初中数学自主招生难度讲义-9年级专题05一元二次方程的整数根

专题05一元二次方程的整数根

阅读与思考

解一元二次方程问题时，我们不但需熟练地解方程，准确判断根的个数、符号特征、存在范围，而

且要能深入地探讨根的其他性质，这便是大量出现于各级数学竞赛中的一元二次方程的整数根问题。这

类问题因涵盖了整数的性质、一元二次方程的相关理论，融合了丰富的数学思想方法而备受命题者的青

睐..

解整系数（即系数为整数）一元二次方程的整数根问题的基本方法有：

1．直接求解

若根可用有理式表示，则求出根，结合整除性求解.

2．利用判别式

在二次方程有根的前提下，通过判别式确定字母或根的范围，运用枚举讨论、不等分析求解

3．运用根与系数的关系

由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母，再通过因式分解和整数性质

求解.

4．巧选主元

若运用相关方法直接求解困难，可选取字母为主元，结合整除知识求解.

例题与求解

【例1】已知关于x的方程(4k)(8k)x2(8012k)x320的解都是整数，求整数k的值.

（绍兴市竞赛试题）

解题思路：用因式分解法可得到根的表达式，因方程类型未指明，故须按一次方程、二次方程两

种情形讨论，这样确定k的值才能全面而准确.

qp

【例2】p,q为质数且是方程x213xm0的根，那么的值是（）

pq

121123125127

A．B．C．D．

22222222

（黄冈市竞赛试题）

解题思路：设法求出p,q的值，由题设条件自然想到根与系数的关系

【例3】关于x,y的方程x2xy2y229的整数解(x,y)的组数为（）

A．2组B．3组C．4组D．无穷多组

解题思路：把x2xy2y229看作关于x的二次方程，由x为整数得出关于x的二次方程的

根的判别式是完全平方数，从而确定y的取值范围，进而求出x的值.

【例4】试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx2(r2)xr10有根且只有整数根.

（全国初中数学联赛试题）

解题思路：因方程的类型未确定，故应分类讨论.当r0时，由根与系数的关系得到关于r的两个不等

式，消去r，先求出两个整数根.

【例5】试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的两位数之和的平方，恰好等

于这个四位数.

（全国初中数学联赛试题）

解题思路：设前后两个两位数分别为x,y，x10,y99，则(xy)2100xy，即

x22(y50)x(y2y)0，于是将问题转化为求一元二次方程有理根、整数根的问题.

【例6】试求出所有这样的正整数解a，使得二次方程ax22(2a1)x4(a3)0至少有一个整

数根.（“祖冲之杯”竞赛试题）

解题思路：本题有两种解法.由于a的次数较低，可考虑“反客为主”，以a为元，以x为已知数整理成

一个关于a的一元一次方程来解答；或考虑因方程根为整数，故其判别式为平方式.

能力训练

A级

1．已知方程x21999xa0有两个质数根，则a_______.(江苏省竞赛题)

2．已知一元二次方程x2mxm10（m是整数）有两个不相等的整数根，则m_________.

(四川省竞赛题)

3．若关于x的一元二次方程mx24x40和x24mx4m24m50的根都是整数，则整数m

的值为__________

4．若k正整数，且一元二次方程(k1)x2pxk0的两个根都是正整数，则kpk(ppkk)的值等

于______________.

ba

5．两个质数a,b恰是x的整系数方程x221xt0的两个根，则等于（）

ab

582402365

A．2213B．C．D．

214938

6．若x2mx60的两个根都是整数，则m可取值的个数是（）

A．2个B．4个C．6个D．以上结论都不对

p

．方程2恰有两个整数根，则的值是（）

7xpx19970x1,x2

(x11)(x21)

11

A．1B．1C．D．

22

（北京市竞赛试题）

8．若a,b都是整数，方程ax2bx20080的相异两根都是质数，则3ab的值为（）

（太原市竞赛试题）

A．100B．400C．700D．1000

9．求所有的实数k，使得方程kx2(k1)x(k1)0的根都是整数.（“祖冲之”邀请赛试题）

10．已知关于x的方程4x28nx3n2和x2(n3)x2n220，是否存在这样的n值，使第一

个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，求出这样的n值；若不存在，请

说明理由.（湖北省选拔赛试题）

11．若关于x的方程ax22(a3)x(a2)0至少有一个整数根，求整数a的值.

（上海市竞赛试题）

p21115

12．已知p,q为整数，且是关于x的方程x2x(pq)160的两个根，求p,q的值.

94

（全国初中数学联赛试题）

B级

1．已知pq96，并且二次方程x2pxq0的根都是整数，则其最大根是___________.

2．若关于x的二次方程x2ax6a0只有整数根，则a_________.（美国数学邀请赛试题）

3．若关于x的方程(6k)(9k)x2(11715k)x540的解都是整数，则符合条件的整数k的值有

_________个.

4．使方程a2x2ax17a20的两根都是整数的所有正数a的和是______________.

