中考数学一轮复习【举一反三】系列-专题32 与圆有关的位置关系【十六大题型】（举一反三）（原卷）

专题32与圆有关的位置关系【十六大题型】

♦题型梳理

【题型1点和圆的位置关系】......................................................................2

【题型2直线与圆的位置关系】....................................................................3

【题型3求平移到与直线相切时圆心坐标或运动距离】...............................................4

【题型4根据直线与圆的位置关系求交点个数】.....................................................5

【题型5判断或补全使宜线成为切线的条件】.......................................................6

【题型6利用切线的性质求值】....................................................................7

【题型7证明某条直线是圆的切线】...............................................................8

【题型8利用切线的性质定理证明】...............................................................9

【题型9切线的性质与判定的综合运用】...........................................................11

【题型10作圆的切线】...........................................................................13

【题型11应用切线长定理求解或证明】............................................................14

【题型12由外心的位置判断三角形形状】..........................................................15

【题型13求三角形外接圆的半径、外心坐标】......................................................16

【题型14由三角形的内切圆求值】................................................................17

【题型15与三角形内心有关的应用】..............................................................18

【题型16三角形外接圆与内切圆综合】............................................................19

【知识点与圆有关的位置关系】

1.点和圆的位置关系

设。。的半径为乙点夕到圆心的距离为0P=&则有：

点尸在圆外Od>r;

点P在圆上Od=r;

点〃在圆内ODVT.

性质：不在同一条直线上的三个点确定一个圆.

定义：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆.外接圆的圆心是三角形三条

边的垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心.

2.直线和圆的位置关系

直线和圆有两个公共点时,我们说这条直线和圆相交.这条直线叫做圆的割线.

直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线和圆相切.这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.

直线和圆没有公共点时,我们说这条直线和圆相离.

设。。的半径为/;圆心。到直线1的距离d,则有：

直线/和。。相交=d<r;

直线/和。。相切=d=r;

直线/和。。相离<=>4r.

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.

经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.

切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹

角.

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的

内心.

【题型1点和圆的位置关系】

[例J1]（2023•上海闵行-校联考模拟预测）矩形/BCD中，=8,BC=3遮,点P在边AB上,且BP=3AP,

如果圆P是以点P为圆心,PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）

A.点均在圆P外B.点B在圆P外，点C在圆户内

C.点B在圆P内，点C在圆P外D.点均在圆P内

【变式1-1]（2023•四川凉山-统考模拟预测）在Rt△力8c中，〃=90°,BC=3,AC=4,〃为48的中

点.以/I为圆心，厂为半径作0/1,若以a〃三点中只有一点在O力内，则OA的半径二的取值范围是

（）

A.2.5<r<4B.2.5<r<4C.2,5<r<4I）.2.5<r<4

【变式1-2]（2023•四川成都・统考二模）已知P是O。内一点（点P不与圆心。重合），点P到圆上各点的距离

中,最小距离与最大距离是关于x的一元二次方程Q/-12ax-20=0的两个实数根,则O。的直径

为•

【变式1-3]（2023•江苏扬州・统考一模）如图，矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点尸是平面内一点，以P、

B、。为顶点的三角形是等腰三角形，则勿的最小值为（）

47

A.；B.1C.（I）.2.5

【题型2直线与圆的位置关系】

【例2】（2023•河北秦皇岛-模拟预测）如图，已知乙AC8=30。,CM=2,AM=5,以M为圆心,r为半径作。

M,。M与线段AC有交点时，则r的取值范围是.

【变式27]（2023•上海青浦・统考二模）如图，在直角梯形4BCD中，4D||BC,〃=90。”'是4D上一定

点，48=3,8。=6,4。=8,力5=2.点夕是比、上一个动点，以.。为圆心,用、为半径作。“若02与以/?为

圆心，1为半径的。夕有公共点,且与线段力〃只有一个交点,则用长度的取值范围是.

