专题42 三角函数的图象与性质【八大题型】（举一反三）（新高考专用）（解析版）

专题4.2三角函数的图象与性质【八大题型】

【新高考专用】

►热点题型梳理

【题型1三角函数的定义域、值域问题】.........................................................2

【题型2三角函数的图象识别与应用】...........................................................4

【题型3由部分图象求函数的解析式】...........................................................6

【题型4三角函数图象变换问题】...............................................................10

【题型5三角函数的单调性问题】...............................................................12

【题型6三角函数的周期性、对称性与奇偶性的灵活运用】.......................................15

【题型7三角函数的零点问题】.................................................................18

【题型8三角函数的图象与性质的综合应用】....................................................20

►命题规律

1、三角函数的图象与性质

三角函数的图象与性质是高考的热点内容，其中函数产4sin(c»+0)的图象变换以及三角函数的周期性、

对称性、奇偶性与单调性之间的关系则是高考考察的重心.从近几年的高考情况来看，比较注重对三角函数

的几大性质之间的逻辑关系的考查，试题多以选择题、填空题的形式呈现，难度中等或偏下.

►知识梳理

【知识点1三角函数的定义域与值域的求解策略】

1.三角函数的定义域的求解思路

求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象.

2.求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：

⑴形如y=as\nx+bcosx+c的三角函数化为产Asin(a)x+3)+c的形式，再求值域(最值)；

⑵形如)=asin21+戾inx+c的三角函数，可先设sinx=/,化为关的二次函数求值域(最值)；

⑶形如＞=asin.rcos.r+/?(sin,ricosx)+c的三角函数，可先设/=sin.v±cosx,化为关于/的二次函数求值域(最

值).

【知识点2三角函数的周期性、对称性、奇偶性的求解思路】

1.三角函数周期的一般求法

(1)公式法；

(2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期.

2.三角函数的对称轴、对称中心的求解策略

⑴对于可化为於尸Asin(©x+«)(或儿t)=Acos(s+0))形式的函数，如果求人x)的对称轴，只需令

，+E(k£Z)(或令＜°x+9=E(k£Z)),求x即可；如果求«r)的对称中心的横坐标，只需令

Q)x-(p=kK(kQZ)(或令cox+(p=y+E(k£Z)),求x即可.

Lrr

(2)对于可化为於)=Atan(5+5)形式的函数，如果求於)的对称中心的横坐标，只需令⑴x+(p=方(氏7)),

求工即可.

3.三角函数的奇偶性的判断方法

三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在尸Asin(3+9冲代入40,

若产0则为奇函数，若)，为最大或最小值则为偶函数.

若产4sin(Qt+9)为奇函数，则(p=kn(k£Z)；若尸4sin(cox+9)为偶函数，则伊:/+/at(k£Z).

【知识点3三角函数的单调性问题的解题思路】

1.三角函数的单调区间的求解方法

求较为更杂的三角函数的单调区间时，首先化简成尸Asin("x+p)形式，再求)=4sin(s+s)的单调区间，

只需把3+夕看作一个整体代入尸sinx的相应单调区间内即可，注意要先把3化为正数.

2.已知三角函数的单调性求参数的解题思路

对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数s的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数

的单•调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选

择题，利用特值验证排除法求解更为简捷.

【知识点4三角函数的图象变换问题】

1.三角函数的图象变换问题的求解方法

解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下：

(1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象；

(2)变同名：函数的名称要变得一样；

(3)选方法：即选择变换方法.

►举一反三

【题型1三角函数的定义域、值域问题】

【例1】(2023上•湖南株洲•高一校考阶段练习)函数y=tanx的定义域为()

A.RB.(x|x^y,/cGZ]

C.｛工区Hg+Anr,A£z｝D.｛工+

【解题思路】根据正切函数图象与性质，列出不等式，即可求解.

【解答过程】根据正切函数的性质，可得函数丫=12娥有意义，则满足+WZ,

所以函数y=tanx的定义域为｛x|xW：+上立,女£zj.

故选：C.

【变式1-1](2023上•陕西咸阳•高三校考阶段练习)困数/'Q)=sin(2x十号在„上的值域为()

A•[-今1]B,[号T]C-恰1]D.[0,1]

【解题思路】根据xc[0，¥，可得2%+三€口日]，再结合正弦函数的图象求解即可.

