【阶矩阵的线性变换及其应用研究8200字（论文）】

n阶矩阵的线性变换及其应用研究目录TOC\o"1-3"\h\u1.绪论 11.1矩阵的历史背景，以及矩阵的线性变换的意义 11.2国内外研究情况 22.矩阵的线性变换 32.1矩阵 32.2矩阵的线性变换 52.3恒等变换矩阵 92.4伸压变换矩阵 102.5旋转变换矩阵 103.矩阵的线性变换的应用 113.1线性变换在中学教学中的背景 113.2矩阵的线性变换在中学教学中的可行性 123.3实例 144.结束语 18参考文献 19摘要：矩阵是数学中比较重要的内容，它是线性代数的核心，所以它在矩阵变换中是是较为重要的运算，而线性变换在线性代数中其理论具有比较深刻的意义，是最基本的概念之一.矩阵的线性变换在各个领域的实际应用中都发挥着重要的地位，在解决线性代数时合理运用矩阵的线性变换的解题思路，不但会提高解题的速度，而且还会提高解题的灵活性等.本文将从矩阵的线性变换，及在其所对应的变换矩阵的几何形式下，给出相应的实例，让学生对线性代数理解更加深刻，从而在其根本上理解矩阵的线性变换.关键词：矩阵；矩阵的线性变换；变换矩阵；1.绪论1.1矩阵的历史背景，以及矩阵的线性变换的意义在国内《高等代数》教材中其在概括矩阵理论时，多数编者都将矩阵描述为“数排成的表”.而《古今数学思想》一书中讲述道，“矩阵”一词是由Sylvester首先使用的，他的想法实际上是希望引用数的矩形阵列，但又不能再继续使用这个行列式一词的时候”[[]莫里斯·克莱因．古今数学思想:第3册[M]上海:上海科学技术出版社，2002:208．]，矩阵这一概念说明应该描述为“数的矩形阵列”.可以看到这一描述比“数排成的表”又更为合适.在莫里斯·克莱因在其著作《古今数学思想》中对于矩阵的起源同样作出了比较完整的解释证明，由此他[]莫里斯·克莱因．古今数学思想:第3册[M]上海:上海科学技术出版社，2002:208．的方便的方法而来的”，所以矩阵这一概念可能是来源于行列式或方程组，再由行列式和方程组理论的推动了矩阵理论的发展.线性代数在工程与应用数学上的应用较为广泛，其主要研究的是维向量空间、线性变换、矩阵、行列式等.在《线性代数》中上它是这样对矩阵进行定义的：矩阵是由个数构成一个行列的数表，这让很多人对这个数表的定义了解不透彻，导致多数大学生在学习一些与其相关的线性代数的理论之后，对矩阵的定义才能够加深理解和实际运用到具体的问题.从而让初学者的逻辑推理能力，抽象思维能力及其计算能力等都有着很大的提升，这对初学者去运用知识来分析问题和解决问题，及其思维品质的提升都有着很大的帮助.就对于线性代数来说其知识就比较抽象，更具有很强的逻辑性，在学习时就会感到线性变换理论知识抽象难以理解和运用，我们不妨通过利用几何图形加以引导，以达到直观地去理解线性变换理论的基本概念及其性质，加深了我们对线性变换的理解和知识的运用[[]吴明月，李万东，曹福军.矩阵与线性变换几何意义的教学探索[J].内蒙古科技大学理学院，2018.7.].最后，本文将从矩阵的线性变换，及在其所对应的变换矩阵的几何形式下，给出相应的实例来帮助初学者提高学习效率，激发其学习的兴趣，再从图形联系实际的角度去理解和掌握线性变换的基本概念和性质，这有利于帮助我们建立线性变换有一个初步的感性认识，从而具备解决一些比较抽象又较为复杂矩阵的线性变换问题的能力.[]吴明月，李万东，曹福军.矩阵与线性变换几何意义的教学探索[J].