湖南省2025届高考普通高中名校联考第一次模拟考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页湖南省2025届高考普通高中名校联考第一次模拟考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合M=x∣x2−4x−5≤0,N=A.−4,5 B.−1,3 C.−4,2 D.−1,22.若复数z=1+i3−i，则1z的虚部为A.−2i B.2i C.2 D.−23.甲同学每次投篮命中的概率为p，在投篮6次的实验中，命中次数X的均值为2.4，则X的方差为(

)A.1.24 B.1.44 C.1.2 D.0.964.若函数fx=emx−m在区间2,+∞上单调递增，则实数A.−2,0 B.−∞,−2 C.−∞,0 D.2,+∞5.已知椭圆M:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，点P在M上，Q为A.33 B.13 C.16.已知正四面体的高等于球O的直径，则正四面体的体积与球O的体积之比为(

)A.334π B.322π7.在△ABC中，sin(A−C)+sin C=sin B，且BC边上的高为A.△ABC的面积有最大值，且最大值为32

B.△ABC的面积有最大值，且最大值为34

C.△ABC的面积有最小值，且最小值为38.已知函数fx的定义域为R，函数Fx=f1+x−1+xA.函数fx的一个对称中心为2,1 B.f0=−1

C.函数fx为周期函数，且一个周期为二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设公比为q的等比数列an的前n项和为Sn，若数列an满足a1=−1，且∀n∈NA.a2>0 B.0<q<1 C.an+110.将函数f(x)=2sinx+π6图象的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数A.fx+π3为偶函数

B.g(x)的最小正周期为4π

C.f(x)与g(x)在π3,2π3上均单调递减

D.11.若函数f(x)=x3+axA.f(x)可能只有1个极值点

B.当f(x)有极值点时，a2>3b

C.存在a，使得点(0,f(0))为曲线y=f(x)的对称中心

D.当不等式f(x)<0的解集为(−∞,1)∪(1,2)时，f(x)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知{an+3}是等比数列，a1=−2，a2=−1，则数列{13.甲、乙玩一个游戏，游戏规则如下：一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5，6的6个大小质地完全相同的小球，甲先从盒子中不放回地随机取一个球，乙紧接着从盒子中不放回地随机取一个球，比较小球上的数字，数字更大者得1分，数字更小者得0分，以此规律，直至小球全部取完，总分更多者获胜．甲获得3分的概率为

．14.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，若在该正方体的棱上恰有4个点M，满足四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分为了研究学生的性别和是否喜欢跳绳的关联性，随机调查了某中学的100名学生，整理得到如下列联表：男学生女学生合计喜欢跳绳353570不喜欢跳绳102030合计4555100(1)依据α=0.1的独立性检验，能否认为学生的性别和是否喜欢运动有关联？(2)已知该校学生每分钟的跳绳个数X～N(170,100)，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步．假设经过训练后每人每分钟的跳绳个数都增加10，该校有1000名学生，预估经过训练后该校每分钟的跳绳个数在[170,200]内的人数(结果精确到整数)．附：χ2=n(ad−bcα0.10.050.01x2.7063.8416.635若X～N(μ,σ2)，则P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，16.(本小题15分如图，在三棱锥A−BCD中，平面ABC⊥平面BCD，∠BCD=∠BDC=π6，P为棱AC的中点，点Q在棱CD上，PQ⊥BC，且(1)证明：AB⊥平面BCD；(2)若AB=BD，求平面CPQ与平面ABD的夹角的余弦值．17.(本小题15分已知函数f(x)=e2x−(a+b)x+2，且曲线y=f(x)在点(0,f(0))(1)比较a和b的大小；(2)讨论f(x)的单调性；(3)若f(x)有最小值，且最小值为g(a)，求g(a)的最大值．18.(本小题17分)已知双曲线Γ：x2−y24=1与直线l：y=x+1交于A、B两点(A在B左侧)，过点A的两条关于l对称的直线l1、l2分别交双曲线Γ于C、(1)设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k(2)若直线CD与双曲线Γ在点B处的切线交于点P，求△ABP的面积．19.(本小题17分若数列{an}满足an+12(1)若数列m，m，2为“稳定数列”，求m的取值范围；(2)若数列{bn}的前n项和S(3)若无穷数列{cn}为“稳定数列”，且{cn}的前n项和为Tn参考答案1.A

2.D

3.B

4.C

5.C

6.A

7.D

8.C

9.BC

10.ACD

11.BCD

12.2n13.1814.2,15.解：（1）零假设为H0：学生的性别和是否喜欢运动无关.