【变式2-2]（2023•河北秦皇岛-统考模拟预测）如图，线段BC=16cm,过点8在线段8C的上方作射线84

且tan乙48C=/动点。从点8出发,沿射线BA以lcm/s的速度运动，同时动点。从点。出发，沿线段C8以

2cm/s的速度向点“运动，当点0到达点4时，点〃”都停止运动.以点。为圆心,OB长为半径的半圆与线

段BC交于点〃,与射线84交于点P.连接PQ,设运动时间为t秒（t>0）

备用图

【变式3-2］（2023•四川凉山•统考模拟预测）如图，在半径为5阴的。。中，直线/交。。于力、“两点，且

弦'=8刚要使直线/与。。相切，则需要将直线/向下平移（）

A.1cmB.2cmC.3cmD.Acm

【变式33】（2023•北京•统考二模）在平面直角坐标系kOy中，。。的半径为2.对于直线/和线段3C,给

出如下定义：若将线段8c关于直线/对称，可以得到。。的弦夕。（夕,C'分别是反。的对应点），则称线段

"是以直线，为轴的O0的“关联线段”.例如，图1中线段BC是以直线/为轴的0。的“关联线段”.

⑴如图2,点Bi，G，B2,C2,B3,C3的横、纵坐标都是整数.

①在线段8传口82c2，/。3中，以直线小y=x+4为轴的0。的“关联线段"是二

②在线段仇的，82。2,83c3中，存在以直线5丫=一工+8为轴的。。的“关联线段”，求。的值；

（2）已知直线，3：y=-V3x+m（m>0）交x轴于点A.在448c中,AB=6,BC=2,若线段BC是以直线“为

轴的。。的“关联线段”，直接写出勿的最大值与最小值，以及相应的AC的长.

【题型4根据直线与圆的位置关系求交点个数】

【例4】（2023•河北沧州・校考三模）题目：〃如图，在Rt△力BC中，4B=90°,AB=3,AC=5,以点B为圆心

的08的半径为r,若对于r的一个值,OB与4c只有一个交点，求7•的取值范围.”对于其答案，甲答：r=

4.乙答：3<r<4.丙答：r=£.则正确的是（）

A.只有乙答的对B.甲、乙的答案合在一起才完整

C.乙、丙的答案合在一起才完整D.三人的答案合在一起才完整

【变式4-1]（2023•湖南・中考真题）已知。。的直径等于12cm,圆心。到直线1的距离为5cm,则直线/与

。。的交点个数为（）

A.0B.1C.2D.无法确定

【变式4-2]（2023•江苏盐城・统考模拟预测）在矩形48。。中,48=8,BC=6.点。为对角线/C上一点（不

与人重合），O0是以点。为圆心,40为半径的圆.当。0与矩形各边的交点个数为5个时,半径04的范围

是.

【变式4-3]（2023•四川乐山•统考中考真题）如图，已知。力=6,08=8,8。=2,。。与。8、48均相切，

点P是线段力C与抛物线y=a/的交点,则a的值为（）

[例5]（2023•广东揭阳・统考一模）如图,4B是。。的直径,8c交。。于点D,DE14C于点E,下列说法不

正确的是（）

A.若DE=D。，则OE是00的切线B.若AB=AC,贝UDE是O。的切线

C.若则DE是。。的切线D.若0E是。。的切线，则48=AC

【变式5-1]（2023•天津西青-模拟预测）如图所示,在平面直角坐标系x分中，半径为2的。尸的圆心〃的

坐标为（-3,0）,将。尸沿x轴正方向平移，使。尸与y轴相切，则平移的距离为.

【变式5-2]（2023・吉林・一模）已知△ABC内接于。0,过点力作直线EF.

⑴如图1所示,若为。。的直径,要使“成为。。的切线,还需要添加的一个条件是

⑵如图2所示,如果48是不过圆心。的弦,且“AE=LB,那么EF是。。的切线吗?试证明你的判断.

【变式5-3]（2023・贵州・中考真题）如图,AB是。0的直径,BC交。0于点D,DEJ_AC于点E,要使DE是。0

的切线，还需补充一个条件,则补充的条件不正确的是（）

C.CD=DBD.AC/70D

【题型6利用切线的性质求值】

【例6】（2023•安徽•校联考模拟预测）如图，已知A8是。。的直径,BC与。。相切于点8.若AA8C一△

CBO,则sin/ACB=.

（变式6-1]（2023•海南三亚・统考二模）如图，P力与O。相切于点4P。与O。相交于点B,点C是O。上一

点，若44C8=32°,则NP的度数为.

【变式6-2]（2023•安徽・模拟预测）如图,E是O0的直径48延长线上一点，过点E作。。的切线EC,C为切

点,。是O。上一点（在直径AB的下方）.若〃EC=50°,贝I」乙4DC的度数为.

