2024-2025学年广东省深圳市高二下册3月月考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年广东省深圳市高二下学期3月月考数学检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，只需将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列结论中，正确的是（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】利用基本初等函数求导公式，复合函数求导公式以及导数的运算法则的进行求导，逐项分析即可.【详解】对于A，常数导数等于0，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.故选：D.2.设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（）A.6 B.2 C.3 D.【正确答案】A【分析】根据导数的定义，结合导数的几何意义求解即可.【详解】由题意，，即，故，即曲线在点处的切线的斜率是6.故选：A3.已知函数，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据条件，利用基本函数的导数与导数的运算法则，即可求解.【详解】因为，则，所以，解得，故选：A.4.函数在上的图象大致为（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】根据函数的性质，判断函数图象的形状.【详解】因为，所以，所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故排除答案CD，又，，设，，则，.所以在上为增函数，又，所以在上恒成立，即在上单调递增，故排除B.故选：A5.已知为R上的可导函数，其导函数为，且对于任意的，均有，则（）A.，B.，C.，D.，【正确答案】A【分析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，根据且可得答案.【详解】构造函数，则，所以函数在上单调递增，故，即，即.同理，，即.故选：A.6.2023年10月23日，杭州亚运会历时16天圆满结束.亚运会结束后，甲､乙､丙､丁､戊五名同学排成一排合影留念，其中甲､乙均不能站左端，且甲､丙必须相邻，则不同的站法共有（）A.18种 B.24种 C.30种 D.36种【正确答案】C【分析】分类当丙站在左端时及丙不站在左端时的情况计算即可得.【详解】由题意可知，当丙站在左端时，有种站法；当丙不站在左端时，有种站法.由分类加法计数原理可得，一共有种不同的站法.故选：C.7.已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】根据题意可知在[1,2]上恒成立，将问题再转化为函数的最值问题求解即可.【详解】，若函数在区间上单调递减，即在上恒成立，即在[1,2]上恒成立.令，则在上单调递减，,所以,,即故选：C.8.已知函数，，若函数有5个零点，则a的取值范围为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】利用分段函数思想，结合分离参变量，再利用求导，数形结合，可得参数范围.【详解】当时，由得：，显然，是的一个零点，再当时，有，作出图象可得：当时，，所以当时，在有两个零点；再当时，由得：，整理得，令，求导得，令，得当时，，所以在区间上递增，当时，，所以在区间上递减，作出图象：所以由图可得：当时，在有两个零点；又由于，所以要使得有五个零点的参数，故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（）A.是函数的极小值点B.是函数的极小值点C.函数在区间上单调递增D.函数在处切线的斜率小于零【正确答案】BC【分析】根据导函数图象，求得函数单调性，结合极值点定义，即可容易判断选择.【详解】由图象得时，，时，，故在单调递减，在单调递增，故是函数的极小值点.对选项：显然，故错误.故选：BC．本题考查由导数涵图象研究函数性质，属基础题.10.现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到A，B，C，D，E五家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（）A.所有可能的安排方法有125种B.若A医院必须有专家去，则不同的安排方法有61种C.若专家甲必须去A医院，则不同的安排方法有16种D.若三名专家所选医院各不相同，则不同的安排方法有10种【正确答案】AB【分析】利用分步计数原理及排列知识逐项分析即得.【详解】对于A，每名专家有5种选择方法，则所有可能安排方法有种，A正确；对于B，由选项A知，所有可能的方法有种，A医院没有专家去的方法有种，所以A医院必须有专家去的不同的安排方法有种，B正确；对于C，专家甲必须去A医院，则专家乙、丙的安排方法有种，C错误；对于D，三名专家所选医院各不相同的安排方法有种，D错误．故选：AB.11.已知函数，，则下列说法正确的是（）A.当时，有唯一零点B.当时，是减函数C.若只有一个极值点，则或D.当时，对任意实数，总存在实数，使得【正确答案】ABD【分析】对于A：求导，确定单调性，然后利用零点存在定理判断；对于B：求导，利用导数研究函数单调性；对于C：直接验证时的极值情况；对于D：求导，作出的图象，观察图象可得.