【解答过程】解:由“中,斗瓦得2%+当仁，外

则/(x)=sin(2%+6[-y,l].

故选：A.

【变式1-2](2023•广东广州・广东实验中学校考一模)已知函数f(x)=2sin(cox-(co>0)在[o,1上的值

域为[-1,2],则3的取值范围为()

【解题思路】根据题意可得3%-7€上士；3一雪，再利用值域可限定5453-！4口+3解得3的取值范

6L6Z6J2266

围为居•

【解答过程】由3G[。身及3>0可得3%—注[一号eT，

根据其值域为[-1,2],且2sin(-J=.l,

由正弦函数图象性质可得；+

2Zoo

即可得;解得933匕3

3Zo33

故选:B.

【变式1-3](2023•四川成都・四川省校考模拟预测)当XE恪m]时，函数/(乃=3(3%+*勺值域是

卜1,一日]，则，〃的取值范围是()

AY有B.售用

仁去用D.曲用

【解题思路】解法一：画出函数的图象，由x的范围求出3x+孑勺范围，根据f(x)的值域可得答案：

解法二：由工的范围求出3、+；的翘围，根据y=cosX的图象性质和/(%)的值域可得答案.

«5

【解答过程】解法一：由题意，画出函数的图象，由》€匕，根1，可知+3m+3

LoJ633

码=5。,C选项正确，D选项错误;

故选：C.

【变式2-1]（2023•高一课时练习）如图所示，函数y=cosx代anx|（0Wx＜蓑且工工^）的图像是（）.

【解题思路】取绝对值符号，再根据正弦函数的图象即可得解.

sinx,或穴工》<^

【解答过程】y=cosx|tanx|=

-sinx,^<x<TT

根据正弦函数的图象，作出函数图象如下图所示,

函数/■（%）=患m的图象大致为（）

【解题思路】根据偶函数排除C、D,再计算/C)>0,可排除B,从而可得到答案.

【解答过程】f(x)的定义域为R，

因为/(—%)=-xsin(-x)xsinx=fW，

el—xl—1el*l-i

所以/(%)在R上为偶函数，可排除C、D；

乂/⑶=雷=会>。，可排除B・

故选：A.

【变式2-3](2023・广东・统考模拟预测)己知函数y=f(x)部分图象如图所示，则函数/(%)的解析式可能为

()

A./(x)=xsin2xB./(x)=xsinxC./(x)=2|x|sinzD./(x)=2|x|sin2x

【解题思路】利用函数零点排除B,C两个选项，再由奇偶性排除A后可得正确选项.

【解答过程】由图像知f(x)=0,%€[0,可有三个零点经验证只有AD满足，排除BC选项,

A中函数满足/Xr)=-xsin(-2x)=xsin2x=/(x)为偶函数，

D中函数满足/(一%)=2l-x|sin(-2x)=-2|x|sin2x=一/(%)为奇函数，

而图像关于原点对称，函数为奇函数，排除A,选D.

故选：D.

【题型3由部分图象求函数的解析式】

【例3】(2023•河南郑州•统考模拟预测)已知函数f(x)=2sin(sr+0)(其中3>0,0<(p<K)的图象

如图所示，且满足/XO)=/(x0)=一/1。+2=1，则/'(%)=()

A.2sin(2x+§B.2sin(2x-^)

C.2sin(3x+]D.2sin(3x-^)

【解题思路】根据题意得到函数的最小正周期，然后利用三角函数的周期公式得到3=3,再结合f(0)=1可

得到3进而求解.

6

【解答过程】设/(X)的最小正周期为T,根据/(&)=-/•(与+小及函数图象的对称性知，\=卜0+9-%,

所以7=§=",得3=3.

33

由/(。)=1，得sin(3x0+枢)=；,因为0<gVm

由图知故/'(%)=2sin(3x+J.

故选：C.

【变式3-1](2023.陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测)函数f(>)=3sin(d)x+>)3>0,0V3V

TT)的部分图象如图所示，则()

A.f(x)=3sin{2x+y)

B./(%)图象的一条对称轴方程是x=-等

8

C.f(x)图象的对称中心是kwz

D.函数y=f(x+是奇函数

【解题思路】根据图象可求得函数/'(%)的解析式为/(无)=3sin(2x+})，可判断A错误；将为=一拳弋入

可得/(%)取到最小值，可知B正确；由整体代换法可得/'(X)的对称中心是©4口-费,0)，k£Z,即C错误:

根据奇偶性的定义可得D错误.

