.1010010001-

（每两个1之间依次多一个0）.

师:你还能写出一个无理数吗？

教师说明：无理数包括正无理数和负无理数,你们可以举出一些实例吗？

强调:一般a是一个正无理数，那么-a是一个负无理数.

我们把有理数和无理数统称为实数.

想一想:有理数与无理数有•什么区别？

（i）rr理数总可以写成rr限小数或无限循环小数的形式，而无理数是无限不循环

小数.

（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），而无理

数不能化成分数的形式.

［设计意图］引导学生认识到有理数可以化成有限小数或无限循环小数的形式,

使学生类比有理数的特点，总结出无理数的概念.了解数的扩充的必要性和实数的意

义,提高学生对数的理解.

2.历史背景

［过渡语］实际上，第一个发现无理数的人却被抛进大海,你想知道这其中的故

事吗？

【课件2】小故事:2500年前，当时的数学家毕达哥拉斯认为“宇宙中存在的数

都是有理数”，拥护他的人认为毕达哥拉斯是至高无上的,他所说的一切都是真理.但

后来有一位年轻学者希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线的长不能用有理数来

表示,这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，为此希伯索斯被投入大海.他为真理献

出了宝贵的生命,但真理是不可战胜的.后来人们正视了希伯索斯的发现，也就是我们

前面谈到的“2中的x穴是有理数.

我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的，我们一方面应积极地学习这些

知识，另一方面我们也不能死搬教条,要大胆质疑,如不这样,科学就会停滞不前,要向

希伯索斯学习，学习他为追求真理而大无畏的精神.

［设计意图］通过史实介绍,让学生受到思想教育，培养学生追求真理的精神,从

而体现数学课堂中对学生的思想教育.

三、课堂小结：

（有理数:总可以化成有限小数或无限循环小数

1.实数《

（无理数:无限不循环小数

2.无理数满足的三个条件：（1）首先是小数；（2）其次是小数中的无限小数；（3）并

且是无限小数中的不循环小数.

第二课时

教学目标

【知识与能力】

1.知道实数与数轴上的点具有一一对应关系.

2.能正确对实数进行分类.

3.能求出实数的绝对值、相反数、倒数.

【过程与方法】

通过在数轴上画出表示I和J2的点，理解实数和数轴上的点一一对应，体会数形结

合的思想.

【情感态度价值观】

引导学生积极参与教学活动，产生探求新知的欲望，增强学习数学的兴趣.

教学重难点

【教学重点】

实数的分类.

【教学难点】

实数与数轴上的点一一而应.

教学过程

一、新课导入：

导入一：

当数从有理数扩充到实数以后，相反数和绝对值的意义以及运算法则对于实数来说是

否还适用呢？

【课件1】

【提出问题】

(1)2的相反数是,-2的相反数是,0的相反数是;

⑵|3|二,|-3|=,|0|=；

(3)5的倒数是,-的倒数是.

(4)有理数可以用数轴上的点表示吗？

［设计意图］复习巩固有理数的知识,为学习新知识做好准备.

导入二：

【课件2】阅读下面的一段对话.

小明说：“有理数和数轴上的点是一一对应的

小丽说：“你说得不对，应是实数和数轴上的点是一一对应的.”

同学们，两人到底谁说得对呢?我相信，当你认真学完本节后,答案自然能见分晓.

［设计意图］以两人对话的形式引入本节课题，易提高学生的学习兴趣.

导入三：

【课件3】

1.填空:无限不循环小数叫做,有理数和统称为实数.

2.判断对错:对的画“”，错的画“X”.

(1Q是有理数.()

⑵々是无理数.()

(3)我是无理数.)

(4)n是无理数.()

(5)3.14159265是无理数.()

(6)0.谷是无理数.()

师:上节课我们学习了什么是实数，那么什么是实数呢？(出示下图)

师:初一的时候,我们学过有理数，有理数包括整数和分数.这学期我们学习了一种新

的数，什么数?无理数.无限不循环小数就是无理数.无理数的出现，使数的范围扩大了.

有理数和无理数合在一起统称为实数.

师:大家还记不记得,初一的时候我们学过不少有关有理数的结论,这些结论当时是针

对有理数说的,现在数的范围扩大到了实数,这些结论还成立吗?我们一起来看一看.

［设计意图］复习无理数与实数的相关知识,从数的扩充和发展了解数的范围的扩大,

设置疑问，确定本节课要