浙江省温州市2025年高考数学二模试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页浙江省温州市2025年高考数学二模试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.双曲线y2a2−x2=1(a>0)A.3 B.33 C.32.扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于(

)A.1 B.32 C.3 D.3.已知随机变量ξ～N(3,4)，则“a=3”是“P(ξ<a)=12”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.若向量a，b满足|b|=3，a⋅b=−6，则a在A.−12b B.−13b5.已知数列{an}满足an=an+1−1,nA.[2,4] B.[1,3] C.[3,5] D.[5,9]6.某班级有30名男生和20名女生，现调查学生周末在家学习时长(单位：小时)，得到男生样本数据的平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全体学生周末在家学习时长的平均值x和方差s2的值分别是(

)A.x−=9.5,s2=1.5 B.x−7.已知函数f(x)=sinx，g(x)=cosx，则两个函数的图象仅通过平移就可以重合的是(

)A.y=f(x)−g(x)与y=f(x)

B.y=[f(x)]2−[g(x)]2与y=f(x)g(x)

C.y=f[f(x)]与y=f[g(x)]8.一个圆台形的木块，上、下底面的半径分别为4和8，高为3，用它加工成一个与圆台等高的四棱台，棱台下底面为一边长等于9的矩形，且使其体积最大.现再从余下的四块木料中选择一块车削加工成一个球，则所得球的半径最大值是(    )(加工过程中不计损耗)A.710 B.34 C.1 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知二项展开式(1−x)2025=aA.a0=1 B.a1+a210.在四棱锥P−ABCD中，E，F分别是AP，BC上的点，AEEP=BFFC，则下列条件可以确定EF//平面PCDA.AD//BC B.AB//CD C.BC//平面PAD D.CD//平面PAB11.甲乙两人用《哪吒2》动漫卡牌玩游戏.游戏开局时桌上有n盒动漫卡牌，每个盒子上都标有盒内卡牌的数量，每盒卡牌的数量构成数组(a1,a2,…,A.(1,3) B.(1,2,3) C.(3,3,6) D.(3,4,5)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若复数a2−2a+ai是纯虚数，则实数a=______．13.已知A是抛物线y2=4x在第一象限上的点，F是抛物线的焦点，∠AFO=60°(O为坐标原点)，则抛物线在A处切线的斜率是______．14.函数f(x)满足：

①f(1)=25；

②∀x，y∈R，2xf(y)−2yf(x)≥(四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在三棱锥P−ABC中，△PBC是边长等于2的正三角形，∠ACB=90°，M为AB的中点．

(1)求证：BC⊥PM；

(2)若AC=23,cos∠ACP=−316.(本小题15分)

PageRank算法是Google搜索引擎用来衡量网页重要性的一种经典算法.其核心思想是通过分析网页之间的链接关系，评估每个网页的相对重要性.假设一个小型的互联网由A，B，C，D四个网页组成，它们之间按图中的箭头方向等可能地单向链接，假设某用户从网页A开始浏览(记为第1次停留)．

(1)求该用户第3次停留在网页D上的概率；

(2)某广告公司准备在网页B，C中选择一个投放广告，以用户前4次在该网页上停留的平均次数作为决策依据.试问该公司应该选择哪个网页？请说明理由．17.(本小题15分)

已知函数f(x)=ln(x+1)+axx+1(a∈R)．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)在区间(−1,0)上恰有一个零点，求a的取值范围；

(3)当18.(本小题17分)

在平面直角坐标系xOy中，已知点F(−1,0)，P是直线l：x=−8右侧区域内的动点，P到直线l与y轴的距离之和等于它到点F距离的4倍，记点P的轨迹为E．

(1)求E的方程，并在图中画出该曲线；

(2)直线l′过点F，与E交于A，B两点，

(i)若|AB|=92，求直线l′的方程；

(ii)若|AB|=4，T是点F关于y轴的对称点，延长线段AT交E于点C，延长线段BT交E于点D，直线CD交x轴于点M(m,0)，求m19.(本小题17分)