【变式6-3]（2023•广东汕头•汕头市第六中学校考一模）如图，内接于。O.4B是直径,过点/作直

线MN,且MN是。。的切线.

（1）求证：/.MAC=Z.ABC.

（2）设。是弧AC的中点,连接8。交4c于点G,过点。作DE1AB于点E,交力C于点F.

①求证：FD=FG.

②若=3,4B=5,试求力E的长.

【题型7证明某条直线是圆的切线】

【例7】（2023•江苏连云港-模拟预测）如图，直线P/1交O。于力、8两点,4E是。。的直径，点C为。。上一

点,且4c平分匕P4E,过C作CD1PA,垂足为D.

(1)求证：CD为O。的切线；

(2)若4c=5,zF=30°,求CD的长.

【变式7-1](2023•江苏淮安-校考模拟预测)如图，已知直线/与。。相离，。41，于点A,交O。于点P,

点B是O。上一点,连接BP并延长,交直线1于点C,使得AB=AC.

(1)判断直线48与。。的位置关系并说明理由；

(2)PC=2痣，0A=4,求线段P3的长.

【变式7-2](2023•广东肇庆・统考三模)如图,48是。。的直径，C,〃是。。上的两点,且8c=DC,BD交

AC于点E,点尸在AC的延长线上，BE=BF.

(1)求证：8尸是。。的切线；

(2)若EF=6,cosz4BC=：,

①求的长；

②求。0的半径.

【变式7-3](2023•广东茂名・统考三模)如图，力8是。。的直径，点E是劣弧80上一点，"/W=^AED,且

DE=或，4E平分48力。，力E与8。交于点F.

(1)求证：PA是。0的切线；

⑵若tan/DAE=当，求EF的长;

⑶延长。E,AB交于点C,若OB=BC,求。。的半径.

【题型8利用切线的性质定理证明】

【例8】(2023•广东江门•统考一模)如图1,已知48是。。的直径=2,C为圆上任意一点，过点C作圆

的切线,分别与过A,8两点的切线交于P,0两点.

AAP

(1)求(；，・(；Q的值；

(2)如图2,连接PB,AQ交于点M证明直线MC1AB.

【变式8-1](2023•内蒙古包头・统考一模)如图,P4PB是。。的两条切线,48是切点，连接40并延长，与

PB的延长线相交于点C,连接PO,交。。于点。,连接。氏

⑴求证：4”。=乙BP。；(用两种证法解答)

(2)若DP=DB,试探究P8与P。之间的数量关系,写出并证明你的结论.

【变式8-2](2023•四川・校联考模拟预测)如图，圆。中内接△/18C,过点力作圆。的切线/,作直线。。使

得乙1CD=乙B,并交48于E.

(1)证明：CD||/;

(2)若CE=CA=2EA=2,求ED的值；

(3)证明：BC2-ED=CE-BE-BA.

【变式8-3](2023•河南许昌•统考二模)《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部教学著作，书

中以23个定义、5个公设和5个公理作为基本出发点,给出了119个定义和465个命题.其中，命题4.2

的内容是：给定一个三角形,可作圆内接相似三角形.

小冉想尝试对这个命题进行证明，于是根据书中命题的内容及图形的画法写出了已知和求证:

已知:如图1,△48c为已知三角形,如图2,HG是。。的切线，D为切点，乙EDH=乙B,Z.FDG=LC.

求证：&DEF“ACB.

小冉在图2的基础上，添加了辅助线;如图3,连接并延长0。，交O。于点P,连接P£PE

(1)请在小冉所添辅助线的基础上,求证：△DEFACB;

(2)若48=AC=5,BC=8,EF=16,求O0的半径.

【题型9切线的性质与判定的综合运用】

【例9】(2023•广东肇庆・统考二模)如图,矩形/BCD中，AB=13,AD=6.点E是CD上的动点，以4E为直

径的O。与48交于点凡过点?作FG1BE于点G.

(D当E是CO的中点时：的值为;

(2)在(1)的条件下,证明：FG是0。的切线；

(3)试探究：BE能否与。。相切?若能，求出此时BE的长;若不能，清说明理由.

【变式9-1](2023•山西太原・太原五中校考一模)我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而〃利用尺规

作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的.人们根据实际需要，

发明了一种简易操作工具-三分角器.图1是它的示意图，其中48与半圆。的直径在同一直线上，且48的

长度与半圆的半径相等,08与低垂直与点氏足够长.

