2024-2025学年河南省三门峡市高一下册3月月考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年河南省三门峡市高一下学期3月月考数学检测试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】利用复数的运算法则计算即可.【详解】由题意，故选：B.2.边长为2的等边三角形中，（）A.2 B.4 C. D.【正确答案】C【分析】利用向量数量积定义及公式计算即可.【详解】由题意，故选：C.3.在中，，则（）A.或 B. C. D.或【正确答案】B【分析】由正弦定理求解即可.【详解】由正弦定理得，，即，解得，又，则，所以故选：B.4.已知向量，则在方向上的投影向量是（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据在方向上的投影向量是，代入计算即可.【详解】由题意有，，所以在方向上的投影向量是，故选：A5.已知向量满足，则（）A.0 B.1 C.2 D.4【正确答案】D【分析】根据题意，结合向量的线性运算法则和数量积的运算公式，准确计算，即可求解.【详解】由向量满足，因为，可得，解得，故选：D.6.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50m，，后，可以计算出A，B两点的距离为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】求出，再利用正弦定理求解即可.【详解】因为，,所以，中，由正弦定理得,即，解得.所以A，B两点的距离为m.故选：A.7.如图，在四边形中，，向量的夹角为.若是边的中点，是边的中点，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】利用向量的线性运算表示，可得，根据数量积的运算律可得结果.【详解】由题意得，，，∵若是边的中点，是边的中点，∴，∴①＋②得，，∴，∴，故.故选：D.8.在中，已知，则的内切圆的面积为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】由三边长利用余弦定理求得继而求得三角形的面积，接着通过的内切圆的圆心分割三角形得到其面积的另种表示方式，即可求得内切圆半径.【详解】由余弦定理可得，因，则，.设的内切圆的半径为，则，解得，则的内切圆的面积为.故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列正确的是（）A.若，则与能作为一组基底B.，则与能作为一组基底C.与可以作为一组基底D.若不共线，则与可以作为一组基底【正确答案】BD【分析】本题可根据向量能否作为一组基底的判定条件，即两个向量不共线时可以作为一组基底，来逐一分析选项.【详解】选项A：判断与是否共线.，等式成立，所以与共线，不能作为一组基底，A选项错误.选项B：判断与是否共线.，所以与不共线，能作为一组基底，B选项正确.选项C：判断与是否共线.设，可得.若与不共线，则不存在这样的实数使得成立；若与共线，则与共线.由于题目未明确与是否共线，所以无法确定与是否能作为一组基底，C选项错误.选项D：判断与是否共线.设，即.因为，不共线，所以不存在实数使得成立.所以与不共线，可以作为一组基底，D选项正确.故BD.10.在中，角的对边分别为，则（）A.若，则解此三角形有两解B.若，则此三角形为等腰直角三角形C.若为锐角三角形，则D.的充要条件是【正确答案】ACD【分析】利用余弦定理求解可判断A；利用正弦定理边化角可得或，可判断B，利用锐角三角形的定义以及诱导公式计算可判断C；由正弦定理可判断D.【详解】对于A，由余弦定理可得，即，解得或，故三角形有两解，故A正确；对于B，因为，所以由正弦定理可得，所以，因为，，所以或，所以或，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，故B错误；对于C，因为为锐角三角形，所以，所以，，所以，，所以，故C正确；对于D，充分性，若，则，所以，故充分性成立，必要性，若，则，所以，故必要性成立，所以的充要条件是，故D正确.故选：ACD.11.已知三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，.则下列结论正确的是（）A.B.C.的取值范围为D.