2024-2025学年河北省保定市曲阳县高二下册3月月考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年河北省保定市曲阳县高二下学期3月月考数学检测试题注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3.本试卷命题范围：选择性必修第二册（第五章），选择性必修第三册（6.1～6.2）.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.某邮局有4个不同的信箱，现有5封不同的信需要邮寄，则不同的投递方法共有（）A.种 B.种 C.种 D.种【正确答案】A【分析】根据分步乘法计数原理，根据题中条件，可直接得出结果.【详解】将5封不同的信，通过4个不同的信箱邮寄，每封信都有4种不同的投递方法，因此总的不同的投递方法共有：种.故选：A.2.把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有（）A.4种 B.5种 C.6种 D.7种【正确答案】A【详解】试题分析：分类：三堆中“最多”的一堆为5个，其他两堆总和为5，每堆最至少1个，只有2种分法．三堆中“最多”的一堆为4个，其他两堆总和为6，每堆最至少1个，只有2种分法．三堆中“最多”的一堆为3个，那是不可能的．考点：本题主要考查分类计数原理应用．点评：本解法从“最多”的一堆分情况考虑开始，分别计算不同分法，然后求和．用列举法也可以，形象、直观易懂．3.函数在上是单调增函数，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】问题转化为在上恒成立，求出，从而求出实数a的取值范围.【详解】，由题意得：，即在上恒成立，因为，所以恒成立，故实数a的取值范围是.故选：B4.已知函数（为自然对数的底数），则等于（）A.0 B. C.1 D.【正确答案】C【分析】先求出时的导函数，再分别求出和，即可得到目标的值.【详解】当时，，所以，所以，，所以.故选：5.如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据题意可知每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，分类研究，不同色；同色两大类，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得答案．【详解】由题意知，分两种情况：(1)不同色，先涂区域有种方法，再涂区域有种方法，再涂区域有种方法，再涂区域有种方法，由分步乘法计数原理可得有种；(2)同色；先涂区域有种方法，再涂区域有种方法，再涂区域有种方法，再涂区域有种方法，由分步乘法计数原理可得有种．由分类加法计数原理，共有种，故选：A．6.已知可导函数满足，则当时，和的大小关系为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据条件构造函数，求导可知单调递增，比较的大小，可得和的大小关系.【详解】解：令，则，因为，所以，所以在上单调递增；因为，所以，即，即.故选：A.本题考查构造函数法比较大小，考查利用导数求函数的单调性，属于基础题.7.已知函数在上的最大值为，则a的值为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】由，求导得，再根据在上的最大值为，分，，讨论求解.【详解】由，得，当时，若，则单调递减，若，则单调递增，故当时，函数有最大值，解得，不符合题意.当时，函数在上单调递减，最大值为，不符合题意.当时，函数在上单调递减.此时最大值为，解得，符合题意.故a的值为.故选：A.8.已知函数是定义在上的奇函数，的图象连续，且，记的导函数为，若在上恒成立，则使成立的的取值范围是（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】构造函数，求导后由可得，进而由确定，当时，，当时，，进而由奇函数的性质当或时，，当或时，，当或时，，进而可得.【详解】设，则，由题意，故在区间上单调递减，又，故当时，，，故，当时，，，故，又函数是定义在上的奇函数，故当或时，，当或时，，当或时，，由得或，由的，故由得或或，故选：D二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象不可能是（）A. B. C. D.【正确答案】ACD【分析】依据单增则，单减则可判断.【详解】由图像可知，在上单调递增，则在上，故C、D选项的图象不可能是的图象；在上先减后增再减，则先负后正再负，故A选项的图象不可能是的图象，B选项的图象可能是的图象.故选：ACD10.下列说法正确的为（）A.6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有种不同的分法B.6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法C.6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法D.6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有450种不同的分法【正确答案】ABC【分析】根据给定条件，利用分组分配的方法，列式判断AB；利用隔板法计算判断C；利用分类加法计数原理列式计算判断D.