【解答过程】由函数f(x)=3sin3v+w)的图象知;7=1—(—9=/，可得T=n；

28\8/2

即詈=口，解得3=2,即/'(无)=3sin(2%+*),

又因为/(一;)=3sin(9—3)=3,可得@一：=；+2〃TI,kWZ,即@=:+2/nr,kGZ,

又0VqVn,可得q=/(x)=3sin(2x+y),故A错误.

对选项B,f(一我)=3sii)H+9=3sin(_：)=_3取至lj最小值,故B正确.

对选项C,令2%+亨=依，kWZ,解得柒kEZ,

因此八》)的对称中心是《如一毛,0),kez,故C错误.

对选项D,设g(x)=/(x+y)=3sin(2x+y+y)=3sin(2x+：)=3cos2%,

则g(x)的定义域为R,g(-x')=3cos(-2x)=3cos2x=g(x),所以g(x)为偶函数，即D错误.

故选：B.

【变式3-2](2023上•陕西榆林•高三校考阶段练习)函数/(无)=/lsin(6jx+9)(4>0,3>0,|初V]的部

分图象如图所示，则下列结论正确的是()

A.点管,0)是/•(》)的对称中心

B.直线％=g是/•(%)的对称轴

C.f(x)的图象向右平移,个单位得y=sin2x的图象

D./Xx)在区间曲引上单调递减

【解题思路】根据三角函数部分图象求出解析式，利用三角函数的性质即可求解.

【解答过程】由题意可知，A=l,

:丁二答一去解得「二元，

4126

所以7=71=空，解得3=2,

将。0)代入/(%)=sin(2x+0)中，得sin(2xe+0)=0,解得卬二5一三，kWZ、

因为所以

/44

当k=0时»(p=-

3

所以/O)的解析式为/(%)=sin(2%-；).

对干A，/0D=sin(2x工一力=1区0,所以点(工,0)不是八外的对称中心，故A错误；

对于B,/•(m)=sin(2xg-9=0M±l,所以直线％=£不是/(%)的对称轴，故B错误；

对于C,/(x)=sin(2%-§的图象向右平移得个单位得f(%)=sin12-§一外=sin(2%-为=cos2x

的图象，故C错误；

对于D,当时，2x-；€[y,Tr]cg,7T],所以/(%)在区间Rg]上单调递减，故D正确.

故选：D.

【变式3-3](2023•全国•模拟预测)已知函数/(%)=3sin(tox+@)[€R,a)>0,\(p\<的部分图象如图

所示，则下列说法正确的是()

A./(x)=3sinQx-^)

B-/(T)=T

C.不等式fQ)>|的解集为［6kn+^,6kn+^\kez

D.将f(x)的图象向右平移看个单位长度后所得函数的图象在［6m8可上单调递增

【解题思路】由图象求出/(%)的表达式后逐•验证选项即可.

【解答过程】由函数图象可知，最小正周期为7=4(1-苧)=6n,所以3=署=/

将点管,3)代入/(无)=3sin(tox+(p),得3=3sinx苧+0)，

又M|v］，所以3=与故f(%)=3sinG”+3，故A错误；

所以/•(B)=3sin：=¥，故B错误；

令/(%)?：,则sin(：x+S)N］，所以2kn++弓W2kir+?,kEZ,解得6kir+；WxW6/CTT+手,

4工上J/b05<14OT,T"

k£Z,

所以不等式/(x)>|的解集为卜E+：,6/nr+弓］上£Z,故C正确；

将/(x)=35由d+3的图象向右平移盘个单位长度后，得到/⑴=3sinQx+白的图象，令2而一三

4--^<2/CTT4-pkWZ,

解得6kir-g6%-6/CTT+kGZ>

令A=1得詈4%工等，因为［6R,8TT］0［等,等］,故D错误.

故选：C.

【题型4三角函数图象变换问题】

【例4】(2023•四川甘孜・统考一模)为了得到函数y=sin2x+cos2x的图象，可以将函数y=V^cos2x的图

象()

A.向右平移g个单位长B.向右平移T个单位长

o6

C.向左平娓个单位长D.向左平提个单位长

o6

【解题思路】逆用三角函数的和差公式化简丫=$访2%+852%,再利用三角函数的平移法则即可得解.

