湖南省部分学校2025届高三“一起考”大联考（模拟一）数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页湖南省部分学校2025届高三“一起考”大联考（模拟一）数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合A={1,2,3,4,5}，B={x∈Z∣3≤x≤6}，U=A∪B，则∁UA∩B中元素的个数为(

)A.1 B.2 C.3 D.42.若z是复数，z−2i=1，则z的最大值为(

)A.4 B.3 C.2 D.13.在数列an中，a1=3，且an+1=A.3 B.−2 C.−13 4.已知函数f(x)=3sinωx+π6(ω>0)的最小正周期为π3A.π6 B.π4 C.π35.如图，在下列四个正方体中，A，B，C，D分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A，B，C，D四点共面的是(

)．A. B.

C. D.6.若函数fx=9−x2A.a≤−3 B.a≥3 C.−3≤a≤3 D.a≤−3或a≥37.二十名校国旗班成员站成一排参加训练，教育计划在20人中选9人进行第一项训练，若这9人在原来队列中互不相邻、则教官的选择方式一共有(

)A.220种 B.55种 C.210种 D.110种8.已知fx的定义域为[1,+∞)且fx+xf′xA.1−e2e3 B.1−ee2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知曲线Γ：x21−m+yA.Γ可能是等轴双曲线

B.若Γ表示焦点在y轴上的椭圆，则−1<m<1

C.Γ可能是半径为2的圆

D.若Γ表示焦点在x轴上的双曲线，则10.小王经过调查获得如下数据：x2471730y12345参考公式：相关系数r=ni=1(下列说法正确的有(

)A.该数据组的线性回归方程(系数精确到0.01)为y=0.13x+1.44

B.该数据组的相关系数r≈0.94，r很接近1说明该数据组拟合效果很好

C.所有数据点中残差绝对值最小的是2,1

D.去掉数据点4,211.下列说法不正确的有(

)A.正四面体的四个面所在平面可以将空间划分为15个区块

B.若直线l和平面α均垂直于平面β，则l//α

C.正八面体的八个面所在平面可以将空间划分的区块数是正四面体划分区块数的4倍

D.从空间内任意一点出发，最多可以引出5条射线使得他们两两之间的夹角均为钝角三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知tanα=2，则tanα+π413.已知O为坐标原点，F是椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点，P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.14.已知fx=x+c+4x，若fx=b在−四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知a，b，c是互不相等的正实数．(1)若a，b，c成等差数列，求证：a+1，b+1，c+1不可能是等比数列；(2)设▵ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若1a，1b，1c成等差数列，求证：16.(本小题15分)如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，AB=PA=2，E，F分别为PB，PD的中点．(1)证明：EF//平面ABCD；(2)求平面CEF与底面ABCD夹角的余弦值；(3)求平面CEF与四棱锥P−ABCD表面的交线围成的图形的周长．17.(本小题15分市教育局计划举办某知识竞赛，先在A，B，C，D四个赛区举办预赛，每位参赛选手先参加“赛区预赛”，预赛得分不低于100分就可以成功晋级决赛．赛区预赛的具体规则如下：每位选手可以在以下两种答题方式中任意选择一种答题．方式一：每轮必答2个问题，共回答6轮，每轮答题只要不是2题都错，则该轮次中参赛选手得20分，否则得0分，各轮答题的得分之和即为预赛得分；方式二：每轮必答3个问题，共回答4轮，在每一轮答题中，若答对不少于2题，则该轮次中参赛选手得30分，如果仅答对1题，则得20分，否则得0分．各轮答题的得分之和即为预赛得分．记某选手每个问题答对的概率均为p0<p<1(1)若p=1(2)证明：该选手选择两种方式答题的得分期望相等．18.(本小题17分已知抛物线C:y2=2px(p>0)上的任意一点到焦点的距离比到y(1)求抛物线C的方程；(2)过抛物线外一点P(m,n)作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，若三角形ABP的重心G在定直线l:y=32x上，求三角形19.(本小题17分)已知函数fx(1)若b=0，且fx有2个不同的零点x(i)求a的取值范围；(ii)求证：x1(2)记gx=fx，对于任意a,b∈R，总存在x0参考公式：若limx→afx与limx→ag参考答案1.C

