2024-2025学年湖北省武汉市高二下册3月月考数学质量检测试卷（附解析）

2024-2025学年湖北省武汉市高二下学期3月月考数学质量检测试卷一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1.下列等式中，不正确的是（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】利用组合数和排列数公式分别计算可判定ABC，利用组合数的性质，组合数与排列数的关系可判定D.【详解】故A正确；,故B错误；,故C正确；,故D正确.故选：B.2.设等差数列数列的前项和为，若，则（）A.30 B.28 C.26 D.24【正确答案】C【分析】根据等差数列的下标和性质，结合前项和公式，即可直接求得结果.【详解】根据等差数列的下标和性质，由可得：，故；则.故选：C3.等比数列中，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据给定条件，求出等比数列的公比，进而求出首项即可得解.【详解】依题意，等比数列的公比，则，解得，因此，所以.故选：B4.函数有（）A.极大值为5，无极小值 B.极小值为，无极大值C.极大值为5，极小值为 D.极大值为5，极小值为【正确答案】A【分析】利用导数可求出结果.【详解】,由，得，由，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以在时，取得极大值，无极小值.故选：A5.函数的最大值为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】求出函数的导数，结合导数判断函数的单调性，即可求出函数的最大值.【详解】解：函数的定义域为，则令，解得，当时，，则函数单调递增；当时，，则函数单调递减，则当时，函数有最大值，为，故选:D.6.已知函数在处取得极小值1，则（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】根据极值定义进行求解即可.【详解】由，因为在处取得极小值1，所以有，当时，单调递增，当时，单调递减，所以是函数的极小值点，故满足题意，于是有.故选：C7.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据函数的区间单调性，应用导数可得在上恒成立，构造并研究单调性即可求的取值范围.【详解】由，得，由在上单调递减，得在上恒成立，即在上恒成立.令，在上，∴在上单调递减，即，∴，故的取值范围.故选.8.已知函数及其导函数定义域均为，且，，则关于的不等式的解集为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】设，求导确定函数的单调性，再由已知得，则不等式可转化为，即可得解集.【详解】设，则，所以在上单调递减，又，原不等式可化为，即，所以，即不等式的解集为.故选：B.二、多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分）9.有4名同学报名参加三个不同的社团，则下列说法中正确的是（）．A.每名同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种B.每名同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种C.每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种D.每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有种【正确答案】AC分析】利用分步乘法计数原理可得答案.【详解】对于AB选项，第1个同学有3种报法，第2个同学有3种报法，后面的2个同学也有3种报法，根据分步计数原理共有种结果，A正确，B错误；对于CD选项，每个社团限报一个人，则第1个社团有4种选择，第2个社团有3种选择，第3个社团有2种选择，根据分步计数原理共有种结果，C正确，D错误．故选：AC.10.已知等差数列的前项和为，公差为，，若，则下列命题正确的是（）A.数列是递增数列B.和是中的最小项C.是数列中的最小项D.满足的的最大值为25【正确答案】AB【分析】根据等差数列下标和性质可计算出，结合可判断ABC，写出的表达式可判断D.【详解】对于选项A：因为即，所以，即，所以，所以，数列是递增数列，所以选项A正确；对于选项B：因为，，所以当或时，取最小值，所以选项B正确；对于选项C：因为数列是递增数列，所以最小项是首项，所以选项C错误；对于选项D：由不等式，可得，又因为，所以满足的的最大值为24，所以选项D错误．故选：AB11.设函数，则（）A.有极大值，且有最大值B.有极小值，但无最小值C.若方程恰有一个实根，则D.若方程恰有三个实根，则【正确答案】D【分析】先求出导函数，由导数的正负确定单调性，极值，确定函数值的变化趋势可确定最值，及方程的根的情形．【详解】由题意，∴当或时，，当时，，在和上递增，在上递减．极大值＝，极小值＝，或时，，时，，时，，∴也是最小值．