若，则为等边三角形【正确答案】ABD【分析】根据余弦定理化简判断A，根据正弦定理结合合比性质判断B，利用正弦定理及数量积定义得，然后利用三角恒等变换化简，利用正弦函数的性质求解范围判断C，根据向量线性关系及数量积的几何意义易知的角平分线与垂直且，即可判断D.【详解】对于A，在中，，由余弦定理得，正确，对于B，由正弦定理，可得，，所以，正确；对于C，由选项B知，，则，又，所以，所以，所以，错误；对于D，表示方向的单位向量；表示方向的单位向量，根据平面向量加法的几何意义可知与的角平分线共线，由可知的角平分线与垂直，所以是等腰三角形，又，所以为等边三角形，正确.故选：ABD关键点点睛：解答本题的关键是利用数量积的定义及正弦定理、综合运用两角和差正弦公式及二倍角公式化简，再利用正弦函数的性质求解范围即可.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，与的夹角为，若与垂直，则实数__________.【正确答案】【分析】由已知条件可得，再利用向量垂直，可得，进而求得的值.【详解】由题意得，从而，得.故答案为.13.在中，，分别为，的中点，，，则面积的最大值为________．【正确答案】【分析】分别在和中利用余弦定理可得，，再将面积表达式平方并利用二次函数性质即可求得面积的最大值.【详解】如下图所示：设角所对的边分别为，在中，由利用余弦定理可得，又，可得，即；同理在中,由利用余弦定理可得，又，可得，即；联立，解得，；由的面积为可得因此可得，可得，即面积的最大值为.故关键点点睛：本题关键在于利用中线长结合余弦定理求得三边长之间的关系，再由面积表达式平方计算，根据二次函数性质可求得最值.14.在扇形中，，为弧上的一动点，若，则的取值范围是_________．【正确答案】【分析】以O为原点，分别为x，y轴正方向建立平面直角坐标系.向量坐标化进行坐标运算，利用三角函数求出的取值范围.【详解】以O为原点，分别为x，y轴正方向建立平面直角坐标系.则.不妨设.因为，所以，解得：，所以.因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递减.所以当时最大；当时最小.所以的取值范围是.故答案为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知向量，其中.（1）若向量是单位向量，且，求向量；（2）若向量，向量与向量共线，求向量.【正确答案】（1）或（2）【分析】（1）根据向量的模和垂直的坐标表示列出等式求解；（2）根据向量平行的坐标表示列出等式求解.【小问1详解】设，根据题意，得，则或，所以或；【小问2详解】若向量，则，，由向量与向量共线，可得，则，故.16.在中，角,,的对边分别是，且.（1）求角的大小；（2）若，，求和的值.【正确答案】（1）（2）或.【分析】（1）根据已知结合余弦定理求出，再由角是的内角得出角的范围进而可以求解；（2）根据已知结合余弦定理即可求解【详解】（1）由，得，由余弦定理，得，即，又因为，所以.（2）由（1）及余弦定理，得，将，代入得.由，解得或所以或.17.如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设．（1）用表示；（2）如果，且，求．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）结合图形，结合向量加，减，和数乘，即可用基底表示向量；（2）由，可得，从而可得，结合已知可得，最后利用数量模的运算公式结合数量积的运算律求解即可．【小问1详解】因为，所以，；【小问2详解】因为，所以，所以，由，可得，又，所以，所以．18.如图，某人开车在山脚下水平公路上自向行驶，在处测得山顶处的仰角，该车以的速度匀速行驶3分钟后，到达处，此时测得仰角，且．（1）求此山的高OP的值；（2）求该车从A到行驶过程中观测点的仰角正切值的最大值．【正确答案】（1）（2）【分析】（1），在中和中，利用正切函数可表示出，然后在中利用余弦定理可求出；（2）设是线段AB上一动点，连结OC，PC，当时，OC最短，此时观测点的仰角正切值的最大，从而可求出其最大值.【小问1详解】设，在中，因为，所以，同理，在中，，在中，由余弦定理得，所以，得，所以此山的高为．【小问2详解】由（1）得，设是线段AB上一动点，连结OC，PC，则在点处观测点的仰角为，当时，OC最短，由得，所以，所以该车从到行驶过程中观测点仰角正切值的最大值为．19.在中，内角的对边分别为，且为边上的一点，且平分.（1）求的大小；（2）若平分线交于点，且，求周长的最小