专题22.1 成比例线段【七大题型】（举一反三）（沪科版）（解析版）

专题22.1成比例线段【七大题型】

【沪科版】

【题型।成比例线段的概念】....................................................................1

【题型2成比例线段的应用】....................................................................3

【题型3比例的证明】..........................................................................5

【题型4利用比例的性质求比值】...............................................................7

【题型5利用比例的性质求参】.................................................................8

【题型6比例的性质在阅读理解中的运用】......................................................10

【题型7黄金分割】...........................................................................13

”。手三

【知识点1成比例线段的概念】

1.比例的项：

在比例式Q：6=C：d（即乌=£）中，。"称为比例外项，b,C称为比例内项.特别地，在比例式=6：C

bd

（即g=2）中，力称为4C的比例中项，满足。2=雨.

bc

2.成比例线段：

四条线段。，b,Cfd中，如果。和b的比等于c和d的比，即乌=£,那么这四条线段小b,c,d

bd

叫做成比例线段，简称比例线段.

【题型1成比例线段的概念】

【例1】（2022秋•南岗区校级月考）不能与2,4,6组成比例式的数是（）

A.gB.3C.8D.12

【分析】利用表示两个比相等的式子，叫做比例式，然后分别求出4、B、。、。选项的比值，即可判断.

【解答】解：4、/2=4：6,故A不符合题意；

B、2：3=4：6,故4不符合题意；

C、2：4#6：8,故C符合题意；

D、2：4=6：12,故。不符合题意；

故选：C.

【变式1・1】（2022秋♦义乌市月考）己知线段。=2,6=6,则它们的比例中项线段为，百一

【分析】由题意线段c是。、b的比例中项，可知/=（而，由此即可解决问题.

【解答】解：•・•线段c是。、〃的比例中项，

.'•（r=abi

b=6,

/.C2=12,

Vc>0,

Ac=2V3,

故答案为：2V3.

【变式1-2]（2022秋•道里区期末）如图，用图中的数据不能组成的比例是（）

A.2：4=1.5：3B.3：1.5=4：2C.2：3=1.5：4D.1.5：2=3：4

【分析】根据对于四条线段。、尻c、4如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比

相等，如（即〃/=/“、），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，进而分别判断即

可.

【解答】解：4、2：4=1：2=1.5：3,能组成比例，错误；

B、3：1.5=2：1=4：2,能组成比例，错误；

C、2：3W1.5：4；不能组成比例,正确；

D、1.5：2=3：4,能组成比例，错误；

故选：C.

【变式1-3]（2022秋•八步区期中）如图所示，有矩形48co和矩形4ECD',AB=ScmtBC=l2cm,AH'

=4皿BC=6cm.则线段Ab,AB,BCBC是成比例线段吗?

Ai---------------------iD

A'-----------,Dr

31--------------lcBf\-------lcr

【分析】求出嘤，器的值判断即可.

ABBC

【解答】解：•••A8=8。"，BC=\2cm,A'B'=4cm,B'C=6m,

.A'Bi1B>O6

...-A->-B->=--B-i-C-i

AHBC

AB,B,C,5c是成比例线段.

【题型2成比例线段的应用】

[ft2]（2022秋•渭滨区期末）己知的三边分别为。一，c,且（a-c）：（。+6）：（c-〃）=-

2：7：1,试判断△?18c的形状.

【分析】设。・c=-23a+b=l,c-b=\,再利用A分别表示出。、b、c,然后利用勾股定理的逆定理

进行判断.

【解答】解：*/（a-c）：（。+〃）：（C-Z?）=-2：7：1,

a-c=-2ka=3k

・•・设a+b=7k,解得b=4k，

c—b=kc=Sk

'：a2+b2=(3k)2+(4k)2=25lc=(5k)2=c^

・•・△ABC为直角三角形,ZC=90°.

【变式2-1]（2022秋•青羊区校圾月考）甲、乙两地的实际距离是400千米，在比例尺为1：500000的地

图上，甲乙两地的距离是（）

A.0.8c/nB.8cmC.80c/nD.800cm.

【分析】设地图上，甲乙两地的距离是xcm，根据比例尺的定理列出方程，解之可得.

【解答】解：设地图上，甲乙两地的距离是XC〃1,

根据题意，得：』=焉

解得：x=80,

即地图上，甲乙两地的距离是805?,

故选：C.

【变式2-2]（2022秋•杜尔伯特县期末）一个班有30名学生，男、女生人数的比可能是（）

A.3：2B.1：3C.4：5D.3：1

【分析1根据人数必须是整数，所以男、女生人数占的总分数必须能被30整除，然后进行计算即可解答.