图1图2

使用方法如图2所示，若要把七N三等分，只需适当放置三分角器，使"8经过的顶点E,点A落在边

EM上,半圆。与另一边EN恰好相切,则EB,E。就把NMEN三等分了.

为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知"和“求证”，请补充完整，并

写出“证明”过程.

己知：如图2,点A,B,0,。在同一直线上,EB1AC,垂足为点B,.

求证：.

【变式9-2](2023•山东・统考中考真题)如图，已知48是。。的直径,CD=CB,BE切。。于点&过点C作

CF1OE交BE于点、F,若EF=2BF.

(1)如图1,连接BD,求证：2ADBw〉OBE;

(2)如图2,N是上一点，在48上取一点M,使匕MCN=60。,连接MN.请问：三条线段MN,EM,DN有怎、

样的数量关系？并证明你的结论.

【变式9-3](2023•浙江杭州•校考二模)知：如图】，48是。0的弦，点C是。。的半径OB的延长线上一点,

4寻SA8C翻折得到^ABC',AC'交半径08于点O.

图I图2

⑴求证:BC||0A.

(2)若AC与。。相切.

①如图2,点C'落在。。上,求sinC的值.

②如图3,若0A=10,AB=12,求河BDC'的面积.

【题型10作圆的切线】

【例10】(2023•江苏南京・一模)过。0上一点4可以用尺规按以下方法作出。。的切线；

①另取。。上一点A以4为圆心,月8为半径作圆,将OB与O0的另一个交点记为点C\

②以A为圆心,/1C为半径作弧,将。A与O8的另一个交点记为点〃，作直线AD.

直线力。即为。。的切线.

如图，小明已经完成了作图步骤①.

(1)用尺规完成作图步骤②；

(2)连接AC,3。，求证：平分乙C40;

(3)求证：直线为。。的切线.

【变式10-1](2023•福建福州・统考三模)如图，已知。0及圆外一点P,请你利用尺规作。的切线PA.(不

写作法，保留作图痕迹)

[变式10-2](2023•湖北•校联考三模)如图，在Rt△4BC中，4=90°,BD平分MABC交配4于〃点，0是BC

上一点，经过4、〃两点的。。分别交8C、BA于点E、F.

(1)用尺规补全图形(保留作图痕迹,不写作法)；

(2)求证：CA与。。相切:

⑶当8。=2胆/ABD=30。时,求劣弧BD的长.

【变式10-3](2023•山东・统考中考真题)如图，/BPD=120。,点4、C分别在射线P8、PD上，匕PAC=

30°,AC=2Vs.

(1)用尺规在图中作一段劣弧，使得它在4、。两点分别与射线尸B和PO相切.要求：写出作法,并保留作图痕

迹；

(2)根据(1)的作法,结合已有条件,请写出已知和求证,并证明；

(3)求所得的劣弧与线段PA、PC围成的封闭图形的面积.

【题型11应用切线长定理求解或证明】

【例11](2023•河北邯郸・校考三模)如图，在四边形仍切中，Z/!=Z^=90°,A/)=4,BC=10.sinC=1以

力〃为直径作。a把。。沿水平方向平移『个单位,得到。。‘，为直径力?平移后的对应线段.

⑴当x=0,且3为。。上一点时,求〃"的最大值；

⑵当8'与C重合时，设。0'与切相交于点A；求点N到力?的距离；

(3)当。。与⑦相切时，直接写出x的值.

【变式H-1J(2023•山东威海・统考一模)如图，。。的直径4?=12,槐外是。。的两条切线，如切。。于

E交8V于C,设AD=x,BC=y.

(1)求证：力口2=4DE-CE;

(2)求y与x的函数关系式；

⑶若My是方程2/-3Ox+a=0的两个根,求aOCD的面积.

【变式11-2](2023•北京石景山♦统考二模)如图"。是O。的直径,P是。。外一点，连接P。交。。于点

C,PB,PD分别切。。于点8,D,连接43,AC.

（1）求证：AB//OP-,

（2）连接P4若PA=2V2,tan,BAD=2,求PC长.

【变式11-3]（2023•广东中山・统考三模）如图，已知是。。的直径,48=2,C为圆上任意一点，过点C

作圆的切线,分别与过4B两点的切线交于P,Q两点.