【解答过程】因为y=sin2x+cos2x=V2cos(2x一；)=V2cos2-)

则y=&cos2x向右平移^个单位长可以得到y=sin2x+cos2x的图象.

8

故选:A.

【变式4-1］(2023・四川甘孜・统考一模)已知函数外幻=71cos(2x+(p)(A>0,|如Vn)是奇函数，且/(?)=

-1，将/(幻的图象上所有点的横坐标变为原来的5倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数为g(x),则()

A.g(x)=sin4xB.g(x)=sinx

C.g(x)=cos(4x+?D.g(x)=cos(x+

【解题思路】根据题设有w=±]再结合/(弓)=-1求得力=1,最后根据图象平移写出g(x)解析式.

【解答过程】由fCt)是奇函数，则“=碗+£k£Z,又|wl<m可得W=±£

当少/(x)=?lcos(2x+^)=-i4sin(2x),M/(y)=-/Isiny=>4>0,不合题设；

当障=-]/(x)=Acos(2x-^)=i4sin(2x),则f管)=Asi吗=-4=-1,故4=1；

所以/(x)=sin(2x),

将/(%)的图象上所有点的横坐标变为原来的5倍，纵坐标不变，故g(x)=sin(4x).

故选:A.

【变式4-2](2023・四川•校联考模拟预测)函数/'(x)=Asin(Mr+@)(其中4>0,3>0,|@|<9的图象

如图所示，为了得到g(x)=cos2力的图象，则只需将/(%)的图象()

A.向右平移?个单位长度B.向右平移5个单位长度

612

C.向左平移T个单位长度D.向左平移限个单位长度

61Z

【解题思路】根据给定的函数图象，求出/G)的解析式，再逐项判断即得.

【解答过程】由图知，4=1，函数/•(%)的最小正周期丁=4©-》=口，于是3=^=2,

即/Q)=sin(2x+8),显然/(工)二-1,即2X号+8=g+2kn#EZ,

而卜。Ivp则k=0,*=%因此f(x)=Sin(2x+|),

对于A,将/(x)的图象向右平移个单位长度，得旷=sin[2(x-；)+勺=sin2x,

6□3

此函数图象与y=g0)图象不重合，A错误；

对于B,将/1(%)的图象向右平移三个单位长度，得〉=sin[2(x-自+*=sin(2x+,

此函数图象与y=g(x)图象不重合，B错误；

对干C,将/(x)的图象向左平移*个单位长度，得y=sin[2(x+》+g]=sin(2x+g),

此函数图象与y=g(x)图象不重合，C错误；

对于D,将/(%)的图象向左平移祗个单位长度，得、=sin[2(x+巳)+§=sin(2x+/)=cos2x,D正确.

故选：D.

【变式4-3](2023・四川成都・统考二模)将最小正周期为Tt的函数f(x)=2sin(2wx-^)+l(o>>0)的图象

向左平租个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列关于函数g(x)的说法正确的是()

A.对称轴为％=-声:，/CGZB.在[0图内单调递增

C.对称中心为(―2+芸1),kEZD.在他可内最小值为-1

【解题思路】根据周期可得3=1,再通过平移变换可得g(x),然后由正弦函数的对称性、单调性求解即可.

【解答过程】因为f(%)=2sin(2(ox-^)+1(3>0)的最小正后期为IT,

所以羽二口，解得3=1,

则由平移变换可得g(%)=2sin2(x+：)-,+1=2sin(2x+；)+1,

A选项：令2%+；E+而得对称轴方程为x=2+?,k€Z,A错误；

B选项：由一三2x+三拊一工GW*所以g(x)在[。目上单调递增，

由仁2%+三日得巳G工有所以g(均在传曰上单调递减，B错误；

C选项：令2x+g=kir得'=—g+弓，kWZ,所以g(x)的对称口心为(―3l),kEZ,C正确：

D选项：因为g(0)=2sin^+1=V5+l,gQ=-2sin^+1=1-V3,g(0)>g(])，

所以结合B中分析可得g(x)在[。曰内的最小值为gQ)=1-V3,D错误.

故选:C.

【题型5三角函数的单调性问题】

【例5】(2023・青海・校联考模拟预测)下列区间中，函数/(幻=3$而1+9单调递增的区间是()

A.铝)

B（祥）

C.管产)D.(n,2n)

【解题思路】首先求函数的单调递增区间，再根据选项判断.