根据列联表中的数据，计算得到χ​2=100×(35×20−35×10)270×30×45×55=700297≈2.357<2.706,

根据小概率值α=0.1的χ​2​​​​​​​独立性检验，没有充分的证据推断H0不成立，

因此可以认为H0成立，即学生的性别和是否喜欢跳绳无关.

（2）设经过训练后，该校学生每分钟的跳绳个数为Y，

则Y~N(180,100),μ=180,σ=10；

由题意得P(170≤Y<180)=P(180-σ≤Y<μ)=P(μ−σ≤Y≤μ+σ)2,

P(180≤Y≤200)=P(μ≤Y≤μ+2σ)=P(μ−2σ⩽Y⩽μ+2σ)2,

则P(170≤Y≤200)=P(μ−σ⩽Y⩽μ+σ)+P(μ−2σ⩽Y⩽μ+2σ)16.(1)如图，取棱CD靠近D的三等分点R，连结AR,BR，则Q是CR的中点，因为P为棱AC的中点，所以PQ是▵ACR的中位线，所以PQ//AR，因为PQ⊥BC，所以BC⊥AR，设BC=3a所以BD=3a，作BH⊥CD则CD=2BCcos∠BCD=3a，因为DQ=2QC，所以在△BCR中，由余弦定理得BR=∴BR又∵AR∩BR=R,AR,BR⊂面ABR，∴BC⊥平面ABR，因为AB⊂面ABR，所以BC⊥AB．又由平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，∴AB⊥平面BCD得证．(2)由(1)知，AB⊥BC,AB⊥BR.以B为原点，BC的方向为x轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系B−xyz．令AB=BD=设平面CPQ的法向量为n1则n1⋅AC=0,n1⋅连接BQ，此时BD=3，QD=2，由余弦定理得所以BQ2+B因为AB⊥平面BCD，所以BQ⊥AB，因为AB,BD⊂面ABD，AB∩BD=B，所以BQ⊥面ABD，故平面ABD的一个法向量为BQ=设平面CPQ和平面ABD的夹角为θ，则cosθ=∴平面CPQ和平面ABD夹角的余弦值为15

17.解：(1)由题意得f′(x)=2e2x−(a+b)，

则f′(0)=2−(a+b)=2−2a，得a=b；

(2)由题意得f(x)的定义域为R，f′(x)=2e2x−2a，

当a≤0时，f′(x)>0，则f(x)在R上单调递增，

当a>0时，令f′(x)>0，得x>12lna，令f′(x)<0，得x<12lna，

则f(x)在(−∞,12lna)上单调递减，在(12lna,+∞)上单调递增；

(3)由(2)可知当a≤0时，f(x)没有最小值，

则a>0，g(a)=f(x)min=f(118.解：(1)设Cx0,y0关于直线l：y=x+1对称的点为C′x1,y1，

则y0−y1x0−x1=−1y0+y12=x0+x12+1，可得x1=y0−1y1=x0+1，即C′y0−1,x0+1．

联立y=x+1x2−y24=1,

可得3x2−2x−5=0，解得x=−1或x=53，

所以A−1,0，

所以k1k2=kAC·kAD=kAC·kAC′

=y0x0+1·x0+1y0=1，

(2)由(1)得B53,83，

由x2−y24=1，可得y=2x2−1y⩾0，

故y′=2x2−112′=2×12x2−1−12·2x=2xx2−1，

故在点B处的切线斜率为y′|x=53=2×53519.解：(1)由题意得m2+2m≤m+2，得−2≤m≤1，

因为an>0，所以m>0，所以m的取值范围为(0,1]；

(2)数列{bn}不是“稳定数列”，理由如下：

当n=1时，b1=