【解答】解：A、30+（3i2）=6,能得出整数的结果，故工符合题意;

【知识点2比例的性质】

比例的性质示例剖析

(1)基本性质：—ad=bc(bd工0)冷=3x=2y

bd

（2）反比性质：仁三0?=色触以于0）xy23

-=7<=>-=-200)

bdac23xy

,一、Hit3Hacab4

(3)更比性质：7=~;0一=:或

baca；=；=±=^或)=；8心0)

23y3X2

—=—(abed0)

ba

,Ait”-aca+bc+d人i小x2x+y2+3,小

(4)合比性质：-=-<=>——=——(bd^O)广广I3("。)

baba

（5）分比性质：;=二0?=三《（拉7*。）心=3卫（田）

bdhdx2x2

,八人八"3Haca+bc+d

(6)合分比性质：-=-<=>--=-一-x2x+y2+3

baa-bc-d_0-(yW0,f)

y3x—y2—3

(bd*0,a#b、c*d)

(7)等比性质：

234

已知--，则当x+y+z/O时，

—=—=•••=—(Z>+tZd---xyz

bdn2342+3+4

a+c+-+ma.,八、

zz>----------=一(zb+d+L¥+7!#0)xyzx+y+z*

》+"•••+〃h

【题型3比例的证明】

【例3】（2022秋•汝州市校级月考）已知线段小b,c,d（b乎dWO）,如果W=：=M求证：W=器.

bdb-db+d

【分析】根据比例线段的性质证明即可.

【解答】证明：由三二：=3

ba

可得：a=bk,c=dk,

把。=从，c=dk代入会=咚¥=匕

b-db-d

bk+dk

把a=bk,c=dk代入鬻==k,

b+d

可得:a-c_a+c

b-db+d

【变式3-1］（2022春♦江阴市期中）如图，点B,C在线段A。上，且"：BC=AD：CD,求证：2+士=工

ABADAC

BCD

AC-ABAD-AC

【分析】由已知条件得到*弟即,两边同除以AC,即可得到结论.

ABAD

【解答】证明：•嘿=笫

谭吟，即AC-ABAD-AC

ABAD

"T=1一生

ABAD

•_L—=—

**AB+ADAC

【变式3-2］（2022秋•秦都区校级期中）己知：如图，点。为三角形ABC内部的任意一点，连接人。并延

长交4c于点Q.

SAABO_S&ACO

证明：（1）(2)S“B。_££

SABODSRCODSAACOCD'

SAAB。_AO受殁二由此即可解决问题.

【分析】（1）由等高模型可知:OD2,

SABO。S&COD0D

（2）利用等高模型以及比例的性质即可解决问题.

•S&ABO_丝S“cO_"

【解答】证明：（1）•・'

SdBQDODSACODOD

・SMB。_s“c。

S^BODSA。。。

(2),•SAABD_SaOBD_BP

SAADCS4ODCCD'

•SAABD-SAOBD_go

SbADC-S^ODCCD，

・SAAB。_BD

CD

SAAC。

【变式3-3】（2022秋•岳阳县期中）若a,b,c,d是非零实数且户?求证就=舞・

【分析】由于(/+/)(b2+d2)=。2"+/方2+〃232+//，(al^cd')(ab+cd)=次/+2a加d+c",根据比

例的基本性质得到ad=〃c,可得（a2+（r）（h2+d2）=Cab+cd'）（ab+cd）,从而得证.

【解答】证明：.*=（

••(id—be9

*/(fl2+c2)(b2+(P)—fl2/>2+C2/？2+fl2672+C2J2,

(ah+cd)(ab+cd)=a2b2+2abcd+(rd2,

\,2abcd=(rb2+a2d2

/.(cr+(r)(b2+d2)=(ab+cd)(ab+cd),

.a2+c2_ab+cd

ab+cdb2+d2"

【题型4利用比例的性质求比值】

【例4】(2022秋•炎陵县期末)已知S="则?=4.

【分析】根据吕=],可得噤=：,再根据比例的性质即可求解.

3a-b42b3

【解答】解：•••£=:,

3a-b4

•3a-b_4

=3f

...-3a----1=4

2b23

■.•一a_11_.

b9

故答案为：Y-

【变式4-1](2022春•霍邱县期末)若厘=J,那么”勺值等于()

a4a

A.-B.-C.--D.--

5454

【分析】把巴士=：化成1-2=1即可求出2的值.

a4a4a

【解答】解：•・・匕2=；,

a4

・b1

a4

故选:B.

