2024-2025学年湖北省名校（圆创）高三（下）测评数学试卷（3月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖北省名校（圆创）高三（下）测评数学试卷（3月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|−2≤x≤1,x∈Z}，B={x|ln(x2−x−1)>0}A.{−2} B.{−2,1} C.{0,1} D.{−1,0,1}2.已知p，q∈R，虚数1+i是关于x的方程x2+px+q=0的根，则p+q=(

)A.−2 B.0 C.1 D.23.设命题p：∃n∈N，n2>2n+5，则p的否定为(

)A.∀n∈N，n2>2n+5 B.∀n∈N，n2≤2n+5

C.∃n∈N，n24.已知单位向量e1与e2的夹角为60°，则2e1+eA.30° B.60° C.120° D.150°5.已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)=f(4−x)，且当x≤2时，f(x)=ex，则(

)A.f(2)<f(−3)<f(4) B.f(2)<f(4)<f(−3)

C.f(4)<f(2)<f(−3) D.f(−3)<f(4)<f(2)6.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，点M(x0,4)在抛物线上，点M到点F的距离与到直线y=−A.1 B.2 C.3 D.47.已知函数f(x)=x−1x−logaxA.23 B.2 C.e8.已知四面体ABCD的顶点均在半径为5的同一球面上，且AB=2CD=4，则该四面体体积的最大值为(

)A.22 B.3 C.4 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知椭圆E：x22+y2=1的右焦点为F，过F作两条互相垂直的直线l1和l2，l1和l2分别与E交于AA.E的离心率为22

B.存在直线l1，使得|AC|=6

C.1|AC|+1|BD|为定值10.已知max{a,b}表示a，b中的最大者，则下列区间中是函数f(x)=max{sinx,cosx}的单调递增区间的是(

)A.[2kπ+π4,2kπ+π2](k∈Z) B.[2kπ−11.已知数列{an}中，a1=2，an+1A.a5>a4 B.数列{an}三、填空题：本题共3小题，共15分。12.已知一组数据233，144，89，55，34，21，13，8，5，3，2，1，则它们的上四分位数为______.(用具体数值作答)13.幻方是一种中国传统游戏，其规则是将数字填在正方形格子中，使每行、每列和对角线上的数字的和都相等.如图，已知一个三阶幻方由1至9这9个不同的数组成，则a−b=______，a+c=______．14.已知数列{an}的通项公式为an=2+四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在三棱锥PABC中，PC⊥平面ABC，AB=BC=2，AC=23，PC=3，AE=2EP．

(1)在线段AC上找一点F，使平面BEF⊥平面PAC，求AF的长；

(2)若D为PC的中点，求DE与平面16.(本小题15分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，C上一点与F1、F2的距离的差的绝对值等于4．

(1)求双曲线C的方程；

(2)过点F217.(本小题15分)

已知四边形ABCD中，△ABC与△BCD相似，且∠BAC=∠DBC，AB=4，CD=1，AC=32．

(1)求BD；

(2)求18.(本小题17分)

在一个抽奖游戏中，有A、B两个不透明的箱子.箱子A中装有3个红球和2个白球，箱子B中装有2个红球和3个白球．

游戏规则如下：

第一轮，先从箱子A中随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同，则将这2个球放入箱子B中，然后从箱子B中随机摸出1个球，查看颜色后放回箱子里，若摸到红球，则玩家获得10分；若摸到白球，则玩家获得5分；若摸出的2个球颜色不同，则将这2个球放回箱子A中，然后从箱子A中再随机摸出1个球，查看颜色后放回箱子里，若摸到红球，则玩家获得8分，若摸到白球，则玩家获得3分．

(1)求玩家在游戏中获得10分的概率．

(2)设玩家在游戏中获得的分数为X，求X的分布列和数学期望E(X)．

(3)根据第一轮结束后箱子A和B中球的实际情况，再从箱子A和B中随机选择一个箱子(选择箱子A和箱子B的概率均为12)，然后从选中的箱子中随机摸出2个球.求这219.(本小题17分)

定义：对于一个多项式P(x)，如果存在正整数k，使得P(x)可以表示为P(x)=(x−a1)(x−a2)⋅…⋅(x−ak)，其中a1，a2，…，ak∈Z，则称P(x)为“k阶整数分解多项式”．

(1)判断多项式P(x)=x2+6x2+11x+6是否为整数分解多项式？并说明理由；

(2)若P(x)=(x−a1)(x−a2)(x−a3)(x−a4)，且参考答案1.A

2.B

3.B

4.C

5.D

6.B

7.B

8.C

9.ABC

10.ACD

11.BCD

12.72

13.3

16

14.1+415.解：(1)取AC中点为F，连接BF，因为AB=BC=2，所以BF⊥AC，

又PC⊥平面ABC，BF⊂平面ABC，PC⊥BF，

因为AC⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，AC∩PC=C，

所以BF⊥平面PAC，因为BF⊂平面BEF，

所以平面BEF⊥平面PAC，

此时AF=12AC=3；

(2)取AC中点为O，连接OB，在平面PAC内过点O作PC的平行线为z轴，

以O为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(3,0,0)，B(0,1,0)，P(−3,0,3)，D(−3,0,32)，E(−33,0,2)，

所以AB=(−3,1,0)，AP=(−23,0,3)，DE=(233,0,16.解：(1)依题意2a=4e=ca=3c=a2+b2，

解得a=2c=23b=22，

所以双曲线的方程为x24−y28=1；

(2)由(1)知F1(−23,0)、F2(23,0)，

依题意直线l的斜率k≠0，

则直线l的方程为y=k(x−23)(k≠0)，

由y=k(x−23)x24−y28=1，

消去y整理得(2−k2)x2+43k2x−12k2−8=0，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

当2−k2≠0，即k≠±2，

由Δ=48k4+4(12k2+8)(2−k2)=64(k2+1)>0，

则x1+x2=−43k22−k2，x1x2=−12k2−82−k2，

所以y1y2=k2(x1−23)(x2−23)=k2[x1x2−23(x1+x2)+12]，

=k2(−12k2−82−k2+23×43k22−k2+12)=16k22−k2，

因为∠AF1B为锐角，所以F1B⋅F1A>0，

即F1B⋅F1A=(x1+23)(x2+23)+y1y2=x1x2+23(x1+x2)+12+y1y2

=−12k2−82−k2−23×43k22−k2+12+16k22−k2

=16−32k22−k2>0，

解得k2<12或k2>2，

则−22<k<22或k>2或k<−2，又k≠0，

所以k的取值范围为(−∞,−2)∪(−22,0)∪(0,22)∪(2,+∞)．

17.解：(1)因为△ABC与△BCD相似，

且∠BAC=∠DBC,AB=4,CD=1,AC=32，

当∠ABC=∠BCD，∠BCA=∠CDB时，BCCD=ACBD=ABBC，

即BC1=32BD=4BC，解得BC=2，BD=322；

当∠ABC