2025届山西省临汾市高三二模数学试题（原卷版+解析版）

姓名______准考证号______秘密★启用前临汾市2025年高考考前适应性训练考试（二）数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在本试题相应的位置.2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.2.若，则的范围是（）A. B. C. D.3.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为个圆，则该圆锥的母线长为（）A.4 B. C. D.4.记为等差数列的前项和，公差，且，则取得最小值时为（）A.2021 B.4039 C.2020 D.40405.已知圆上的点到直线的距离为，则满足条件的点的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.46.设，则（）A. B. C. D.7.已知函数，如图，是直线与曲线两个交点，若，则（）A0 B. C.1 D.28.在三棱锥中，，且二面角的大小为，则当该三棱锥的外接球体积最小时，（）A. B.3 C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上关于原点对称的两点，且，则（）A.B.四边形的周长为C.四边形的面积为D.椭圆的离心率的取值范围为10.函数的图象可以是（）A. B.C. D.11.已知数列满足：，则下列说法正确的是（）A.B.是单调递增数列C.若为数列前项和，则D.若对任意，都有，则三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.二项式的展开式的常数项是______.13.已知，函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是______.14.已知双曲线的左焦点为，过点且倾斜角为的直线与的左支交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则双曲线的离心率是______.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知分别为三个内角的对边，.（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使得为锐角三角形？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由.16.设抛物线焦点为，过的直线与相交于两点，是坐标原点.当的斜率为2时，.（1）求抛物线的方程；（2）若，求直线的方程.17.如图，在四棱锥中，底面为棱的中点，四面体的体积为的面积为.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离；（3）若，平面平面，点为棱上一点，当平面与平面夹角为时，求的长.18.已知函数，其中.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）求的单调区间；（3）当时，设的两个零点为，求证：.19.乒乓球体育俱乐部计划进行单打比赛，采用单淘汰制进行比赛，即每名选手负一次即被淘汰出局.现有8名乒乓球单打运动员随机编号到对阵位置，所有运动员在任何一场比赛中获胜概率均为.现有甲､乙两位孪生兄弟参赛.（1）求甲､乙在第一轮比赛过程中相遇的概率；（2）求甲､乙在比赛过程中相遇的概率；（3）为使得甲､乙两人在比赛过程中相遇的概率小于0.01，俱乐部计划增加运动员人数到名，对阵图和上图类似.（i）求甲、乙两人在第3轮比赛中相遇的概率（用含的式子表示）；（ii）求的最小值.

姓名______准考证号______秘密★启用前临汾市2025年高考考前适应性训练考试（二）数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在本试题相应的位置.2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的周期性以及复数的除法运算化简即可求解.【详解】,故选：B2.若，则的范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质即可求解.【详解】由可得，故，故选：D3.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为个圆，则该圆锥的母线长为（）A.4 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据圆锥的侧面积公式和圆的面积公式列出关系式，得到与的关系即可求解.【详解】设圆锥的底面半径为，母线为，由圆锥的侧面积公式可得，解得，因为，所以.故选：C.4.记为等差数列的前项和，公差，且，则取得最小值时为（）A.2021 B.4039 C.2020 D.4040【答案】C【解析】【分析】由题意可得数列前项全为负，从开始为正，可得结论.【详解】因为公差，所以数列单调递增，所以，又，所以，所以数列前项全为负，从开始为正，所以前项的和为的最小值，故.故选：C.5.已知圆上的点到直线的距离为，则满足条件的点的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】根据圆心到直线的距离与半径的关系即可求解.【详解】的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，故到直线的距离为的点共有4个，故选：D6.设，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】构造函数求导可证明，即可求解，进而根据指数以及对数的性质求解.【详解】记则，故当时，，故在单调递增，当时，，故在单调递减，故，因此对任意的，都有，当且仅当时取到等号，故，故，故，由于，因此，故选：A7.已知函数，如图，是直线与曲线的两个交点，若，则（）A.0 B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】根据可得，进而可求解，根据可得，即可代入求解.【详解】根据可得，故,故，令，故或,结合图象可知,因此故，因此故，故选：B8.在三棱锥中，，且二面角的大小为，则当该三棱锥的外接球体积最小时，（）A. B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】根据二面角的几何法可得，即可利用余弦定理以及正弦定理求解外接圆的半径，根据勾股定理可得球半径即可求解.【详解】由于且二面角的大小为，故为二面角的平面角，故，由于平面，故平面，设，则，在中，由余弦定理可得，则的外接圆直径，故外接球的半径当时，球的半径取得最小值,此时三棱锥的外接球体积最小，故.故选：A二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上关于原点对称的两点，且，则（）A.B.四边形的周长为C.四边形的面积为D.椭圆的离心率的取值范围为【答案】ABD【解析】【分析】根据给定条件，利用椭圆的对称性确定四边形的形状，再逐项判断即可.【详解】依题意，互相平分，且，则四边形是矩形，令其半焦距为c,对于A，，A正确；对于B，四边形的周长为，B正确；对于C，四边形的面积为，C错误；对于D，由以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆有公共点，得，即，解得，即离心率，D正确.