【详解】对于A：当时，，令，得，令，得，即在上单调递增，又，，由零点存在定理可得在上有唯一零点，即有唯一零点，A正确；对于B：，令，得，设，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，又当时,，所以恒成立，即当时，是减函数，B正确；对于C：当时，由B知，即，所以，即在上单调递减，无极值，C错误；对于D：当时，，，令，得，令，则，当，即时，单调递增，当，即时，单调递减，所以，即恒成立，所以单调递减，又，所以，所以在上单调递减，且当时，，当时，，可得的大致图象如下：由图可知对任意实数，总存在实数，使得，D正确；故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知定义在上的函数，则曲线在点处的切线方程是______．【正确答案】【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，进而可得切线方程.【详解】令，得．对求导，得，所以，故曲线在点处的切线方程为．故答案为.13.甲、乙等6位同学去三个社区参加义务劳动，每个社区安排2位同学，每位同学只去一个社区，则甲、乙到同一社区的不同安排方案共有__________.【正确答案】18【分析】按照分步计数原理并利用平均分组后再分配的计算方法求解可得.【详解】根据题意，安排6位同学到社区参加义务劳动可分成两步：第一步，将6位同学分成3组，要求甲、乙一组，其余4位同学平均分组，则有种分组方法；第二步，将分好的3组全排列，安排到三个不同的社区，有种情况；则由分步计数原理可得，甲、乙到同一社区的不同安排方案共有种不同的安排方法.故18.14.设函数，若存在，使得在上的值域为，则实数的取值范围为________【正确答案】【分析】先结合导数研究函数的单调性，结合单调性把原问题转化为在上有两解，构造函数，，结合已知条件转化为研究函数的值域，利用导数可求.【详解】由题可得：，当时，，所以在上单调递增，若存在，使得在上的值域为，则，即在上有两解，令，，则，当时，，当时，，，故在上单调递增，在上单调递减，且，，，所以要使在上有两解，则，故四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.用五个数字，问：（1）可以组成多少个无重复数字的四位密码？（2）可以组成多少个无重复数字的四位数？（3）可以组成多少个十位数字比个位数字大的无重复数字的四位偶数？【正确答案】（1）120（2）96（3）32【分析】（1）直接全排列即可得答案；（2）注意首位不能为0，从不为0的四个数选一个放在首位，再从剩下的四个数选三个数全排列即可得答案；（3）分0在个位、在个位、4在个位三种情况进行讨论，再由分类加法计数原理求解可得答案.【小问1详解】从5个数字任取4个进行全排列，故有个；【小问2详解】首位不能为0，则有个；【小问3详解】由题意，是偶数个位数必须是.分3种情况讨论：①0在个位，十位必须比0大，千位数字不能是0且不能与个位和十位数字重复，百位数字在剩下的数字选一个，所以共有；②在个位，十位数字必须比2大，千位数不能是0且不能与个位和十位数字重复，百位剩下2个里面选一个.有种选法；③4在个位，里面没有比4大的数字，不存在这种可能.则共有种情况.16.某班级在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“迎”“春”卡各两张，“龙”卡三张．每个学生从卡箱中随机抽取4张卡片，其中抽到“龙”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，若抽中“福”“龙”“迎”“春”张卡片，则额外获得2分．（1）求学生甲抽到“福”“龙”“迎”“春”4张卡片的不同的抽法种数；（2）求学生乙最终获得分的不同的抽法种数．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据组合数的知识求得正确答案.（2）根据分的组合情况进行分类讨论，由此求得正确答案.【小问1详解】学生甲抽到“福”“龙”“迎”“春”4张卡片的不同的抽法种数为种.【小问2详解】学生乙最终获得分，有两种情况：①，抽到张“龙”卡以及其它任意张卡，方法数有种.②，抽到抽中“福”“龙”“迎”“春”张卡片，方法数有种.所以学生乙最终获得分的不同的抽法种数为种.17.已知函数．（1）写出函数的单调区间；（2）求函数在上的最大值、最小值．【正确答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为.（2）最大值，最小值为.【分析】（1）求解导函数，求出与的解集，从而得函数的单调区间；（2）列出，，的变化情况表，得函数的极大值与极小值，再计算端点值，从而可得上的最值.【小问1详解】由题意，函数的定义域为，，得或，当时，或；当时，，所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.【小问2详解】由（1）知，，，的变化情况如下表：极大值极小值所以函数的极大值为，极小值为，又，所以函数在上的最大值为，最小值为.18.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若恒成立，求正实数的取值范围.【正确答案】（1）答案见解析；（2）.【分析】（1）利用导数，并讨论、研究的符号，进而判断的单调性；（2）将问题转化为恒成立，构造中间函数，只需求时的范围即可.【详解】（1）且，∴时，即单调递增；时，有，即在上单调递增；有，即在上单调递减；综上，时在上单调递增；时在上单调递减，在上单调递增；（2）由题设，，即恒成立，令，则，∴由（1）知：时有极小值也是最小值，故只需即可.若，则，即在上递减，又，∴时，，即恒成立∴正实数的范围为.关键点点睛：第二问，将问题转化为恒成立，并构造函数并应用导数研究最值，进而求参数a的范围.19.已知函数在处取得极值（1）求实数的值（2）求证：（3）证