初中数学自主招生难度讲义-9年级专题03 根的检测器

专题3根的检测器

阅读与思考

一元二次方程的根的判别式是揭示根的性质与系数间联系的一个重要定理，是解直接或间接与一

元二次方程相关问题的有力工具，其主要应用于以下几个方面：

1、判断方程实根的情况；

2．求方程中字母系数的值与字母间的关系、字母的取值范围；

3．证明等式或不等式；

4．利用一元二次方程必定有解的代数模型，证明几何存在性问题．

许多表面与一元二次方程无关的数学问题，可以通过构造一元二次方程，把原问题转化为讨论方程

的根的性质，然后用判别式来解，这是运用判别式解题的技巧策略．

例题与求解

【例1】如果方程x46x39x23px22p20有且仅有一个实数根（相等的两个实数根算作一个），

则p的值为．

【例2】已知三个关于x的方程：x2xm0，(m1)x22x10和(m2)x22x10，若

其中至少有两个方程有实根，则实数m的取值范围是（）．

11

A．m2B．m或1m2C．m1D．m1

44

k

【例3】已知P(2,3)是反比例函数y图象上的点．

x

k

（1）求过点P且与双曲线y只有一个公共点的直线解析式；

x

kk

（2）Q是双曲线y在第三象限这一分支上的动点，过点Q作直线，使其与双曲线y只有一个

xx

公共点，且与x轴，y轴分别交于C，D两点，设（1）中求得的一直线与x轴，y轴分别交与A，B两

点，试判断AD，BC的位置关系．

【例4】已知a,b,c满足abc0,abc8,且c0，求证c334．

【例5】已知关于x的方程x2(3k1)x2k22k0.

（1）求证：无论k取何实数值，该方程总有实数根；

（2）若等腰三角形ABC的一边长a6，另两边长b,c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周

长.

【例6】已知XYZ是直角边长为1的等腰直角三角形（∠Z＝90°），它的三个顶点分别在等腰直角三

角形ABC（∠C＝90°）的三边上．求ABC直角边长的最大可能值．

能力训练

A级

1．若关于x的一元二次方程x22xm0有两个实数根，则m的取值范围是．

2．关于x的方程ax2(a2)x20只有一解（相同的解算一解），则a的值为．

3．设a,b,c是ABC三边，且关于x的方程c(x2n)b(x2n)2nax0(n0)有两个相等的实

数根，则ABC是三角形．

4．方程x2xyy23x3y30的实数解为．

5．关于x的一元二次方程x2(2k1)xk10的根的情况是（）

A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根

C．有两个实数根D．没有实数根

6．如果关于x的方程mx22(m2)xm50没有实数根，那么关于x的方程

(m5)x22(m2)xm0的实数根的个数为（）

A．2个B．1个C．0个D．不确定

7．关于x的方程(a6)x28x60有实数根，则整数a的最大值是（）

A．6B．7C．8D．9

8．已知一直角三角形的三边为a,b,c，∠B＝90°，那么关于x的方程a(x21)2(xb)(x21)0的

根为（）

A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根

C．没有实数根D．无法确定

9．在等腰三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a,b,c．已知a3，b和c是关于x的方程

1

x2mx2m0的两个实数根，求ABC的周长．

2

10．已知m,n为整数，关于x的三个方程：x2(7m)x3n0有两个不相等的实数根；

x2(4m)xn60有两个相等的实数根；x2(m4)xn10没有实数根．求m，n的值．

11

11．若a,b,c,d0，证明：在方程x22abxcd0①；x22bcxad0②；

22

11

x22cdxab0③；x22daxbc0④中，至少有两个方程有两个不相等的实

22

数根．

12．若实数x,y满足x22x4y5，求x2y的最大值．

B级

1．当a，b时，方程x22(1a)x(3a24ab4b22)0有实数根．

2．已知二次方程(ab2b)x22(ba)x2aab0有两个相等的实数根，那么

11

=．

ab

3．如果方程x35x2(4k)xk0的三个根可以作为一个等腰三角形的三边长，则实数k的值

为．

4．已知实数a,b,c满足abc0，abc2，那么abc的最小值是．

5．已知实数a,b,c是不全为零的三个数，那么关于x的方程

x2(abc)xa2b2c20的根的情况是（）

A．有两个负根B．有两个正根C．有两个异号的实根D．无实根

6．关于x的两个方程x24mx4m22m30，x2(2m1)xm20中至少有一个方程有实根，

则m的取值范围是（）

3131

A．mB．m或m

2424

1131

C．mD．m或m

4222

7．方程x(x1)k0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）

1111

A．k0B．0kC．kD．k

4444

x2

8．关于x的方程a仅有两个不同的实根，则实数a的取值范围是（）

x1

A．a0B．a4C．2a4D．0a4

9．当a在什么范