2024-2025学年广东省中山市高二下册3月月考数学质量检测试题（附解析）

2024-2025学年广东省中山市高二下学期3月月考数学质量检测试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知函数的导函数为，且，则（

）A．2 B．1 C．8 D．42．已知物体的位移（单位：m）与时间（单位：s）满足函数关系，则物体在时的瞬时速度为（

）A． B． C． D．3．若曲线的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（

）A．1 B． C． D．4．设函数的导函数为，若，则=（

）A． B． C． D．5．某话剧有5名女演员和2名男演员，演出结束后，全体演员站成一排登台谢幕，若2名男演员不相邻，则不同的排法有（

）A．3600种 B．2400种 C．360种 D．240种6．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（

）.A． B．C． D．7．已知函数在处有极值8，则等于（

）A． B．16 C．或16 D．16或188．已知函数在上是单调递增函数，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.选对部分得部分分，有错选得0分）9．下列求导正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则10．函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则下列命题正确的是（

）A．函数在内一定不存在最小值 B．函数在内只有一个极小值点C．函数在内有三个极大值点 D．函数在内可能没有零点11．已知函数，则（

）A．曲线在点处的切线方程是B．函数有极大值，且极大值点C．D．函数有两个零点三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12．13．第40届潍坊国际风筝会期间，某学校派人参加连续天的志愿服务活动，其中甲连续参加天，其他人各参加天，则不同的安排方法有.（结果用数值表示）14．已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本题满分13分）已知曲线.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求曲线过点的切线方程.（本题满分15分）用0，1，2，3，4这五个数字组成没有重复数字的五位数(1)在组成的五位数中，所有偶数有多少个？(2)在组成的五位数中，大于31000的数有多少个？(3)在组成的五位数中，数字2和数字4不相邻的数有多少个？17.（本题满分15分）茶起源于中国，盛行于世界，是承载历史文化的中国名片．武夷山，素有茶叶种类王国之称，茶文化历史久远，茶产业生机勃勃．2021年3月22日下午，他来到福建武夷山星村镇燕子窠生态茶园考察．他强调，过去茶产业是你们这里脱贫攻坚的支柱产业，今后要成为乡村振兴的支柱产业．3月25日，人民论坛网调研组一行循着此次来闽考察的足迹，走访了福建武夷山．调研组了解到某茶叶文化推广企业研发出一种茶文化的衍生产品，十分的畅销．据了解，该企业年固定成本为50万元，每生产百件产品需增加投入7万元．在2021年该企业年内生产的产品为x百件，并能全部销售完．据统计，每百件产品的销售收入为万元，且满足．（1）写出该企业今年利润关于该产品年销售量x百件的函数关系式；（2）今年产量为多少百件时，该企业在这种茶文化衍生产品中获利最大？最大利润多少？18.（本题满分17分）已知函数．(1)当时，求函数的单调递减区间；(2)求函数在上的最小值．19.（本题满分17分）已知函数，，.(1)证明.(2)讨论函数在上的零点个数.(3)当，时，证明：，.答案题号12345678910答案DABCAAACACBD题号11答案AB1．D【分析】根据导数的定义直接计算即可.【详解】由题意得，所以．故选：D.2．A【分析】根据瞬时速度含义，求导运算即可.【详解】因为物体的位移（单位：m）与时间（单位：s）满足函数关系，所以，令，得.故选：A3．B【分析】设出切点横坐标，求导，通过斜率得出横坐标方程，可得结果.【详解】设切点的横坐标为，则，则（舍去）.故选:B.4．C【分析】对函数求导后，令即可求解.【详解】因为，所以，令，则，解得.故选：C.5．A【分析】利用插空法，先排女演员，再让男演员插空排列.【详解】先将5名女演员排成一排，再将2名男演员插空进去，共有种排法．故选：A.6．A【分析】由的图象得到的单调性，从而得到的正负，即可得解.【详解】由的图象可知，在和上单调递增，在上单调递减，则当时，时，时，所以不等式的解集为.故选：A7．A【分析】求导，即可由且求解，进而代入验证是否满足极值点即可.【详解】，若函数在处有极值8，则且，即，解得：或，当时，，此时不是极值点，故舍去，当时，，当或时，，当，故是极值点，故符合题意，故，故，故选：A8．C【分析】根据区间单调性得对任意恒成立，即，利用导数研究右侧单调性，进而求参数a的范围.【详解】因为函数在上是单调递增函数，所以对任意恒成立，所以，令，则，所以在内为减函数，所以，则．故选：C9．AC【分析】根据基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则，简单复合函数的导数对选项逐一分析即可得到答案．