给定正数t与无穷数列{an}，若存在N∈N∗，当m>n≥N时，都有|an+1+an+2+…+am|<t，则称数列{an}具有性质P(t)．

(1)求证：数列{12n}具有性质P(12025)；

(2)若无穷数列{an}具有性质P(1)，求证：存在正数M，使得|an|<M(n∈答案解析1.【答案】A

【解析】解：因为双曲线y2a2−x2=1(a>0)的一个焦点为(0,2)，

所以c2=a2+1=4，所以2.【答案】C

【解析】解：设圆心角为α，

因为扇形的半径等于2，面积等于6，

所以S=12α⋅R2=2α=6，解得α=3．

故选：3.【答案】C

【解析】解：已知随机变量ξ～N(3,4)，则该正态分布曲线的对称轴为μ=3，

若a=3，则P(ξ<a)=12，则充分性成立，

又P(ξ<a)=12，则a=3，则必要性成立，

则“a=3”是“P(ξ<a)=12”的充要条件．

故选：4.【答案】D

【解析】解：因为|b|=3，a⋅b=−6，

所以a在b上的投影向量为a⋅b|b5.【答案】B

【解析】解：设a4=m，则m∈[2,3]，

因为an=an+1−1,n为奇数2an+1,n为偶数，

所以a3=m−1，a2=2(m−1)=2m−2，

所以a1=2m−3∈[1,3]6.【答案】D

【解析】解：由题意，该班级全体学生周末在家学习时长的平均值为x−=3030+20⋅8+2030+20⋅212=2457.【答案】C

【解析】解：对于A，y=f(x)−g(x)=sinx−cosx=2sin(x−π4)，y=f(x)−g(x)的振幅为2，仅通过平移无法与y=f(x)=sinx的图象重合；

对于B，y=[f(x)]2−[g(x)]2=sin2x−cos2x=−cos2x的振幅为1，y=f(x)g(x)=sinxcosx=12sin2x的振幅为12，仅通过平移两函数的图象无法重合；

对于C，8.【答案】C

【解析】解：O1为上底面圆心，O为下底面圆心，记棱台为ABCD−A1B1C1D1，

棱台最大时，上下边之比为48=12，

不妨设A1B1=9，则B1C1=57>9，

所以球在BCC1B1与圆台围成部分可更大，

记B1C1中点为N，BC中点为M，OM交上底面圆于P，O1N交下底面圆周于Q，

设球半径最大为r，球心为T，则如图，球与PQ，NQ，MN相切，

9.【答案】ACD

【解析】解：A：令x=0，则a0=1，故A正确；

B：令x=1，则a0+a1+a2+...+a2025=0，所以a1+a2+...+a2025=−1，故B错误；

C：二项式(1−x)2025的展开式中含x项的系数为a1=C20251⋅12024⋅(−1)1=−2025，

含x2024项的系数为a2024=C20252024⋅11⋅(−1)202410.【答案】BD

【解析】解：如图，过E点作EG/​/PD交AD于点G，连接GF，即有EG/​/平面PCD，

由于△AEG∽△APD，所以AGGD=AEEP=BFFC，

若AB/​/CD，则GF/​/CD，又GF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，

所以GF/​/平面PCD，由EG∩GF=G，EG、GF⊂平面EGF，

得平面EGF/​/平面PCD，又EF⊂平面EGF，

所以EF/​/平面PCD，故B正确；

若CD/​/平面PAB，又因为平面ABCD∩平面PAB=AB，

所以CD/​/AB，由B可知D正确；

假设EF/​/平面PCD，设平面EFP∩CD=H，则EF//PH，

若BC/​/平面PAD，平面ABCD∩平面PAD=AD，

所以BC/​/AD，

反之若BC/​/AD，当且仅当BC/​/平面PAD，即A、C同时正确或错误；

若BC/​/AD，可能AB/​/CD，也可能AB与CD相交，

若AB与CD相交，由AGGD=BFFC知延长FG必与AB、CD交于同一点O，

由几何关系知EF与PH不平行，故A、11.【答案】ACD

【解析】解：将每盒卡牌中的卡片数量转为二进制数，再进行亦或求和(0+0=0,1+1=0,0+1=1,1+0=1)，

若初始条件是全零，则乙有必胜策略，反之则甲有必胜策略，保持操作之后是全零状态．

A项：(1,3)⇒10非全零，甲胜：从第2盒中拿2个，故A符合题意；

B项：(1,2,3)⇒00全零，乙胜，故B不符合题意；

C项：(3,3,6)⇒110非全零，甲胜：拿走第三盒，故C符合题意；

D项：(3,4,5)⇒010非全零，甲胜：从第1盒中拿2个，故D符合题意；

故选：ACD．

将每盒卡牌中的卡片数量转为二进制数，再进行亦或求和(0+0=0,1+1=0,0+1=1,1+0=1)，若初始条件是全零，则乙有必胜策略，反之则甲有必胜策略，保持操作之后是全零状态．

