专题15 有理数的乘方【十大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）

专题L5有理数的乘方【十大题型】

【人教版】

【题型।有理数乘方的概念】....................................................................1

【题型2乘方的运算】..........................................................................3

【题型3偶次乘方的非负性】...................................................................4

【题型4含乘方的混合运算】....................................................................6

【题型5含乘方的程序图运算】.................................................................8

【题型6含乘方的数字及图形规律问题】.........................................................10

【题型7乘方的应用规律】.....................................................................12

【题型8乘方应用中的新定义何题】............................................................13

【题型9科学记数法的表示】...................................................................17

【题型10近似数的表示】.......................................................................18

。。露声一火三

【知识点1有理数乘方的概念】

求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做累.

即有:。。.在中，。叫做底数，n叫做指数.

【题型1有理数乘方的概念】

【例I】(2022•河北模拟)(—，尸表示的意义是()

A.(-^)x(-1)x(-1)B.(_}+(_”(一j

C(-Dx(-i)x(-i)D(T)

3•3x3x3

【分析】根据乘方的意义即可得出结果.

【解答】解：・・・(-93表示3个(一：)相乘，

JJ

，(—，)3表不的意义是(—X(―^)X(―^),

故选：A.

【变式1-1](2022•博湖县校级期中)写成乘方的形式一弓)4,_：x(―：)X(―》

4444—'4，-4+4

X（-^）写成乘方的形式是（一》4.

【分析】根据有理数的乘方解决此题.

【解答】解：根据有理数的乘方，—[x：x；x：=—（；），：—x（―；）X（―；）X（―：）=（—~）4,

4444444444

故答案为：.（沪（一.4

【变式1-2]（2022秋•泾阳县期中）下列说法中，正确的是（）

A.23表示2X3

B.-「°读作“7的10次幕”

C.（7）2中-5是底数，2是指数

D.2X32的底数是2X3

【分析】根据事的意义，底数和指数的定义即可得出答案.

【解答】解：A选项，23表示3个2相乘，故该选项不符合题意；

B选项，・『°读作"1的10次累的相反数”，故该选项不符合题意；

C选项，（-5）2中-5是底数，2是指数，故该选项符合题意；

D选项，2X3z的底数是3,故该选项符合题意；

故选：C.

【变式1-3]（2022秋•顺平县期中）将箸T写成塞的形式，正确的是（)

2m2m

A球C"常"5

【分析】根据有理数的乘方解答即可.

m个2

【解答】解：将等T写成篇的形式为：当

3+3+.+33n

“3

故选:故

【知识点2有理数乘方的运算】

（1）正数的任何次嘉都是正数；

（2）负数的奇次第是负数，负数的偶次第是正数；

（3）0的任何正整数次幕都是0;

（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定骞的符号，然后再计算累的绝对值.

【题型2乘方的运算】

【例2】（2022春•宝山区校级月考）下列各对数中，数值相等的是（）

A.-28与（-2）8B.（-3）7与-37

C.-3X23与-33X2D.-（-2尸与-（-3）2

【分析】根据有理数的乘方和乘法分别计算各选项中的数即可得出答案.

【解答】解：A选项，・28<0,（-2）8>0,故该选项不符合题意：

B选项，（-3）7=-37，故该选项符合题意；

C选项，-3X23=-3X8=-24,-3咏2=-27X2=-54,故该选项不符合题意；

D选项，-（-2尸=-（-8）=8,-（-3）2=-9,故该选项不符合题意；

故选：B.

【变式2-1]（2022秋•玉门市期末）下列各组数中，数值相等。勺是（）

A.3?和23B.-23和（-2）3

C.-|21和|-21D.-3?和（-3）2

【分析】根据有理数的乘方及绝对值的运算将四个选项中各数计算出来，再进行比较即可得出结论.

【解答】解:A、V32=9,23=8,

/.32^23；

B、V-23=-8,（-2）3=-8,

:.-23=（-2）3；

C、V-|2?|=-8,I-23|=8,

・•・T2甘|-23|；

D、V-32=-9,（-3）2=9,

:.-32^（-3）2.

故选：B.

【变式2-2]（2022•深水具期末）设〃是自然数，则39上的值为（）

【变式3-1］（2022春•吉州区期末）已知：（4-2）2+|2八1|=（）,则。2。2”2022的值为_1

【分析】根据偶次方的非负性以及绝对值的非负性求得。与儿再代入/必・护。22求值.

【解答】解：•・•（4-2）220,\2b-1|>0,

・••当（。-2）2+|20-1|=0,贝Ija-2=O,2b-1=0.

