5道微分方程计算练习题及答案B3

5道微分方程计算练习题及答案1.二阶常微分方程3y''+y'=0的通解主要内容：本文通过一阶微分方程分离变量法、一阶齐次微分方程和二阶常系数微分方程通解计算，介绍二阶常微分方程3y''+y'=0通解的计算步骤。主要步骤：※.分离变量法由3y''=-y'有：3d(y')=-y'dxeq\f(3d(y'),y')=-dx,两边同时积分有：3eq\i(,,\f(d(y'),y'))=-eq\s\up5(\i(,,))dx，即：3eq\s\up5(\i(,,))d(lny')=-eq\s\up5(\i(,,))dx，3lny'=-x+C00,对方程变形有：eq\f(dy,dx)=eeq\s\up12((-eq\f(x,3)+eq\f(C00,3)))=C01eeq\s\up10(-eq\f(x,3)),再次积分可有：eq\s\up5(\i(,,))dy=C01eq\s\up5(\i(,,eeq\s\up10(-eq\f(x,3))dx))，即：y=-C01*3eq\s\up5(\i(,,eeq\s\up10(-eq\f(x,3))deq-\f(x,3)))=C1eeq\s\up10(-eq\f(x,3))+C2。※.一阶齐次微分方程求解因为3(y')'+y'=0，即：(y')'+eq\f(1,3)y'=0，按照一阶齐次微分方程公式有：y'=eeq\s\up12(-eq\s\up5(\i(,,eq\f(1,3)dx)))*(eq\s\up5(\i(,,0*eeq\s\up12(eq\s\up5(\i(,,eq\f(1,3)dx)))dx))+C0)，进一步化简有：y'=C0eeq\s\up10(-eq\f(x,3))，继续对积分可有：eq\s\up5(\i(,,))dy=C0eq\s\up5(\i(,,eeq\s\up10(-eq\f(x,3))dx))，即：y=-C0*3*eq\s\up5(\i(,,eeq\s\up10(-eq\f(x,3))deq-\f(x,3)))=C1eeq\s\up10(-eq\f(x,3))+C2。※.二阶常系数微分方程求解该微分方程的特征方程为3r2+r=0，即：r(3r+1)=0，所以r1=-eq\f(1,3)，r2=0。此时二阶常系数微分方程的通解为：y=C1er1x+C2er2x=C1eeq\s\up10(-eq\f(x,3))+C2。2.已知曲线y=f(x)上任意一点处切线的斜率为x+2y,且曲线过原点求函数y。解：根据导数的几何意义有：y'=x+2y,即：y'-2y=x,利用一阶非齐次线性微分方程的通解公式得：y=eqe\s\up12(\i(,,2)dx)(eq\i(,,xeqe\s\up12(\i(,,-2)dx))dx+C),=eqe\s\up10(2x)(eq\i(,,xeqe\s\up10(-2x))dx+C),=eqe\s\up10(2x)[-EQ\f(1,2)eq\i(,,xeqe\s\up10(-2x))d(-2x)+C],=eqe\s\up10(2x)(-EQ\f(1,2)xeqe\s\up10(-2x)+EQ\f(1,2)eq\i(,,eqe\s\up10(-2x))dx+C),=eqe\s\up10(2x)[-EQ\f(1,2)xeqe\s\up10(-2x)-EQ\f(1,4)eq\i(,,eqe\s\up10(-2x))d(-2x)+C],=eqe\s\up10(2x)(-EQ\f(1,2)xeqe\s\up10(-2x)-EQ\f(1,4)eqe\s\up10(-2x)+C),由于曲线经过原点，则x=0时，y=0，代入得：y=0=1*(0-EQ\f(1,4)+C)，即C=EQ\f(1,4)。所以函数y的特解为：y=eqe\s\up10(2x)(-EQ\f(1,2)xeqe\s\up10(-2x)-EQ\f(1,4)eqe\s\up10(-2x)+EQ\f(1,4))=-EQ\f(1,2)x-EQ\f(1,4)+EQ\f(1,4)eqe\s\up10(2x)。3.求微分方程(30x2+9y2)dx-25xydy=0的通解主要内容：本题主要通过微分方程的齐次方程通解计算方法，以及换元、分离变量等知识，介绍计算微分方程(30x2+9y2)dx-25xydy=0的通解步骤。主要步骤：解：对微分方程进行变形，同时除以xy有：(30*eq\f(x,y)+9*eq\f(y,x))-25dy=0，设eq\f(y,x)=u,则y=xu，求导有：dy=udx+xdu，代入方程有：(eq\f(30,u)+9u)dx-25dy=0，(eq\f(30,u)+9u)dx-25(udx+xdu)=0,(eq\f(30,u)-16u)dx=25xdu,进一步对上述方程变形有：eq\f(25udu,16u2-30)=-eq\f(dx,x),两边同时积分有：eq\f(1,2)eq\i(,,\f(25du2,(16u2-30)))=-eq\i(,,\f(dx,x)),eq\f(25,32)eq\i(,,\f(d(16u2-30),(16u2-30)))=-ln|x|+C1,eq\f(25,32)ln(16u2-30)+ln|x|=C1,根据对数知识，上述函数化简为：x32*(16u2-30)25=C,再将u=eq\f(y,x)代入有：(16y2-30x2)25=Cx18,即为本题微分方程的通解。4.求解微分方程17x2+6x-8y'=0的通解主要步骤：解：根据题意，由不定积分分离变量法有：17x2+6x-8y'=0，17x2+6x=8y'，即：17x2+6x=8eq\f(dy,dx),对微分方程变形有：(17x2+6x)dx=8dy,两边同时对x积分有：eq\i(,,(17x2+6x))dx=8eq\i(,,dy),eq\f(17,3)x3+3x2=8y+C1,所以：y=eq\f(17,24)x3+eq\f(3,8)x2+C.5.求解微分方程25x2+4x-23y'=0的通解主要步骤：解：根据题意，由不定积分分离变量法有：25x2+4x-23y'=0，25x2+4x=23y'，即：25x2+4x=23eq\f