【解答过程】令2kn-三W'+mW2/rn+工，/c6Z,得2kir-茫WxW2/or+q，keZ,

24244

当4=0时，增区间是卜詈月,当上=1时，增区间是传，外

其中只有管,分是增区间的子集.

故选：C.

【变式5-1](2023上•内蒙古包头•高三校考阶段练习)函数/1(%)=cos(s:+W)的部分图象如图所示，则/(%)

A.,71一：,而+三,kezB.[2后一％2而+和kez

C.卜-3，忆十,，kezD.[2k一：,2k十口，kez

【解题思路】根据图象可得fG)的最小正周期和最小值点，根据余弦型函数的性质分析判断.

【解答过程】设/(%)的最小正周期为T，

可知《=3一：=1,即7=2,

且当％=手=：时，/(X)取到最小值，

由周期性可知：与》=：最近的最大值点为无二：一1=一：，如图所示，

444

所以f(x)的单调递减区间为［2k-；,2k+》kez.

故选：D.

【变式5-2］(2023•山东烟台•统考二模)已知函数/(%)=cos(2x+枢)(0<(p<2n)在［一局上单调递增，

则3的取值范围为()

A.TX<(p<—B.-<(p<—

-4n,)n4TT,,3n

C.—<(P<2TTD.—<(p<—

【解题思路】由x的取值范围求出2x+*的取值范围，结合余弦函数的性质得到不等式组，解得即可.

【解答过程】由不£［—,；］,所以2x+0W［―g+w，B+w］,

又0W0V2m所以

且函数/(外在卜精］上单调递增，

所以2n,解得手工/三¥，即@的取值范围为：工0工?.

---F<Z)>TT3232

I3*

故选：D.

【变式5-3］(2023•四川泸州・统考一模)已知函数/■(£)=25m(3%-9(3>0)在(0,9上存在最值，且在

(g,n)_L单调，则3的取值范围是()

A.(喝B.［词C.居D.借］

【解题思路】利用整体法，结合三角函数图像性质对X£(0,9进行最值分析，对区间X€(g/n)上进行单调

分析：

【解答过程】当0VXV?时，因为3>0,则

36636

因为函数/•(%)在(o,9上存在最值，则詈/冶，解得侬>2,

当空<X<n时，--<6OX—7<neo—7»

336o6

因为函数/'⑺在售同上单调，

则(等一也叫一9C+m(fcEZ),

/2nco-->/CTT—

所以6其中kEZ,解得；k—

TTO)--<kn+

6

所以，一三k+芯解得k号

又因为3>0,则kE{0,1,2}.

当A=0时，0<w<I；

当A=1时，1<<d<I；

当A=2时，|<（o<1.

又因为3>2,因此3的取值范围是住,胃.

故选：C.

【题型6三角函数的周期性、对称性与奇偶性的灵活运用】

【例6】（2023・湖北黄冈・统考模拟预测）已知函数"%）=sin（3x+3）（-]V卬在管需）内单调递减,

%=费是函数f（x）的一条对称轴，且函数y=f（"+录为奇函数，则/管）=（）

A.--B.-1C.-D.—

222

【解题思路】利用止弦型函数的对称性、奇偶性、单调性进行求解即可.

【解答过程】因为函数/（X）在借得）内单调递减，％=费是函数/3的一条对称轴，

I」士7n3TT一1E7n3n_12ni।一c

所以有片一片W5T

ooZooZ|u?|

所以3・军+0=2kTT+wZ）（1）,

82

因为y=/（"+；）=sin（3%+詈+w）是奇函数，

所以詈+0=nur(mWZ)⑵，由⑴一(2)可得：co=4(2/c-m)+2,

而|训42,所以|G|=±2,

当o>=2时，g+9=rmx(mEZ)=w=mn-?(mEZ),

因为—gvgv所以g=

224

即/(%)=sin(2x—；),

当借与时，显然此时函数单调递减，符合题意，

所以fG)=sin(2x^-2)=sin|=y；

当3=-2时，―券+@=mn(mEZ)=0=znn+：(m£Z),

因为-所以0=：，

即/(x)=sin(2x+；),

当管蒋时’2x+；e(n,2n),显然此时函数不是单调递减函数，不符合题意，

故选：D.