・32,b=\-

a2O21.^2O22_22021x（工）2022-1

故答案为:

【变式3-2］（2022•衡水期中）对于|a-1|-3及-（H3）2+2,佳佳和音音提出了两个观点

佳佳的观点：|a-11-3有最小值，最小值为3

音音的观点：-（力+3）2+2有最大值，最大值为2

对于以上观点，则（）

A.佳佳和音音均正确B.佳佳正确，音音不正确

C.佳佳不正确，音音正确D.佳佳和音音均不正确

【分析】根据有理数的平方、绝对值的定义解答即可.

【解答】解：因为|a-"20,

所以I4-1|-3有最小值,最小值为-3；

因为33）22o,

所以・（H3）2^0,

所以・（Z?+3）?+2有最大值，最大值为2,

所以佳佳不正确，音音正确，

故选：C.

【变式3-3］（2022•蓬溪县期中）若。有理数，下列判断：

①/+31）2总是正数；②。2+/+|总是正数；

③9+（a-〃）2的最小值为9；@1-（"+1）2的最大值是0

其中错误的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】直接利用偶次方的性质分别分析得出答案.

【解答】解；①（加1）2总是非负数，故此选错误；

②片+从+1总是正数，正确；

③9+(a-b)2的最小值为9,正确；

©1-(岫+1)2的最大值是],故此选项错误.

故选:B.

【知识点4含乘方的混合运算】

有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做

括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.

【题型4含乘方的混合运算】

【例4】(2022秋•沂水县期中)(1)计算：

①(3X5)2与32X52；

®[(-2)X3F与(・2)2X32；

@[(-3)X(-4)F与(-3)2X(-4)2：

(2)根据以上计算结果猜想：(ab)2,(,小)3分别等于什么？(直接写出结果)

(3)猜想与验证：当〃为正整数时，(,山)〃等于什么？请你利用乘方的意义说明理由.

(4)利用上述结论,求(-8)2⑼X0.1252022的值.

【分析】(1)根据积的乘方的计算法则进行计算即可；

(2)根据(1)的计算结果，类推得出答案；

(3)利用乘方的意义进行计算即可；

(4)应用上述结论,将原式化为(-8X0.125)2。2»0/25即可.

【解答】解：(1)①(3X5)2=152=225,32X52=9X25=225：

②】(-2)义3尸=(-6)2=36,(-2)2X32=4X9=36；

③•"(-3)X(-4)]2=122=144,(-3)2X(-4)2=9X16=144,

：.[(-3)X(-4)]2=(-3)2X(-4)2；

(2)(ab)2=a2b2,(.ab)3=a3by；

(3)(ab)

理由如下：

n个

(ab)"=(ab)(ab)•••(ah')

n个n

=a•a…axb•b…b

="仿〃；

(4)原式=(-8)2O2,X0.1252O2IX0.125

=(-8X0.125)2021X0.125

=(-I)202,X0.125

=-0.125.

【变式4-1](2022春•杨浦区校级期末)计算：16+(-2|)2-(一9、：一1.75.

【分析】先计算乘方和后面的乘法，再将除法转化为乘法，继而计算乘法，最后计算加减即可.

【解答】解:原式=16+?+g—：

“9,17

=16x^+n-;

=一9十,-1---7

4124

27,121

=--4--------------

121212

7

-12'

【变式4-2](2022•庆阳期末)计算：一32+：、[2+(-2)3]-3+(-3.

【分析】根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题.

【解答】解：-3?+：x[2+(-2)3]—3+(-令

=-9+；x[2+(-8))-3X(-4)

=-9+；x(-6)+12

3

=-9+(-4)+12

=-1.

【变式4-3](2022•越城区校级月考)计算：324-(-22)X(-1^)+(-5)6X(-^)3

425

【分析】先算乘方，再算除法和乘法，最后算加减即可.；

【解答】解：原式=32+(-4)X(--)+(-1)

4

=10-1

=9.

【题型5含乘方的程序图运算】

【例5】（2022春•承德期末）根据图所示的程序计算，若输入x的值为2,则输出y的值为二：若输

入x的值为-1,则输出y的值为4.

【分析】将x=2和x=-l分别代入，别判断计算结果是否大于0,即可得答案.

【解答】解：输入x的值为2,输出），的值为22X2-4=4X2-4=8-4=4；

若输入X的值为-1，（-1）2X2-4=-2,

-2<0,

:.（.-2）2义2-4=4,

・•・输入x的值为-1,输出y的值为4,

故答案为：4,4.

【变式5-1］（2022•海州区期中）如图是一个数值运算程序，当输入的值为-3时，则输出的值为

【分析】由题意可得其运算程序为：-5f+2,再把相应的值代入运算即可.