【详解】对于A，若，则，故A正确；对于B，若，则，故B错误；对于C，若，则，故C正确；对于D，若，则，故D错误．故选：AC．10．BD【分析】对AB，设的根为，且，进而分析函数的单调性与极值和最值即可；对C，根据导数确定原函数的极值点即可；对D，利用特殊值判断即可.【详解】对于AB，设的根为，且，则由图可知，当时，当时，当时，当时，所以函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增，在内单调递减，所以函数在区间内有极小值，当时，是函数在区间内的最小值，所以A错误，B正确；对于C，函数在区间内有极大值，即函数在内有两个极大值点，所以C错误；对于D，当时，函数在内没有零点，所以D正确．故选：BD．11．AB【分析】对于A，求出即可验算；对于B，设，通过导数发现的单调性，进一步结合零点存在定理即可判断；对于C，由B选项结论即可判断；对于D，由零点的定义即可判断.【详解】对于A，，所以，所以在点处的切线方程是，即，故A正确；对于B，设，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，令，则，所以，而，由零点存在定理可知的零点，即函数有极大值，且极大值点，故B正确；对于C，由以上分析可知在单调递减，且，所以，故C错误；对于D，，所以只有唯一的一个零点即.故选：AB.关键点点睛：判断B选项的关键是构造函数，通过求导来得出其函数性质，由此即可顺利得解.12．/【分析】根据排列数的运算直接求解即可.【详解】.故答案为.13．【分析】首先考虑甲连续天的情况，再其余人全排列，按照分步乘法计数原理计算可得.【详解】在天里，连续天的情况，一共有种，则剩下的人全排列有种排法，故一共有种排法．故．14．【分析】即导函数在在区间内有零点.【详解】由题意知，因为在区间上不单调，即在区间有零点，又，即为的零点在区间内，所以解得，即m的取值范围是．故15．(1)(2)和【分析】（1）先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，利用点斜式即可得到切线方程；（2）设过点的切线与曲线相切于点，然后根据曲线在点处切线的切线方程，求出切点坐标，从而可求出结果．【详解】（1）由题意得，则在点处的切线的斜率，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）设曲线与过点的切线相切于点，设切线的斜率为，则由点斜式得直线方程为，又因为切点为，则，解得或，则曲线过点处的切线方程为和.16．(1)60(2)42(3)60【分析】（1）根据当末位是0和末位是2或4，结合分类计数原理，即可求解；（2）分万位是4、万位为3千位为2,4和万位为3千位为1，结合分类计数原理，即可求解；（3）先排0,1,3，根据0排在三个数的第一位和0不排在三个数的第一位，结合分类计数原理，即可求解.【详解】（1）解：根据题意，当末位是0共有个，当末位是2或4共有个,所以共有偶数为个.（2）解：由题意，万位是4共有个，万位为3千位为2或4共有个，万位为3千位为1共有个，所以大于31000的数共有个.（3）解：先排0,1,3,第一种：0排在三个数的第一位，共有个；第二种0不排在三个数的第一位，共有个所以数字2和4不相邻的数共有个.17．（1）；（2）当年产量为1百件，最大利润为25万元.【分析】（1）由题意得可得，代入化简，即可得答案.（2）由（1）得，，利用导数求得的单调性及最值，分析整理，即可得答案.【详解】解：（1）依题意得：（2）由（1）得，，则，令，得或（舍去）当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以当时，有答：当年产量为1百件时，该企业在这种茶文化衍生产品中获利最大且最大利润为25万元．18．(1)(2)【分析】（1）当时，利用函数的单调性与导数的关系可求出函数的单调递减区间；（2）对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，即可求得函数在上的最小值.【详解】（1）当时，，该函数的定义域为，则，由得，所以，函数的单调递减区间为.（2），其中，当时，对任意的，，在上单调递增，此时，；当时，对任意的，，在上单调递减，此时，；当时，令，可得，列表如下：减极小值增所以，函数在上单调递减，在上单调递增，此时，.综上所述，.19．(1)证明见解析(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】（1）求导，即可根据函数的单调性求解最值得解，（2）求导，对分奇偶，根据函数的单调性求解，（3）根据（2）的结论可得，将问题转化为证明，根据（1）的结论可得，即可利用对数的运算性质化简求解.【详解】（1）因为，，所以.当时，，单调递减，当时，，单调递增，从而，则.（2）因为，，所以，当时，，当时，，故，当为奇数时，在上恒成立，则在上单调递减，因为，，所以在上的零点个数为1.当为偶数时，，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，从而，所以在上的零点个数为0.综上可得：当为奇数时，在上的零点个数为1，当为偶数时，在上的零点个数为0.（3）由（2）可知，当，时，要证，，即证，即证，即证，即证.由（1）可知，，当且仅当时，等号成立.令，可得，故从而，.方法点睛：1.导函数中常用