【变式6-1］(2023・河南・开封高中校考模拟预测)已知函数/(x)=tanhx+§,则下列说法正确的是()

A.f(x)为奇函数B./(外在区间片君上单调递增

C./(%)图象的一个对称中心为悟,0)D.f(x)的最小正周期为兀

【解题思路】根据正切函数的定义域、对称中心、周期、单调性逐项判断即可得解.

【解答过程】因为f(x)=tan(2%+*所以2%+旨而+］解得％0弓+^k£Z

即函数的定义域不关于原点对称，所以/(切不是奇函数，故A错误；

当％=巳时，2%+：》此时/W无意义，故人幻在区间片马上单调递增不正确，故B错误；

当“巳时，2x+^=p正切函数无意义，故语,0)为函数的一个对称中心，故C正确；

因为/(无+；)=tan［2(x+}+；］=tan(2x+；+TC)=tan(2x+；)=/(x),故］是函数的一个周期，故D错

误.

故选：C.

【变式6-2］(2023•河南新乡•统考三模)已知函数f(x)=COS(G)X+。)(0V3V10,0<cp<n)图象的一个

对称中心是4&,0),点8(0，日)在/•(乃的图象上，下列说法错误的是()

A./(x)=cos(2x+9B.直线x=曰是/'(%)图象的一条对称轴

C.f(x)在［g,詈］上单调递减D./■1+§是奇函数

【解题思路】由八0)二日可得9=%由对称中心力&0)可求得必=2,从而知函数/(%)的解析式，再根据

余弦函数的图象与性质，逐一分析选项即可.

【解答过程】因为点8(0,号)在/⑴的图象上，所以/'(0)=cose=冬又。<9<n，所以0V.

因为图象的一个对称中心是4尊0)，所以『+：=］+—kEZ,

则3=2+84,左£2.又0<3<10,所以3=2,则/'(%)=cos卜工+：),A正确.

f(y)=cosY=0»则直线％=日不是f(x)图象的一条对称轴，B不正确.

当岩］时，+“幻单调递减，C正确.

f('+：)=cos。%+；)=-sin2x,是奇函数，D正确.

故选：B.

【变式6-3］(2023•山东•统考二模)已知函数/'(%)=asin2x4-bcos2x^abH0)的图象关于直线％=?对称，

6

则下列说法正确的是()

A./［一勺是偶函数B./(口的最小正周期为2冗

C./(%)在区间上单调递增D.方程/'(%)=2b在区间［0,2g上有2个实根

【解题思路】利用赋值法可求a,b的关系，从而可得/•a)=2bsin(2x+9,利用公式可判断B的正误，结

合珈勺符号可判断C的正误，结合特例可判断A的正误，求出方程八切=2力在区间。2口］上解后可判断D

的正误.

【解答过程】因为/1(幻的图象关于直线％寸称，故/(0)=/6)，

所以b=asing+bcosg,所以a=V5b,

所以/(x)=\f3bsin2x+bcos2x=2bsin(2x+'),

此时f(9=2bsin(2x>匀=2b,故函数图象关于直线”=利称.

f(Y-J=2bsin(2x—2x4-^|=2bsin(2x—5

令0(%)=f1一9=2bsin(2%-J,

则0(12)=2bsin弓一J=0,而g(—g=2bs\n(一2xJ=-6b工0,

故以幻=/(无一J=2bsin作一J不是偶函数，故A错误.

/(x)的最小正周期为知=口，故B错误.

因为b的正负无法确定，故/(%)在卜的单调性无法确定，故C错误.

令/(幻=2b,xW［0,2记，因2匕H。，则sin卜工+')=!.，

因为xW［0,2ir］,故2%+£w［g,等］,故2x+gT片即％=

oLooJoZZoo

故方程/QO=2b,xe［。,如］共2个不同的解，故D正确.

故选：D.

【题型7三角函数的零点问题】

［例7］(2023•全国•模拟预测)已知函数/(%)=sincox+75cos3X-V2(to>0)在(0,n)内恰有一个零点，

其图象在(0,n)内恰有一条对称轴，则3的取值范围是()

A•隐噂B.信中C.信刁D.总曰

【解题思路】由辅助角公式、化简函数式，然后求得整体的范围，结合正弦函数的零点得出不等关

系，从而得参数范围.

【解答过程】由题意得：/(%)=sino>x+VScoscox-&=2sin(cox+&3)>0).