【变式4-2](2022春•沙坪坝区校级期末)若？=：=9=；且人-2d+3尸0,则冷普的值为()

baf3o-2a+3/

A.—B.—C.—D.—

6326

【分析】先利用分式的基本性质得到m=w=然后根据等比性质解决问题.

b-2d3/3

【解答】解：安=

baJ3

••=a-----2c=-3e=",1

b-2d3/3

而。-24+尹0

•..Q...-.2..c..+..3.e—_1

b-2d+3f-3*

故选：B.

【变式4-3］（2022春•栖霞市期末）下列结论中，错误的是（）

A•若:=或则那

B•若等哼贝哈=［

C・花吟甘（人”0）,咯*

D.若三=三，则。=3,6=4

b4

【分析】分别利用比例的基本性质分析得出答案.

【解答】解：A、若则£=£正确,不合题意;

B、若?=；,则6（〃・。）=b,故.6a=7b,则E=g正确，不合题意；

b6b6

c、若E=：=|（〃-dxo），则三正确，不合题意；

ba3b-a3

D、若£=£无法得出小〃的值，故此选项错误，符合题意.

故选：。.

【题型5利用比例的性质求参】

【例5】（2022秋•蜀山区校级期中）已知："二比=上4，则4=2或-1

xyz----------------

【分析】能够根据比例的基本性质熟练进行比例式和等积式的互相转换.

【解答】解：此题要分情况考虑：

当X+V+Z卢（）时，则根据比例的等比性质，得仁2x+2y+2z=2：

,x+y+z

当x+y+z=O时，即x+y=-z,则女=-1,故填2或-1.

【变式5-1］（2022秋•灌云县期末）已知且/）=24.则工的值是（）

A.15B.9C.5D.3

【分析】设;气二%，根据比例的性质求出x=3A,），=5&,根据x+），=24得出弘+54=24,求出2，再求

出x即可.

【解答】解：设冷=1则户33），=5亿

•・3+），=24.

・・・3%+5々=24,

解得：k=3,

...x=3X3=9,

故选:B.

【变式5-2］（2022秋•高州市期中）已知？=5=g且3y=2z+6,求x,y的值.

3561

【分析】由若"可设：=!=这样用&分别表示x、y、Z,即工=3〃，y=5&,z=6k,再利

356356

.用3y=2z+6,可得到关于k的方程，解方程得到k的值，从而可确定x的值.

【解答】解：设：

则x=3A,y=5k,z=6k,

V3y=2z+6,

，3X5A=2X6A:+6,

解得：2=2,

；・x=3&=6,y=5Z=10.

【变式5-3］（2022•雨城区校级开学）我们知道：若2=7且HdWO,那么?=5=分.

bdbdb+d

（l）若b+d=O,那么4、C满足什么关系？

（2）若管=等=?=3求产・L2的值.

【分析】（1）根据比例的性质即可得到结果；

（2）根据比例的性质求得/的值，把/的值代入代数式即可得到结论.

【解答】解：（1）・・==：,从d=0,

ba

.*.a+c=O；

（2）①当/方+cH0时，叱="£=健="侬"£1=2,

abca+b+c

Ar2-r-2=2-2-2=0,

②当a+b+c=（）时，b+c=-a,a+c=-b,a+b=-c,

.b+ca+ca+b-,

..----=-----=-----=t=­],

abc

Ar2-r-2=0.

【题型6比例的性质在阅读理解中的运用】

【例6】（2022秋•渝中区期末）阅读理解：

已知：a,b,c,d都是不为0的数，且三=，求证：牛=蜉.

bdbd

证明：•・9=：,

ba

Y+5+L

ba

•a+bc+d

•■----=-----.

bd

根据以上方法，解答下列问题：

（1）若户以求管的值；

（2）若2=5,且cWd,证明工="J.

bda+bc+d

【分析】（1）把要求的式子化成华=2+1，再进行计算即可得出答案；

DD

（2）根据比例的性质得出?=与^,噂=等，再分别相除即可得出答案.

bdbd

【解答】解：（1）•一=：,

b5

•Q+ba38

•=丁+1=-+1=--

•a-bc-d

.,a+bc+d

t-=-f

•a-b.a+b_c-d.c+d

bbdd

.a-bc-d

••-------•

a+bc+d

【变式6-1】阅读材料:

己知g=?=：工0,求也干的值.

346x-y+z

解：设g=（&W0）,则x=3Z,y=4匕z=6k.（第一步）

.x+y-z_3k+4k-6k_k_1（筌—中）

**x-y+z3k-4k+6k5k5，'''

（1）回答下列问题：

①第一步运用了等式的基本性质,

②第二步的解题过程运用了代入消元的方法,

由士得捌用了分式的基本性质.

（2）模仿材料解题：

已知x：y：z=2：3：4,求乎|-的值.