【解答】解：由题意得其运算程序为：・5/+2,

当x=-3时，有：

-5X（-3）2+2

=-5X9+2

=-45+2

=-43.

故答案为：-43.

【变式5-2］（2022秋•胶州市期末）小方利用计算机设计了•个计算程序，输入和输出的数据如表:

输入•••12345•••

输出•••1234S•••

I5w7726

那么，当输入数据为8时，输出的数据为2.

【分析】根据题意找出一般性规律，写出即可.

【解答】解：根据题意得：当输入的数据是〃时，输出的数据为品，

则当输入的数据是8时，输出H勺数据为盘=盘，

8+165

故答案为:捺

【变式5-3］（2022•和平区期中）按如图所示的程序进行计算，如果把第一次输入的数是18；而结果不大

于100时，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求为止，则最后输出的结果为（）

A.72B.144C.288D.576

【分析】把18输入程序中计算，依此类推，结果大于100输出即可.

【解答】解：把18输入得：18X|_：|:L0)2]

=18x-4-(—-)

24

=-36<IOO,

把-36输入得：-36X|-1|4-[-(1)2]

=-36x-4-(--)

24

=72<100,

把72输入得：72X|-l|-r[-(i)2]

=72x--r(--)

24

=-144<100,

把-144输入得：-144X|-g?[-（1）2]

=-144x-4-（--）

24

=288>100,

则输出的数字为288.

故选：C.

【题型6含乘方的数字及图形规律问题】

[例6]（2022•呼伦贝尔）观察下列算式：2'=2,2?=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28

=256,…通过观察，用所发现的规律确定2"的个位数字是」

【分析】首先观察可得规律：2"的个位数字每4次--循环，又由15+4=3…3,即可求得答案.

【解答】解：观察可得规律：2”的个位数字每4次一循环，

•••15+4=3…3,

・・・2i‘的个位数字是8.

故答案为:8.

【变式6-1]（2022•黔东南州模拟）在数学兴趣小组活动中，小明为了求：+5+《+《+…+5的值，在

22/2-2，2n

边长为1的正方形中，设计了如图所示的几何图形.贝%+9+4+5+・一+2的值为」一！_（结果用

乙乙乙乙乙L

〃表示）.

【分析】根据图中可知正方形的面积依次为5全,…表.根据组合图形的面积计算可得.

【解答】解：.+■+[+[+…+芯=1一条.

答:抒>尹力…+*的值为1-亲

故答案为：1一募.

【变式6-2]（2020•莫旗一模）“数形结合”是一种重要的数学思维，观察下面的图形和算式:

1=1=]2

1+3=4=22

1+3+5=9=32

1+3+5+7=16=4?

1+3+5+7+9=25=52

解答下列问题：请用上面得到的规律计算：1+3+5+7+……+101=()

A.2601B.2501C.2400D.2419

【分析】观察图形和算式可得规律1+3+5+…+(2〃-1)=〃2,得2〃-1=101,解得〃=51,进而可得结

果.

【解答】解：观察下面的图形和算式：

1=1=12

1+3=4=22

1+3+5=9=32

1+3+5+7=16=42

1+3+5+7+9=25=52

发现规律：1+3+5+…+(2n-1)=/

V2n-1=101,

解得72=51,

/.1+3+5+7+...+101=512=2601.

故选：A.

【变式6-3](2022•亭湖区校级月考)观察下面的等式：

3272=8=8x1；

52-32=16=8X2：

72-52=24=8X3；

92-72=32=8X4

•••

(1)请写出第5个等式：

(2)通过观察，你能发现什么规律？猜想并写出第〃个等式：

（3）请利用上述规律计算10»・992的值.

【分析】（1）仿照已知等式确定出第5个等式即可；

（2）归纳总结得到一般性规律，写出第〃个等式即可：

（3）根据上述规律确定出原式的值即可.

【解答】解：（1）ll2-92=40=8X5；

（2）（2H+I）2-（2〃-1）2=8〃；

（3）根据题中的规律得：原式=8X50=400.

【题型7乘方的应用规律】

【例7】（2022秋•下城区校级期中）某种细胞开始有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2个小时后

分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去1个，按此规律，6小时后存活的个数是65个,

经过〃个小时后，细胞存活的个数为（2”+1）个（结果用含〃的代数式表示）.

【分析】根据细胞分裂过程，妇纳总结得到一般性规律，即可得到结果.

【解答】解：根据题意得：按此规律，6小时后存活的个数是26+1=65个，经过〃个小时后，细胞存活

的个数为（2"+1）个.

故答案为:65；（2"+答.