无最大值．作出的图象，和直线，如图，当或时，有一个根，当时，有三个根．故选：D．本题考查用导数研究函数的极值和最值，研究方程根的个数问题，掌握极值与最值的定义是解题基础．方程根的个数常常转化为函数图象交点个数，由数形结合思想易求解．三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12.有两排座位，前排10个座位，后排10个座位，现安排2人就座，规定前排中间的两个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的坐法的种数是___________【正确答案】276分析】分情况讨论，结合分类计数原理可得答案.【详解】分为下列三类情况：第一类：两人分别坐前后两排，共有种；第二类：两人都坐后排，共有种；第三类：两人都坐前排，共有三种情况，分坐左右4个座位有32种；都坐左边4个座位有6种；都坐右边4个座位也有6种；共有种；由分类加法计数原理可得，共有种.故27613.某学校高二（1）班上午安排语文、数学、英语、体育、物理门课，要求第一节不安排体育，语文和数学必须相邻，则不同的排课方法共有____种．【正确答案】【分析】先考虑第一节安排体育课，语文和数学必须相邻的排法种数，接下来考虑语文和数学必须相邻的情形，求出两种情况下不同的排课方法种数，结合间接法可得结果.【详解】先考虑第一节安排体育课，语文和数学必须相邻，则将数学与语文捆绑，形成一个大元素，共有种排法；接下来只考虑语文和数学必须相邻的情形，只需将数学与语文捆绑，形成一个大元素，共有种排法.由间接法可知，不同的排法种数为种.故答案为.14.将数据，，，…排成如图的三角形数阵，（第一行一个，第二行两个，⋯，最下面一行有个，）则数阵中所有数据的和为________.【正确答案】【分析】写出数阵中所有数据的和，利用错位相减法求解即可.【详解】由题意，设数阵中所有数据的和为，则①，②，由①-②得：，所以.故方法点睛：解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据、寻找它们之间的相互联系，利用常见数列的通项公式和求和知识求解.四、解答题（共5小题，满分77分）15.已知函数.（1）求的解析式；（2）判断在上的单调性.【正确答案】（1）（2）在上的单调递减.【分析】（1）先对求导，再将代入到函数可求出，进而求出的解析式；（2）先对求导，当时，，，所以恒成立，即可得出答案.【小问1详解】因为，所以，则，所以，所以.【小问2详解】，当时，，，所以恒成立，所以在上的单调递减.16.已知函数的图象在点处的切线与直线垂直.（1）求值;（2）已知在区间上的最小值为，求在区间上的最大值.【正确答案】（1）（2）1.【分析】（1）根据导数的几何意义求解；（2）利用导数判断的单调性，结合的最小值为，求出，并求出最大值.【小问1详解】由已知，得，由题知，解得.【小问2详解】由（1）可知，，，的变化情况如表所示：12+0-0+极大值极小值，，，即在区间上的最大值为1.17.设数列的前n项和为，满足.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前n项和.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据与的关系即可求出数列的通项公式（2），利用裂项相消法即可求出数列的和.【小问1详解】当时，，解得，当时，，，即，即，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以.【小问2详解】由（1）知，，所以.18.名男生和名女生站成一排．（1）甲不在中间也不在两端的站法有多少种？（2）甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？（3）男、女分别排在一起的站法有多少种？（4）男、女相间的站法有多少种？（5）甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？【正确答案】（1）种（2）种（3）种（4）种（5）种【分析】（1）按有特殊位置元素的排列方法求解；（2）按有特殊位置元素的排列方法求解；（3）按捆绑法排列即可；（4）按插空法排列即可；（5）按部分均匀的排列方法求解即可.【小问1详解】先排甲有种，其余有种，共有种排法.【小问2详解】先排甲、乙，再排其余人，共有种排法.【小问3详解】把男生和女生分别看成一个元素，男生和女生内部还有一个全排列，共种.【小问4详解】先排名男生有种方法，再将名女生插在男生形成的个空上有种方法，

故共有种排法.【小问5详解】人共有种排法，其中甲、乙、丙三人有种排法，因而在种排法中每种对应一种符合条件的排法，

故共有种排法．19已知函数，.（1）讨论的单调性并求极值.（2）设函数（为的导函数），若函数在内有两个不同的零点，求实数的取值范围.【正确答案】（1）在上单调递减，在上单调递增，的极小值为，无极大值；（2）.【分析】（1）求出，然后可得单调性和极值；（2），然后求出当时的单调性，要使函数在内有两个不同的零点，则有，解出，