内蒙古科技大学理学院，2018.7.1.2国内外研究情况矩阵的概念及其性质是解决线性代数问题中较为重要的数学工具之一，在国内外都有关于对矩阵的研究，例如英国数学家Sylvester最先就使用了“矩阵”这一词，Sylvester与矩阵论的创立者凯莱因共同发展了行列式的理论.在十八世纪，莫里斯·克莱因发表第一篇论文《矩阵论的研究报告》.从这之后，国内外有了就很多关于矩阵的研究报告，例如张贤达在其所著的《矩阵分析与应用》这一书中，介绍了有关于矩阵初等变换的内容在矩阵方程中具体的应用方法，在书中第四章中就提到了Householder变换及Givens旋转应用.而在其它外文的文献中也有提及关于矩阵变换的内容，如文献中美国著名的约翰斯·霍普金斯大学的Roger.Horn和威廉姆和玛丽学院的Charles.Johnson联合编著的《矩阵分析》一书中就主要涉及到的内容就是矩阵变换相关的应用[[]Roger.Horn，Charles.Johnson.矩阵分析[M].机械工业出版社，2005.4.1.].可以看到，众多数学家在为解决矩阵相关的理论和矩阵的各个领域都作出了巨大贡献和牺牲，这给矩阵变换的发展和硏究都取得了极大[]Roger.Horn，Charles.Johnson.矩阵分析[M].机械工业出版社，2005.4.1.矩阵理论早已被广泛的应用到现代科技的各个领域中，同时它也是高等代数中将初等理论性作为最重要的学习内容之一，因此，矩阵理论在科技发展上和教育教学中都发挥着及其重要作用.所以，我们研究矩阵的发展史和其思想背景都有着重要的现实意义.在众多的数学教材编写中，其实教材的编写是要求在内容上必须得具有科学性与教育需求性相结合，它是将数学史的一些典型数学材料按照特定的思维逻辑思维和一定的知识体系加以取舍编纂而成的.而对于矩阵这门学科一直以来它都是各门学科的基本工具之一，近年来关于矩阵变换的研究，许多繁琐复杂的问题都得到了一系列的简化，这给我们的生活得来了极大的利益，不仅丰富了电子信息设备以及在航空领域上的发展，还让更多的数学家融入到矩阵变换的研究队伍中，这使得矩阵变换的理论逐渐趋于完善，且应用到更多的领域中.最后，本文将对矩阵的线性变换中一些比较常规的应用，简单阐述矩阵变换的基本概念及其性质，从而运用矩阵变换理论来解决实际问题.2.矩阵的线性变换2.1矩阵定义2.1.1由个数组成了一个行列的表，如下：叫作一个行列（或）矩阵，叫作这个矩阵的元素.定义2.1.2矩阵的行或列的初等变换指的是：（1）交换矩阵的两行或两列；（2）用一个非零的常数乘以矩阵的某一行或某一列，也就是用一个非零的常数乘以矩阵的某一行或某一列的每一个元素；（3）用任意一个常数乘到矩阵的某一行或者某一列后，再将这某一行或者这某一列加到这个矩阵其中的的另一行或者另一列，也就是说用任意一个常数乘以矩阵的某一行或某一列的每一个元素后，再把这某一行或者这某一列加到这个矩阵其中的另一行或者另一列相对应的各个元素上.定理2.1.3设是一个行列的矩阵：.实施行初等变换后，的第一种列初等变换形式为：行（1）进而化为以下形式：（2）这里的，，，表示矩阵的各个元素，矩阵内不同位置上的元素表示的元素是不相同的.证明：若矩阵的元素都为零，显然矩阵（1）的形式是成立的.令某一不为零，可以交换矩阵的行和列，使这些元素在矩阵的左上角，再用乘以第一行后，用其余各行来分别减去第一行中的适当倍数，即可以得到矩阵为：.若矩阵的第一行的元素都为零，可以发现矩阵具有（1）的形式.