本题考查排列组合的综合应用，属于中等题．12.【答案】2

【解析】解：因为复数a2−2a+ai是纯虚数，

所以a2−2a=0a≠0⇒a=2．

故答案为：13.【答案】3【解析】解：已知A是抛物线y2=4x在第一象限上的点，F是抛物线的焦点，∠AFO=60°(O为坐标原点)，

设A(x0,y0)，

则y01−x0=3，

即y01−y024=3，

3y02+4y0−43=0，

又x0>0，y0>0，

则y0=14.【答案】12【解析】解：因为f(1)=25，∀x，y∈R，2xf(y)−2yf(x)≥(4x−4y)f(x)f(y)．

设f(x)max=t且f(m)=t，

令x=m，y=1，

则有2m⋅f(1)−2f(m)≥(4m−4)⋅f(m)⋅f(1)，

即25⋅2m−2t≥(4m−4)⋅25t，

设2m=p15.【答案】证明见解答；

32．【解析】解：(1)证明：作BC中点N，连接AN，PN，MN，则MN//AC，

又因为AC⊥BC，所以NM⊥BC，

又因为△PBC是正三角形，且N为BC中点，因此PN⊥BC，

因为PN∩MN=N，PN，NM⊂平面PNM，所以BC⊥平面PNM，

又因为PM⊂平面PNM，所以BC⊥PM．

(2)由题知∠PCB=60°，PN=PC2−CN2=3，AB=CB2+CA2=4，

所以BM=2．

在△ACP中，AC=23,PC=2,cos∠ACP=−34，

由余弦定理得：AP=PC2+AC2−2PC⋅ACcos∠ACP=22，

在△PBA中，由余弦定理得：cos∠PBA=BP2+AB2−AP22BP⋅AB=−18，

所以PM=BP2+B16.【答案】12；

该公司应该选择C网页，理由见解析．【解析】解：(1)因为A→B、A→C；B→C、B→D；C→A、C→D；D→A、D→B、D→C，

所以第3次停留在网页D上的事件有A→B→D、A→C→D，

则该用户第3次停留在网页D上的概率P=12×12+12×12=12；

(2)易知A→B、A→C；B→C、B→D；C→A、C→D；D→A、D→B、D→C，

所以P(A3)=12×12=14，P(B3)=0，P(C3)=12×12=14，P(D3)=12，

所以P(B4)=14×1217.【答案】当a≥0时，f(x)在定义域内单调递增；

当a<0时，f(x)在(−1,−1−a)上单调递减，在(−1−a,+∞)上单调递增．

(−1,0)．

x=5【解析】解：(1)因为f(x)=ln(x+1)+axx+1(x>−1)，

所以f′(x)=1x+1+a(x+1)2=x+1+a(x+1)2(x>−1)，

当a≥0时，因为x>−1，所以x+1+a≥x+1>0，即f′(x)>0，f(x)在定义域内(−1,+∞)单调递增；

当a<0时，由f(x)<0=−1<x<−1−a；由f′(x)>0⇒x>−1−a．

所以f(x)在(−1,−1−a)上单调递减，在(−1−a,+∞)上单调递增．

综上，当a≥0时，f(x)在定义域内单调递增；

当a<0时，f(x)在(−1,−1−a)上单调递减，在(−1−a,+∞)上单调递增．

(2)由(1)知，当a≥0时，f(x)在(−1,+∞)内单调递增，且注意到f(0)=0，

因此f(x)在区间(−1,0)上无零点；

当a<0时，考虑到f(0)=0，为使(−1,0)内有零点，则极小值点小于零，即−1−a<0⇒a>−1，

结合a<0，则a的取值范围为(−1,0)．

(3)由题，f′(x)−f(x)=−ax2+(1−a)x+1+a(x+1)2−ln(x+1)，记上式为g(x)，

则g′(x)=−(a+1)x+1+3a(x+1)3<0,g(x)在定义域内单调递减，

因此g(x)=5−12−ln5+12，仅有一个解，

注意到待求方程g(x)=5−12−ln5+12=5−12+ln18.【答案】答案见解析；

(i)y=±34(x+1)；

【解析】解：(1)因为点F(−1,0)，P是直线l：x=−8右侧区域内的动点，P到直线l与y轴的距离之和等于它到点F距离的4倍，

设P(x,y)，

则有x+8+|x|=4(x+1)2+y2，