因为XE(0,TT),所以gV+g<(co+1)11.由/'(x)=0,得sin(3%+g)=?.

因为/(x)在区间(0,n)内恰有一个零点，则3%十日=斗，它的图象在此区间内恰有一条对称轴，

•5T

f^<(a)+r)TT<22!

则+T=3所以-3：'解得34•故A项正确.

K<(®+如斐

故选:A.

【变式7-1］(2023•安徽•芜湖一口校联考模拟预测)已知函数/'(%)=cosIR-2|sinx］,以下结论正确的是

()

A.TT是/■(%)的一个周期B.函数在［o,g］单调递减

C.函数/'(%)的值域为［一遍,1］D.函数/'(')在［一2n,2司内有6个零点

【解题思路】对于A,根据fg+n)工即可判断；对于B,当％e［0,g］将f(x)化简，然后检验即可；

对于C,求出函数求化)在一个周期［0,2TT］的值域,先求当％€［0河,再求当％W的值域即可判断;对于

D,根据函数/(%)为偶函数，可通过区间［0,2可上零点个数从而确定其零点个数.

【解答过程】因为/@+口)工/(3,所以A错误;

当小唱/(%)=cosx-2sinx=V5('cos%--^sinx)=\^5cos(x+(p),其中cosw=熹,sing=专,

不妨令3为锐角,所以己<3<］所以94工+3^^+0,因为g+w>TT,所以B错误：

因为2n是函数/•(%)的一个周期，可取一个周期［0,2可上研究值域，当不£［0,河，

f(x)=cosx-2sinx-V5(+cosx—奈sinx)—V5cos(x4-</>)»(p<x-\-(p<ix-\-(p,所以VScosrr<f(x)<

小cos(p,即/(%)€［-V5,1］；因为/(%)关于%=ir对称,所以当xG时/■(%)G［-x/5,1］,故函数/(x)在

R上的值域为［一遍,1］,故C正确；

因为函数/(%)为偶函数，所以在区间［-2殖2可上零点个数可通过区间［0,2可上零点个数，由〉=5也因，y=

2|cosx|在［0,2句图像知由2个零点，所以在区间［-2n,2n］上零点个数为4个，所以D错误.

故选:C.

【变式7-2］(2023・四川雅安・统考一模)已知函数/'(%)=2COS(MT+@)(co>0且一：<9V；),设T为

函数/Q)的最小正周期，/•(；)=-1,若/(外在区间［0,1］有且只有三个零点，则3的取值范围是()

A•件,等］B.段，宓)C.管卷］D.浮等)

【解题思路】根据题意可确定7为函数/•(%)=285(3%+@)的最小正周期，结合f(9=-l求出"，再根据

f。)在区间［0刀有且只有三个零点，结合余弦函数性质列出不等式，求得答案.

【解答过程】由题意知T为函数/(无)=23(3%+?)的最小正周期，故T吟

由/(：)=-1得2cosc+3)=-1'即cos(]+*)=-p

由于一Tvgv%故W=g

NN6

f(x)在区间［0,1］有同只有三个零点，故3%+*白3+勺，

666

且由于y=cos%在(0,+8)上使得cosx=0的x的值依次为日,…，

故?工3+已<^，解得〈等，即等)，

故选：D.

【变式7-3］(2023•江西•统考模拟预测)已知函数/(%)=\/2sin(6JX+(p)(a)>0)的最小正周期T<%，/(>=

1.m/⑺在支=白处取得最大值.现有下列四个结论:①。皿=%②口的最小值为最③若函数/Xx)在(白,》

1U42NU4

上存在零点，则3的最小值为当；④函数/（%）在（察，关）上一定存在零点.其中结论正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【解题思路】根据给定条件，利用对称性计算判断①；探讨出3值的表达式及范围判断②：对口的取值验证

判断③④即可作答.