我们不妨设在矩阵的后行中存在一个非零的元素，在第二行第二列的交点处位置的元素换为，这时按照与以上同样的变换方法可以把矩阵化为：.依次按照这样的化解步骤方法，最终结果可以化解得到一个形如矩阵（1）的形式.而形如矩阵（1）通过变换可以得到形如矩阵（2）的形式，只要把第一行到第行分别减去第行中的适当的倍数，再由第一，第二，，第行分别减去第行中的适当的倍数等等，最后可以得到一个形如（2）的矩阵.注意这里没有把矩阵直接化为矩阵（2），而是先把它化为矩阵（1），再化为矩阵（2），是因为这样计算程序比较整齐而计算量也比较小.定义2.1.4，，分别表示某一的矩阵，和表示数域中的任意数，则数域上的数与数域上一个矩阵的乘积为，指的就是矩阵，求数与矩阵作乘积的这种运算方法就称为数与矩阵的乘法.把两个矩阵矩阵，作和来运算，也就是，它指的就是矩阵，求两个矩阵和的这种运算方法就称为矩阵的加法.需要注意的是：只有当行数相同，列数相同的两个矩阵才能进行作和相加运算.由定义2.1.4，我们可以推出以下几种运算规律：，，，，，，.定义2.1.5数域上矩阵与矩阵的乘积指的是这样的一个矩阵，这个矩阵的第行第列的每一元素非别是矩阵的第行和矩阵的第列所对应每一元素作乘积运算的和的结果：.需要注意的问题是，只有当第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相同的情况下时，我们才能把这两个矩阵相乘.2.2矩阵的线性变换定义2.2.1数域上向量空间到自身的一个映射叫做线性变换，若满足：①对于任意，，;②对于任意，.假设对于的每一向量定义，是到的一个映射.我们证明，是一个线性映射.证明:①设，是的任意两个向量，则.②设，，则因此是到的一个映射.定义2.2.2设是数域上的维线性空间的一个基，,基向量的象可由基来线性表示：我们可以利用矩阵等式的形式把基向量的象写成：其中所以我们就把矩阵称为线性变换在数域上的维线性空间的一个基下的矩阵．定理2.2.3设数域上的维向量空间为，的一个线性变换是，而线性变换是关于向量空间的一个基的矩阵是.如果向量空间中存在向量关于这个基的坐标是[[]张禾瑞，郝鈵新.高等代数（第五版）[M].高等教育出版社，2007.6.],此时的坐标是，则有[]张禾瑞，郝鈵新.高等代数（第五版）[M].高等教育出版社，2007.6..证明：设是数域F上维向量空间，则令是的一个线性变换，取定的一个基考虑中任意一个向量.仍是的一个向量，设（3）在这里如何来计算的坐标，令，（4）.这里，就是关于基的坐标.设.这种n阶矩阵我们把它叫作线性变换关于的一个矩阵，关于基的坐标就是这个矩阵的第列的元素，则取定上的维向量空间的每一线性变换，存在唯一确定的上阶矩阵与它对应.为了方便计算关于基的坐标，所以把等式（3）写成矩阵形式的等式=（5）设因为是线性变换，所以（6）=.将（5）代入（6）得最后等式说明了关于的坐标所组成的列是.比较等式（5），则满足定理要求.2.3恒等变换矩阵定义2.3.1在平面内上的任意一点或任意一向量（或平面图形）施以矩阵对应的变换，都变换为其本身.这种比较特殊的矩阵我们把它叫做恒等变换矩阵（单位矩阵）[[]张英伯.对称中的数学[M]北京:科学出版社，2011:38-43．][]张英伯.对称中的数学[M]北京:科学出版社，2011:38-43．定理2.3.2设，若将该图形经过矩阵的变换，则方程仍为证明：设在图形中任取一点，其坐标为，存在矩阵的变换，则即证毕.2.4伸压变换矩阵定义2.4.1对平面内上的任意一点或任意一向量（或平面图形）施以矩阵对应的变换（其中，是非零正常数），即：伸压变换矩阵对应的变换我们把它称之为伸压变换.