【变式7-1]（2022•雁塔区校级期中）I米长的木棒，第I次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此

截下去，第8次后剩下的木棒长度是（）米

A.—B.—C.—D.—

128128256256

【分析】根据有理数的乘方的定义列式计算即可得解•.

【解答】解：由题意得，第8次后剩下的木棒的长度是（；）8=点.

故选：O.

【变式7-2]（2022•黔东南州模拟）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一

起拉伸，再捏合、拉伸，反复多次，就能拉成许多细面条.如图所示：

（1）经过第3次捏合后，可以拉出根细面条;

（2）到第5次捏合后可拉出32根细面条.

【分析】（1）根据图片信息，可以总结出规律，进而得出答案;

（2）根据25=32,知道第5次捏合后可拉出32根细面条.

【解答】解：（1）第-次，可以拉出2根细面条，

第二次，可以拉出22根细面条，

第三次，可以拉出2?根细面条，

・••第〃次，可以拉出2”根细面条，

故答案为：8；

（2）V25=32,

・••第5次捏合后可拉出32根细面条，

故答案为：5.

【变式7-3]（2022秋•仪征市期中）看过《西游记》的同学•定很喜欢孙悟空，孙悟空的金箍棒能随意伸

缩.假设它最短时只有1厘米，第1次变化后变成3厘米，第2次变化后变成9厘米，第3次变化后变

成27厘米…照此规律变化下大，到第5次变化后金箍棒的K度是2.43米.

【分析】根据题意，每变化1次，长度扩大到原来的3倍，在第3次的基础上，扩大两次即可.

【解答】解：根据题意得：

第5次变化后金箍棒的长度为：27X3X3=243（厘米）=2.43（米），

故答案为:2.43.

【题型8乘方应用中的新定义问题】

【例8】（2022•新化县模拟）定义：若1O'=N,则x=logi（）N,x称为以10为底的N的对数，简记为/gN,

其满足运算法则：lgM+lgN=lg（M・N）（M>0,N>0）.例如：因为1（）2=100,所以2=/gl00,亦即

.^100=2；伙4+/g3=/gl2.根据上述定义和运算法则，计算（42）2+々2•/姬+女5的结果为]

【分析】根据对数的定义和运算法则化简即可得出答案.

【解答】解：原式=/g2（妒+收5）+Ig5

=卜2义心10+卜5

=lg2+lg5

=及1。

=1.

故答案为：1.

【变式8-1]（2022•梁溪区期末）定义一种对正整数〃的“F”运算：①当〃为奇数时，结果为3〃+1；②

当〃为偶数时，结果为金（其中k是使义为奇数的正整数），并且运算可以重复:进行，例如，取〃=25

时，运算过程如图.若〃=34,则第2022次“F运算”的结果是()

A.16B.5C.4D.1

【分析】按新定义的运算法则，分别计算出当〃=34时，第一、二、三、四、五、六、七、八、九次运

算的结果，发现循环规律即可解答.

【解答】解：由题意可知，当〃=34时，历次运算的结果是：

417,3X17+1=52,1=13,13X3+1=40,1=5,3X5+1=16,1=1,3X1+1=4,蠢=1

故17f52fl3f40f5f16-1-4fl…，即从第七次开始1和4出现循环，偶数次为4,奇数次为1,

・•・当〃=34,第2022次“户运算”的结果是4.

故选：C.

【变式8-2］(2022•顺城区校级月考)［概念学习］

规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方，如2+2+2,(-3)+「3)+(-

3)+(-3)等.类比有理数的乘方，我们把2・2+2记作誉，读作“2的圈3次方”，(-3)4-(-

3)4-(-3)-r(-3)记作(-3)④，读作“-3的圈4次方”,一般地，把Q+Q+Q+…+Q(aKO)

c个a

记作。©,读作“。的圈。次方”.

(1)［初步探究］直接写出“算结果：3为=_；_；(一，⑤=-8；

(2)关于除方，下列说法错误的是C；

A.任何非零数的圈2次方都等于1：

B.对于任何正整数〃，产=1：

C.3④=4%

D.负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数.

(3)［深入思考］我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有

理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？

I.试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成事的形式，(・3)一(；)2；5®=⑸

•5O

II.想一想：将一个非零有理数〃的圈〃次方写成基的形式等于/=(-)/r2;

a

III.算一算:(-j)0+(-2;®-(-»⑥+33.

【分析】【概念学习】

(1)分别按公式进行计算即可；

(2)根据定义依次判定即可；

【深入思考】

(3)I.把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果；

II.结果前两个数相除为1,第三个数及后面的数变为二则4®=〃Xd)

aa

III.将第二问的规律代入计算，注意运算顺序.