2.B

3.A

4.A

5.D

6.A

7.A

8.B

9.BCD

10.ACD

11.BCD

12.−3

13.1314.12

15.(1)假设a+1，b+1，c+1成等比数列，所以b+12=a+1因为a，b，c成等差数列，所以b=a+c2，由①②可得a=c，与已知a，b，c是互不相等的正实数矛盾，故假设不成立，原命题成立．(2)因为1a，1b，1c成等差数列，所以2b由余弦定理和基本不等式可得cosB=当且仅当a=c时，等号成立，

因为a，b，c为▵ABC的三边，所以a+c>b，所以1−ba+c>0，所以cos

16.(1)如图，连接BD，因为E，F分别为PB，PD的中点，所以EF//BD，又BD⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，所以EF//平面ABCD．(2)因为PA⊥底面ABCD，又AB、AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB,PA⊥AD，又底面ABCD为正方形，则AB⊥AD，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为AB=PA=2，E，F分别为PB，PD的中点．则C2,2,0，E1,0,1，所以CE=−1,−2,1，设平面CEF的一个法向量为n=所以CE令x=1，则y=1，z=3，所以n=因为平面ABCD的一个法向量为m=0,0,1所以cos⟨所以平面CEF与底面ABCD夹角的余弦值为3(3)平面CEF与棱PA交于一点，由(2)，设交点Q0,0,t，则QE=1,0,1−t又QE⋅n=1+3−3t=0则QE=QF=又CE=−1,−2,1，则CE=CF=所以平面CEF与四棱锥P−ABCD表面的交线围成的图形的周长为2

17.(1)该选手选择方式二答题，记每轮得分为X，则X可取值为0，20，30，且PX=0=18记预赛得分为Y，P=∴该选手所以选择方式二答题晋级的概率为59128(2)该选手选择方式一答题：设每轮得分为ξ，则ξ可取值为0，20，且Pξ=0=∴Eξ设预赛得分为Y1，则YEY该选手选择方式二答题：设每轮得分为ζ，则ζ可取值为0，20，30，且Pζ=0Pζ=20Pζ=30∴Eζ设预赛得分为Y2，则EY因为EY

18.解：(1)由题意知p2=12，p=1，抛物线C的方程为y2=2x．

(2)设动点P(m,n)，切点A(y122,y1)，B(y222,y2).

设过A的切线PA方程为x−y122=t(y−y1)，与抛物线方程联立x−y122=t(y−y1),y2=2x

消去x整理得y2−2ty+(2ty1−y12)=0，△=4t2−8ty1+4y12=0，所以t=y1，

所以切线PA方程为y1y=x+19.(1)(i)由f(x)=0,b=0得ex=ax，显然x=0不是方程当x≠0时，分离参数得a=e由题意得关于x的方程a=e令ℎ(x)=exx当x<0时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在−∞,0上单调递减，且ℎ(x)<0；当0<x<1时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在0,1上单调递减，且ℎ(x)>0；当x>1时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在1,+∞上单调递增，且ℎ(x)>0；当x→−∞,ℎ(x)→0；当x→0当x→0+,ℎ(x)→+∞如图作出ℎ(x)=e

于是要使a=exx故a的取值范围为e,+∞．(ii)证明：结合题意及(i)有ex所以x1−x令x1x2=t∈(0,1)，将则x1x2要证(x1+令k(t)=t(t+1)(则k′(t)==ln令φ(t)=3t2−1则φ′(t)=5t−1令m(t)=5t−1t−4−2则m′(t)=5+1令n(t)=3+1t2则n′(t)=−2t则n(t)在(0,1)单调递减，所以n(t)>n(1)=0，即m′(t)>0，则m(t)在(0,1)单调递增，所以m(t)<m(1)=0，即φ′(t)<0，则φ(t)在(0,1)单调递减，所以φ(t)>φ(1)=0，故k′(t)>0，则k(t)在(0,1)单调递增，且k(t)>0，又limx→1故k(t)<limx→1k(t)=2(2)g(x)=fx=ex总存在x0∈0,1，使得g不妨设g(x)max=A(a,b)对于任意a,b∈R，m≤A(a,b)恒成立，则m≤min由x∈0,1，可知g(x)max