（上海市竞赛题）

5．已知方程a2x2(3a28a)x2a213a150（其中a为非零实数）至少有一个整数根，那么

a_________.（全国初中数学联赛试题）

6．设方程x2(m6)xm30有两个不同的奇数根，则整数m的值为____________

（《学习报》公开赛试题）

a

7．若ab1，且有5a22001a90及9b22001b50，则的值为（）

b

9520012001

A．B．C．D．

5959

．若方程2有一个正跟，和一个负根，由以为根的二次方程为（）

8x3xm20x1x2x1,x2

A．x23xm20B．x23xm20

C．x214mxm20D．x214mxm20

9．设关于x的二次方程(k26k8)x2(2k26k4)xk24的两根都是整数，求满足条件的所有

实数k的值.

（全国初中数学联赛试题）

10．当x为何有理数时，9x223x2恰为两个连续的正偶数的乘积？

（山东省竞赛题）

11．是否存在质数p,q使得关于x的一元二次方程px2qxp0有有理数根？

（全国初中数学竞赛试题）

kx2y(ka)0

12．已知关于x,y的方程组只有一组解且为整数解，其中k,a,b,c均为整数且

y(ka)xbc

a0，a,b,c满足a2abc1，bc2.

（1）求a的值；

（2）求k的值及它对的x,y的值.

专题05一元二次方程的整数根

48

例1当k=4时，x=1；当k=8时，x=-2；当k≠4且k≠8时，x，x，可得k=6或k=4,6,8

18k24k

或12．

例2C

例3C提示：方程变形为关于x的二次方程x2yx2y2290，=7y2116≥0且是完全平方数，

x11x23x31x43

得y216,∴y4,∴,,,.

y14y24y34y44

1r2

例4①若r0，则x不是整数；②r0，设方程的两根为x,x(xx)，则xx，

2121212r

r1r1r2x11x13

x1x2，于是2x1x2(x1x2)23,有(2x11)(2x21)7，解得或

rrrx24x20

1

则r或r1.

3

例5由x2-2(y50)x(y2y)0得4(y50)24(y2y)4(250099y)0,即

(250099y)0,y25时,方程有实数解x50y250099y.由于(250099y)必须是完全平方数,

而完全平方数的末位数字可能为0,1,4,5,6,9,故仅可取25,此时x30或,x20,故所求的四位数为

2025或3025.

例6解法一:因a的次数较低,故将方程整理为关a于的一次方程,得(x2)2a2(x6),显然x20,

2(x6)2(x6)

于是a,∵a是正整数,a1,即1,化简得x22x80,解得4x2(x2).当

(x2)2(x2)2

14

x4,3,1,0,1,2时,a1,6,10,3,,1.∵a是正整数,故a的值为1,3,6,10.解法

9

二:42a124a(a3)4(8a1)为完全平方数,故4(8a1)为奇数的平方.令

m2m

(8a1)(2m1)2,m是正整数,则a,于是,原方程可化为

2

m(m1)x24(m2m1)x4(m2)(m3)0,即mx（2m-2)(m1)x2(m3)0,解得

44

x2,x2,∴m4或（m1）4得m1,2,4或m1,3,故a的值位1,3,6,10.

1m2m1

A级

1.39942.13.14.19845.D6.B7.C8.D

1

xx1

12k

9.①当k0时，则x1，即k0为所求；②k0时,则,得(x1)(x1)3,由此可

112

xx1

12k

1

得k,或k1.

7

10.提示:方程①22,方程②根为,注意讨论.

n0x1x24n3n22n2,1n

11.a2,10,4

p21115

12.由韦达定理，得pq①，pq(pq)16②，pq0，pq0，为p,q正整数.由②

94

4p151,481,13,37

得16pq60(pq)162,即(4p15)(4q15)162152481,故,得

4q15481,1,37,13

p4,124,7,13，q124,4,13,7，代入①，即只有p13,q7满足条件.

B级

1.98

2.49,32,27,25,24,-25,8,-3,-1,0.

96

3.5提示:当k6时,解得x2.当k9时,解得x3.当k6且k9时,解得x,x.

19k29k

当6k1,3,9时,x1是整数，这时k7,5,3,15,3；当9k1,2,3,6时，x2是整数，这时

k10,8,11,7,15,3.综上所述,k3,6,7,9,15时,原方程的解为整数.

11

4.提示:将原方程整理为关于a的二次方程

6

x283x2

x27a2xa10,283x20,a,讨论枚举.

2(x27)

35

5.1,3,5提示:x2,x1.

1a2a

6.-2,或-6

1

7.A提示:a与时方程5x22001x90的两个不相等的实数根.

a

8.C

24

24

9.解得x11，x21，故k4，k2(x11,x21)，消去k得，

k4k2x11x21

10

xx3x20，即xx32，求得k6,3,.

x21123

10.设两连续正偶数为k,k2,则有9x223x2k(k2),即9x223x(k22k2)0,

x为有理数,则5656(k1)2为完全平方数,

令p2(p0),p26(k1)256511355651

也即p6(k1)p6(k1)11555651,

p6(k1)113p6(k1)565

于是得,或解得k8或k46,相应的方程的解为x2或

p6(k1)5p6(k1)1

41130

x与x17或x.总之,当x2或x17时,9x223x2恰为两个整数8或10,或者

99

46或48的乘积.

11.令q24p2n2(n为非负数),即（qn)(qn)4p2.∵1qnqn且qn与qn奇偶性

qn2qn4qnpqn