【详解】对于A，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，先取2本给甲，再从余下4本中取2本给乙，最后2本给丙，不同分法有种，A正确；对于B，把6本不同的书按分成3组有种方法，再分给甲、乙、丙三人有种方法，不同分法种数是，B正确；对于C，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，相当于把6本相同的书排成一排，中间形成5个间隙，取两块隔板插入两个间隙，把6本书分成3部分，分给甲、乙、丙三人的不同分法数为，C正确；对于D，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，可以有3类办法，每人2本有种，一人1本，一人2本，一人3本有种，一人4本，另两人各一本有种，所以6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本的不同分法数是：，D错误.故选：ABC11.设函数有两个极值点，则实数的取值可以是（）A. B. C. D.【正确答案】CD【分析】由题意，利用求导将问题转化成方程在上有两个不等的实根，继而理解为与在上有两个交点，结合二次函数的性质即得.【详解】函数的定义域为，则，依题意知，在上有两个不等的实根，即方程在上有两个不等的实根，也即函数与函数在上有两个交点，由二次函数的图象可得：，解得，故C，D两项正确.故选：CD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则不同分法的种数是______.【正确答案】720【分析】根据题意，利用分步乘法计数原理计算即可.【详解】由题意知这是一个分步计数问题，3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，分第一张有10种结果，分第二种有9种结果，分第三种有8种结果，根据分步乘法计数原理共有种结果．故720．13.已知函数的图象在点处的切线方程为______.【正确答案】【分析】先求导，再根据导数的几何意义即可求出.【详解】由，则，则，且，所以函数在点处的切线方程为，即.故14.已知，函数在有极值，设，其中为不大于的最大整数，记数列的前项和为，则___________.【正确答案】615【分析】根据给定条件探求出，再借助的意义分析的前100项的各个值，再求和作答.详解】函数，求导得：，因，函数在有极值，则存在，有，解得，于是得，即，而，因此，数列的前100项中有1个0，3个1，5个2，7个3，9个4，11个5，13个6，15个7，17个8，19个9，而，所以.故答案：615关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.有5名同学站成一排拍照．（1）若甲乙必须站一起，则共有多少种不同的排法？（2）若最左端只能排甲或乙，且最右端不能排甲，则共有多少种不同的排法？（3）求出现甲必须站正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻排法？【正确答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）利用捆绑法求得方法数.（2）利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理，计算出方法数.（3）利用分步计数原理，求得方法数【详解】（1）将甲乙捆绑在一起，故方法数有种.（2）如果甲排左端，则方法数有种；如果乙排左端，则方法数有种.故总的方法数有种.（3）按照甲、乙、丙、其他三个同学的顺序进行安排，所以方法数有种.本小题主要考查简单排列组合问题的求解，考查分类加法、分步乘法计数原理，属于基础题.16.（1）已知，求的值；（2）已知，求的值.【正确答案】（1）；（2）【分析】由排列数与组合数的计算公式，可得答案.【详解】（1）由，则，整理可得，解得.（2）由，则，整理可得，分解因式得，解得，所以.17.设函数，.（1）求函数的单调区间；（2）若关于的方程有三个不同实根，求实数的取值范围；（3）已知当时，恒成立，求实数的取值范围.【正确答案】（1）在和单调递增，在单调递减（2）（3）【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可；（2）根据（1）画出的图象，数形结合即可求解；（3）利用分离参数的方法求解恒成立问题即可.【小问1详解】的定义域为R，，今得或，令得，在和单调递增，在单调递减.【小问2详解】由（1）可知为的极大值点，为的极小值点，的图象如图所示，由图可知，若关于的方程有三个不同实根，则【小问3详解】时，恒成立，即在恒成立，今，则，等价于，且开口向上，在单调递增．18.已知函数.（1）若，求函数极值；（2）若函数无零点，求实数的取值范围．【正确答案】（1）极小值为，无极大值；（2）．【分析】（1）当时，利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极值；（2）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合已知条件可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.【详解】（1）当时，，所以，令，得，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以为函数的极小值点，极小值为，无极大值；（2）由，得．①当时，，此时函数没有零点，符合题意；②当时，，所以函数单调递减．又，且，所以函数有零点，不符合题意；③当时，令，则．当时，，所以函数单调递减；当时，，所以函数单调递增．所以，若函数没有零点，则需，即，得．综上所述，若函数无零点，则实数的取值范围为．方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.19.已知函数的导函数为.（1）判断的单调性；（2）若存在两个极值点和，证明：【正确答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【分析】（1）求出的导数，根据的取值分情况讨论，结合导数确定函数的单调区间；（2）根据已知条件，化不等式