【解答】解：【概念学习】

(1)3@=3+3+3=[

3

(--)@=(--)+(--)-T(--)-T(--)+(--)=-8.

222222

故答案为：p-8；

(2)A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于I；所以选项A正确；

B、因为多少个I相除都是1,所以对于任何正整数〃，产都等于1；所以选项8正确；

C、3④=3+3+3+3=±4③=4+4+4=二，则3④K4③；所以选项。错误；

94

D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负

数相除，则结果是正数.所以选项。正确；

本题选择说法错误的，故选G

(3)【深入思考】

I.(-3)④=(-3)・(-3)・(-3)・(-3)=中2，

5⑥=5+5+5・5+5+5=(1)4：

故答案为：(；)2;(，4;

II.d&,=(-)"3

a

故答案为：(3"3

a

III.(--)④+(-2)⑤-(--)⑥+33.

33

=(-3)2+(-2)3-(-3)4-r33

=9+(-8)-81・27

=1-3

=-2.

【变式8-3](2U22•花溪区一模)在新型冠状病毒防控战“疫”中，花溪裕筑花园小区利用如图①的建立

了一个身份识别系统，图②是某个业主的识别图案，灰色小正方形表示I,白色小正方形表示0,将第一

行数字从左到右依次记为小h,c,d算式〃X23+hX22+cX24dX2°的运算结果为该业主所居住房子的

栋数号.例如，图②第一行数字从左到右依次为0,1,0,1,通过计算得0X23+1X22+OX2】+1X2°=5,

即可知该业主为5栋住户，小敏家住在11株，则表示他家的识别图案是()

图①图②

C.D.

【分析】找出a，b,c,d的值，再根据公式计算即可得出结论

【解答】解：A.第一行数字从左到右依次为1,0,0,I,通过计算得IX23+0X22+0X21+1X2°=9,即

可知该业主为9栋住户，此选项不符合题意；

B.第一行数字从左到右依次为1,0,1,1,通过计算得1X23+0X22+1X201X2°=II,即可知该业主

为11栋住户，此选项符合题意；

C.第一行数字从左到右依次为0,1,0,1,通过计算得0X23+1X22+0X21+1X20=5,即可知该业主

为5栋住户，此选项不符合题意；

D.第一行数字从左到右依次为1,I,0,1,通过计算得1X23+1X22+0X241X20=13,即可知该业主

为13林住户，此选项符合题意；

故选：B.

【知识点5科学记数法的表示】

(1)科学记数法：把一个大于10的数记成axion的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，

这种记数法叫做科学记数法.【科学记数法形式：axlO%其中WaVlO,n为正整数.】

(2)规律方法总结：

①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此

规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n.

②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是

前面多一个负号.

【题型9科学记数法的表示】

【例9】(2022・Id照)全民免费接种新冠病毒疫苗是党中央、国务院作出的重大决策部署，通过接种疫苗,

让更多人获得免疫力，尽早形成人群免疫屏障，截至2022年5月20日，全国31个省(自治区、直辖市)

和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗336905万剂次.数据336905万用科学记数法表示为

()

A.().336905X1()1°B.3.36905X1O10

C.3.36905X109D.33.6905X109

【分析】科学记数法的表示形式为aXIO〃的形式，其中1W|Q|V10,为整数.确定”的值时，要看把

原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时，〃

是正数；当原数的绝对值VI时，〃是负数.

【解答】解：33690577=3369050000=3.36905X109.

故选：C.

【变式9-1](2022•湘西州)据统计，2022年湖南省湘西土家族苗族自治州学业水平考试九年级考生报名

人数约为3500()人，其中数据35000用科学记数法表示为()

A.35X1O3B.0.35X105C.350X102D.3.5X104

【分析】科学记数法的表示形式为4X10〃的形式，其中1W|4|V1(),〃为整数.确定〃的值时，要看把

原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时，〃

是正整数：当原数的绝对值VI时，〃是负整数.据此解答即可.

【解答】解：35000=3.5XI04.

故选：D.

【变式9-2］（2022春•馆陶县期末）某种颗粒每粒的质量为0.00000037克，500粒此种颗粒的质量用科学

记数法可以表示为4X10°克，则〃的值是（）

A.-5B.-6C.-7D.-8

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10”与较大数的科学记数法

不同的是其所使用的是负指数基，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【解答】解：0.00000037X500=0.0000185=1.85X10'5,

故选：A.

【变式9・3】（2022•雨花区模拟）据中国政府网报道，截至2021年4月5日，31个省（自治区、直辖市）

和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗1428