'x-1y+3z

【分析】（1）利用等式的基本性质，代入消元法，分式的基本性质，即可解答:

（2）仿照例题的思路，进行计算即可解答.

【解答】解：（1）①第一步运用了等式的基本性质，

②第二步的解题过程运用了代入消元的方法，

由卷得;利用了分式的基本性质，

故答案为：等式，代入消元，分式；

（2）Vx：>-：z=2：3：4,

・二设x=2亿y=3k,z=4匕

.x+y+z_2k+3k+4k

**x-2y+3zi2k-6k+12k

_9k

-8k

_9

-8,

【变式6-2］（2022秋•椒江区校级月考）阅读下列解题过程，然后解题：

题目：已知<=3二上（〃、力、c•互不相等），求x+y+z的值.

解：设-^=4=二=匕则x=A（a-b）,y=k（b-c）,z=k（c-a）,

a-bb-cc-a/

.*.x+y+z=k（a-b+b-c+c-a）=A♦0=0,/..r+}M-z=0.

依照上述方法解答下列问题：

(a+b)(b+c)(c+a)的值.

【分析】设"仁="胖二*利用比例的性质得至Ua+〃-。=依，a-b+c=kb,-a+b+c=ka,

cba

将三式相加可以求得左=1,所以利用等量代换和约分可以求得所求代数式的值.

【解答】解：设丝匕

所以a+b-c=kc®,

a-b+c=kb®,

-a+b+c=ka③,

由①+②+③，得

a+b+c=k(a+b+c).

•・・a+〃+cWO,

a+b=2c,b+c=2a,c+a=2b.

.(a+b)(b+c)(c+a)_2cx2ax2b_

••—1—oQ.

【变式6-3］（2022春•鼓楼区校级期中）阅读下面的解题过程，然后解题：

题目：己知七二」=3（〃、仄c•互相不相等），求卢广z的值.

a-bb-cc-a

解：设a-bb-cc-a=k,贝J人=&（a-。），y=k（〃-c）>z=&（c-a）「是，人+y+z=&（.a-b+b-

c+c-a）=K0=0,

依照上述方法解答下列问题：已知：上=色=上（x+），+zW0）,求工^的值.

xyzx+y+z

【分析】设手=养=中=%,根据比例的性质得到x=y=z,计算即可.

【解答】解：设士=把=也=2,

xyz

则y+z=xk,z+x=yk,x+y=zk.

/.2(x+y+z)=k(x+y+z)，

解得,2=2,

.\y+z=2x,z+x=2y,x+y=2z,

解得，x=y=z,

则工

【知识点3黄金分割】

如图，若线段A8上一点C,把线段A8分成两条线段AC和3C（AC>8。），且使AC是A8和

的比例中项（即AC2=A&8C）,则称线段A3被点C黄金分割，点C叫线段A3的黄金分割点，其中

4。=吏」48^0.61848,=三&AB=0.382AB,AC与AB的比叫做黄金比.（注意：对于线段

22

而言，黄金分割点有两个.）

【题型7黄金分割】

【例7】（2022•青羊区校级模拟）如图，点R是正方形的边上线段43的黄金分割点，且AR>

RB,$表示以AR为边长的正方形面积：S2表示以8。为长，BR为宽的矩形的面积，S3表示正方形除去

Si，S2剩余的面积，则与：S2的值为1.

【分析】设根据黄金比值用。表示出AK3R,根据矩形的面积公式计算，得到答案.

【解答】解：设A3=a,

•・•点农是边A8边上的黄金分割点，AR>RB,

/.AR=与±48=a,

2些2三

则BR=AB-AR=a-^-a=手a,

22

12

/.5i：52=（4a）：ax^-a=1,

故答案为：1.

【变式7-1]（2022秋•杨浦区期末）已知点。是线段4〃上的一点，线段40是总和AA的比例中项，下

列结论中，正确的是（）

.PBVs+lnPByfs+lAP\/5-1、APV5-1

A.—=---B.—=---—=---D.—=---

AP2AB2AB2PB2

【分析】根据黄金分割的定义判断即可.

【解答】解：•••点尸是线段4B上的一点，线段AP是PB和AB的比例中项,

：.AP2=PB^AB,

.••点P是AB的黄金分割点，

.AP_aT

•*~AB-2

故选：C.

【变式7-2］（2022秋•江都区校级月考）已知，点。是线段AB的黄金分割点，若AO>8D.

（1）若AB=10cm,则AD=（5V5-5）cm；

（2）如图，请用尺规作出以A3为腰的黄金三角形A8C；

（3）证明你画出的三角形是黄金三角形.

AD