故选：ABD10.函数的图象可以是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】对，，三种情况讨论判断即可.【详解】当是，，故A符合；当时，在上单调递减，且，故B符合；当时，由为上的单调递增函数，令，则，即，因为，可得，所以在上的单调递增函数，所以，所以有唯一解，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故D正确.故选：ABD.11.已知数列满足：，则下列说法正确的是（）A.B.是单调递增数列C.若为数列的前项和，则D.若对任意，都有，则【答案】ABC【解析】【分析】根据累乘法可得，即可判断A,根据即可求解B，根据裂项相消法即可求解C，根据单调性，对分奇偶即可求解D.【详解】由，可得，故,也符合，故，，A正确，由于，故，因此是单调递增数列，B正确，，故，C正确，由可定，当偶数时，则恒成立，由于单调递增，故，当为奇数时，则恒成立，由于单调递增，故，故对任意，都有，则，故D错误，故选：ABC三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.二项式的展开式的常数项是______.【答案】【解析】【分析】的展开式的通项为，令，求出，再代入通项公式计算即可.【详解】的展开式的通项为令，解得，所以展开式的常数项.故答案为：.13.已知，函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】分与两种情况讨论方程根的情况可求得实数的取值范围.【详解】因为函数有三个零点，即方程有三个解，当时，方程为，即，即，因为，所以，所以方程有两个根，又，所以有一个正根与一个负根，又，所以有一正的零点，当时，方程为，即因为函数有三个零点，所以方程有两个非正根，所以，解得，又，所以，所以实数的取值范围是.故答案为：.14.已知双曲线的左焦点为，过点且倾斜角为的直线与的左支交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则双曲线的离心率是______.【答案】##【解析】【分析】联立直线与双曲线的方程，求出点坐标，由给定关系求出离心率.【详解】设双曲线的半焦距为，则，直线方程为，由消去得，，设，则，于是点，，解得，所以双曲线的离心率.故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知分别为三个内角的对边，.（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使得为锐角三角形？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）存在，6【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角互化得，即可求解，根据余弦定理求解，即可根据同角关系，结合面积公式求解，（2）根据余弦定理即可求解.【小问1详解】由及正弦定理得：，又因为，所以，解得.所以.由余弦定理得：，由于所以，所以.【小问2详解】由，可知，，要使得为锐角三角形，则使角为锐角即可，即.且，即.由余弦定理得，则，解得，或，结合，故因为为正整数，所以的最小值为6.16.设抛物线的焦点为，过的直线与相交于两点，是坐标原点.当的斜率为2时，.（1）求抛物线的方程；（2）若，求直线的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）设的方程为，联立方程利用根与系数可得，求解即可；（2）法一，斜率不存在时，不符合题意，当斜率存在时，设的方程为，两点，与抛物线方程联立可得，结合向量的数量积可得，求解即可.法二，由题可知，直线斜率不为0，设的方程为，两点，与抛物线方程联立，可得，利用向量的数量积可得，求解即可.【小问1详解】当斜率为2时，设的方程为，联立，消得，，解得.故抛物线的方程为.【小问2详解】解法一：当垂直轴时，直线方程为，可得两点坐标分别为，所以，，由余弦定理可得，不符合题意，设的方程为，两点，联立，消得，显然成立，并有.，，由得，，解得.从而方程为或，即的方程为或.解法二：由题可知，直线斜率不为0，设的方程为，两点，联立，.消得，显然成立，并有，，，由得，，解得，从而方程为，故直线的方程为或.17.如图，在四棱锥中，底面为棱的中点，四面体的体积为的面积为.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离；（3）若，平面平面，点为棱上一点，当平面与平面夹角为时，求的长.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）取的中点，利用线面平行的判定，结合平行四边形性质推理得证.（2）由线面平行的判定证得平面，结合体积公式求出点到平面的距离即可.（3）取的中点，利用面面垂直的性质、线面垂直的判定证得，再建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解.【小问1详解】在四棱锥中，取的中点，连接，在中，由分别为的中点，得，又，则，即四边形为平行四边形，，而平面平面，所以平面.【小问2详解】设点到平面的距离为，由四面体的体积为的面积为，得，解得，而平面平面，则平面，所以点到平面的距离为.【小问3详解】取的中点，连接，由，得，由平面平面，平面平面平面，得平面，即，则，由平面平面，得，又平面平面，则，而平面，因此平面，又平面，则，而的面积为，，则，，由，得，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，设，则，，设平面的法向量为，则，取，得，设平面的法向量为，则，取，得，，由平面与平面的夹角为，得，解得，即为的中点，所以.18.已知函数，其中.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）求的单调区间；（3）当时，设的两个零点为，求证：.【答案】（1）（2）单调递增区间为，单调递减区间为（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）求导，利用导数分析函数的单调性即可；（3）结合（2）易得是是的一个较小的零点，不妨设，要证，只需证，转化问题为证，进而利用导数证明即可.【小问1详解】当时，，则，即，故所求切线方程为.【小问2详解】由，，则，令，则；令，则，故的单调递增区间为，单调递减区间为.小问3详解】当时，，由（2）知在上单调递增，在上单调递减，又是的一个较小的零点，不妨设，要证，只需证，因为，且在上单调递减，从而只需证即可.，令，在上单调递增.，即证，即证.19.乒乓球体育俱乐部计划进行单打比赛，采用单淘汰制进行比赛，即每名选手负一次即被淘汰出局.现有8名乒乓球单打运动员随机编号到对阵位置，所有运动员在任何一场比赛中获胜的概率均为.现有甲､乙两位孪生兄弟参赛.（1）求甲､乙在第一轮比赛过程中相遇的概率；（2）求甲､乙在比赛过程中相遇的概率；（3）为使得甲､乙两人在比赛过程中相遇的概率小于0.01，俱乐部计划增加运动员人数到名，对阵图和上图类似.（i）求甲、乙两人在第3轮比赛中相遇的概率（用含的式子表示）；（ii）求的最小值.【答案】（1）（2）（3）（i）（ii）8【解析】【分析】（1）先设甲的位置固定，进而分析求解即可；（2）甲乙相遇包括三种情况：甲乙第一轮相遇，甲乙第二轮相遇，甲乙第三轮相遇，进而求解即可；（3）（i）当人数增加到，则固定甲的位置后，乙有个选择，进而分析求解即可；（ii）解法一：记比寒的轮次为本件，甲乙在比