⑴求CP-CQ的值；

（2）如图,连接尸交于点M,证明直线MC1AB.

【题型12由外心的位置判断三角形形状】

【例12]（2023•江苏无锡-模拟预测）下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弦相

等；（3）同弧或等弧所对的圆周角相等；（4）二角形的外心到二角形二条边的距尚相等；（5）外心在二角形的一

边上的三角形是直角三角形;其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式12-1]（2023•浙江温州•模拟预测）如果三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是

（）

A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形

【变式12-2]（2023•河北沧州•模拟预测）当一个三角形的内心与外心重合时，这个三角形一定是

（）

A.直角三角形B.等腰直.侑三角形C.钝角三角形D.等边三角形

【变式12-3]（2023•广西玉林・统考中考真题）如图，在5x7网路中，各小正方形边长均为1,点

（）、/,氏C,〃，少均在格点上，点。是△力BC的外心,在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外心也

是0的三角形都写出来.

【题型13求三角形外接圆的半径、外心坐标】

【例13】(2023•湖北武汉・校考模拟预测)如图,△ABC中=AC,。。是△ABC的外接圆,50的延长线

交边AC于点D.

(1)求证：LBAC=2/.ABD;

(2)若AD:DC=2:3,BC=2夕时,求。0的半径.

【变式13-1】(2023•江苏南京・统考一模)如图，△ABC内接于。0,NBAC=45°,AD_LBC,垂足为D,BD=

6,DC=4.

(1)求。0的半径；

⑵求AD的长.

【变式13-2](2023•浙江温州-校考一模)如图，△ABC在平面直角坐标系中，点力

(1)利用网格确定△ABC的外接圆的圆心坐标为______;

(2)作出△48C的外接圆；

(3)利用直尺作出N4cB的角平分线.

【变式13-3】(2023•山东济宁•校考二模)如图，在平面直角坐标系中，Zk/IBC三个顶点的坐标分别为

力(-2,1),8(-1,4),。(-3,2)

⑴以原点。为位似中心，位似比为2:1,在y轴的左侧画出△ABC放大后的44181GL；

(2)在(1)中，若点M(7%7。为线段BC上任一点,写出变化后点M的对应点W的坐标___________.

(3)直接写出△为从G外接圆的圆心。坐标.

【题型14由三角形的内切圆求值】

【例14】(2023•黑龙江鸡西-校考三模)如图，在直角坐标系中，一直线］经过点与渊、y轴分别

交于48两点，且K4=M8,若OOi是△480的内切圆，。。2与。0］、I、y轴分别相切,。。3与。。2、2、

y轴分别相切，按此规律,则。。2023的半径r2023=.

【变式14T】(2023•福建泉州•模拟预测)作图题：如图，在矩形48co中，已知710=10,718=6,

(1)用直尺和圆规在力。上找一点£使七。平分NBED,(不写作法，架留作图痕迹)；

(2)求△COE内切圆半径r的值.

【变式14-2］(2023・山东淄博・统考一模)如图，在RtzMBC中,LA=90。,点D,E分别在",BC上,且CD-

BC=AC-CE,以E为圆心,长为半径作恻，。E经过点8,与力B,BC分别交于点F,G.

(1)求证：力。是。£1的切线；

⑵若AF=4,CG=5,求O£的半径;

(3)在(2)的条件下,若RtZL45c的内切圆圆心为/,直接写出/E的长.

【变式14-3】(2014•江苏南京•统考中考真题)如图，在放欧中，N/1®90°於3cm,为

△九％的内切圆,

（1）求O0的半径;

（2）点尸从点8沿边刃向点A以点1c勿/s的速度匀速运动，以点尸为圆心,加长为半径作圆，设点刀运动的

时间为£s，若。尸与相切，求£的值.

【题型15与三角形内心有关的应用】

【例15]（2023•陕西西安-西安市铁一中学校考模拟预测）综合与实践：（1）如图（1），有一-块三角形材料公

ABC,准备裁剪成一个面积最大的员I形，已知乙C=90。,BC=3,AC=4,求裁剪出的最大圆形面积.

（2）如图（2）,市政部门准备把一块四边形区域改造成公园，计划在主干道A8上确定大门M的位置，且在M与

另外两个小门£•、F连接而成的三带形区域内设计一个面积尽•可•能•大•的圆形花园，部分数据如下：乙B=

4c=60°,BE=CD=2EC=400米,