【解答过程】因为函数人外在处取得最大值，即函数/（幻的图象关于直线X=2对称，

因此/（0）=/（g）=1,即应sin*=1,解得sin（/）=?,①正确；

因为函数/（%）在x=巳处取得最大值，则巳3+0=2"+6Z,即枢=2/nr+W-WZ,

有sin>=sin（^一卷e）=cos^to=¥，于是=2nir±^,nGZ,

又3>0,7=空V爪，即3>2,因此3=20九+三,〃€N或3二20九一三,九EN*,从而6）min=三，②错误；

co222

当A€Z时,/（%）=V2sin（tdx+2kn+；一4①）=y/2s\n（a）x+^―^co）=V2cos3（%—热），

当3=g时，/（%）=岳0$（）一》由“£（弟》得枭一襄（一：》此时人乃>0,

当3=弓时，/（X）=V2COS（Y%-'）=V2cos（^x+：）,

由XW脸小得齐+各片，等），当片+江河片与朗时,/W=0,

当s=20n±£nWN*时，］二胃工々，而区间或，》长度>3=（>T

即当3=20九土;,716N*时，函数f（%）在（2乡上存在零点，3min=手③正确；

//U4/

当3=泄，/（%）=岳0S（|%-》由％6（詈,詈）得"一江（詈,詈），

显然当=?时，/。）=°，即函数/（%）在（崂，手）上存在零点，

/44uUAO

当3=2072士”wNW,T=而区间（詈，詈）长度空一缪=巳>）,

函数/■（%）在（黑,手）上存在零点，综上得函数/（外在（崂,日）上一定存在零点，④正确,

/UX•94UXO

所以结论正确的个数是3.

故选:C.

【题型8三角函数的图象与性质的综合应用】

【例8】（2023•辽宁辽阳•统考一模）已知函数/'（幻=45皿（3》+§3>0）在611］上单调递减

(1)求3的最大值:

⑵若/(%)的图象关于点传,0)中心对称，且/(外在［一第向上的值域为［-2,4］,求〃］的取值范围.

【解题思路】(1)将&X+T看作整体，再根据正弦型函数的单调性可求得结果；

(2)根据正弦型函数的对称中心及第一问可得/'(X)解析式，再利用正弦型函数的图象与性质可得结果.

【解答过程】(1)由条件知,，T，则+g60+；"3+3］,

《3+”71

由正弦函数的性质可知：,k6Z,a)e\l+12k,-+12k\,keZ

nw+^<y+2/cn16」

又有==0<W<^,

66235

当A=0时，133工；符合题意：

当AN1时，不等式13<3<1+12,舍去，

6

所以3的最大值为:.

O

(2)因为/(%)的图象关于点(g,0)中心对称，所以^3+：=kir(kWZ).

即3=g-€Z),

由(1)得：所以3=弓，则/(X)=4sin(日工+§,

当卜茄，加］时,Vx+7el-?Tm+^

因为f(%)在［-弟m］上的值域为［-2,4］,所以sin(孩x+§€［―；,1»

则三”小+上胃，解得霁工小工引，

zV3bzuq

所以加的取值范围是篇，外

【变式8-1］(2023上•山东泰安・高一校考期末)已知函数/'(%)=sin(2x—§.

(1)求函数/(%)的单调递增区间和最小正周期；

(2)当不£卜*］时，求不等式/lx)对的解集.

⑶求f(x)在区间上，工］上的最大值和最小值.

【解题思路】(1)整体法求出函数单调递增区间，进而利用7=空求出最小正周期；

3

⑵工£卜],卵寸，2x-^G[-y,y],数形结合解不等式，求出解集；

(3)整体法求解函数最值.

【解答过程】(1)令-T+2/HTW2x-TwT+2kn,k£Z,

解得一TZ+ku<x<4-ku,kWZ,

X£•XLa

故函数f(x)的单调递增区间为[—2+/E居+/同，々WZ,

最小正周期为

⑵x十罚时，2.何智,胃

fW>|=>sin(2x->1,

故拉-对wU[消,解得Xe[-=,-f=]U居;

⑶〃叶身时，2A髀■科

由于y=sin£在t£卜黑上单调递增，在日膏上单调递减，

故当即3净寸，fQ)=sin卜9取得最大值，最大值为1,

当&*=一%即3净j，八乃=而卜》—9取得最小值，最小值为一(

故/⑺在区间七君上的最大值为1,最小值为，

【变式8-2](2023上•广东江门•高一校考期末)已知函数/'(%)=Asin(s:+3)(力>0,co>0,\(p\<

图象的相邻两条对称轴的距离是g当％=:时取得最大值2.

N6

(1)求函数/(%)的解析式；

⑵求函数/(X)在区间[。目的最大值和最小值：

(3)若函数g(x)=f(x)-软勺零点为如求cos得一2%0).

【解题思路】⑴根据对称轴可得周期7=蓦=2X；,由最大值可得4=2,再将点%