定理2.4.2设，若将该图形经过矩阵的变换，则方程变为证明：已知，存在矩阵的变换，不妨设方程为曲线上任意一点，为圆上任意一点，则即证毕.2.5旋转变换矩阵定义2.4.1平面上的任意一点或任意一向量（或平面图形）施以矩阵的变换，则对应的变换我们称之为旋转变换.即：=经过绕原点逆时针旋转度角得到的变换公式是，其中我们把旋转角称为，旋转中心为.这种旋转变换方法在图形位置上改变了，而图形的形状仍不变动，这是因为一个图形的形状是通过图形形状中心点以及旋转角度的度量来共同决策的.在这里我们特别要注意的问题是，通过绕图形的一个定点旋转的图形变换相当于作图形的中心反射变换（见如下：图1和图2）.图1旋转变换图2旋转变换定理2.5.2设，若将该图形经过矩阵的变换，则方程变为.证明：在图形中任取一点，设其坐标为，经过矩阵的变换，即所以证毕.3.矩阵的线性变换的应用3.1线性变换在中学教学中的背景根据社会的进步和发展，我国在2003年颁布了《普通高中数学课程标准（实验）》（简称《标准》），在有关选修系列课程中简单初步的介绍了矩阵与变换、数列和差分、风险和决策、布尔代数、优选法以及试验设计初步法等内容.而矩阵与变换是代数学中最基本的内容，从中学数学教材改革来看，对怎样将矩阵理论应用内容贯穿于代数教材及怎样通过运用变换的理论概念来编纂的，利用矩阵的线性变换来表示这部分内容，对于目前来说，在运用理论知识和探索新知上它确实是有效的.在学习有关矩阵时可以将图形（向量）作为变换的基本工具来使用，如在我们身边的电子信息设备和数学模型等领域中的发展都可以通过利用矩阵的线性变换来进行表示，由此可见，矩阵的线性变换应用之广泛.不妨举一例来看，在矩阵上建立的线性变换也就是我们常见的在平面上的坐标变换，这其实矩阵起着“对应法则”的作用，如用二阶矩阵确定的变换来构造映射，使得平面上的点（向量）变成（对应）点（向量）这种映射的对应法则就是其左边乘，这样的一个线性变换过程，我们就称矩阵为变换矩阵.线性变换的应用就较为广泛，在新课改之后，不仅要求要会灵活的运用学科基础知识解决相关的问题，还要利用闲暇之余学习感兴趣的知识点，让每个人都可以得到较为全面地发展和锻炼的机会.近几年以来，有些国家早就在中学中就涉及到线性变换这部分知识的讲授了，如何去运用变换的思想方法来解决实际问题是一个重要的考点，这就要求我们应当掌握的一些必要的解题思想方法.在《普通高中数学课程标准（实验）》中给我们讲述了可以利用几何图形的变换形式去理解什么是变换，以及带领我们讨论了线性变换的基础知识理论和基本的变换思想方法.开设线性变换选修课的初衷是希望对线性变换的思想方法有一个初步了解和掌握，这对以后学习矩阵理论来讲是有帮助的.3.2矩阵的线性变换在中学教学中的可行性通过对矩阵的线性变换的学习,在有限维线性空间中，取定一个基，则这个基中向量的运算法则和向量之间的关系的讨论就可以转化成为向量坐标的问题.同样的方法，不妨取定有限维线性空间的一个基，则基的线性变换的问题也可转化成为该矩阵的讨论.从线性变换所研究的角度和内容来看，大学的线性变换其实指的是把线性变换作为代数运算的一种法则，而在中学的选修系列课程标准教材中给我们呈现的是可以把线性变换表示成一种几何变换，线性变换具体的内容其实我们可以把它看作是研究代数的运算定理及其线性代数的基本概念理论性质，这样看起来似乎十分抽象且难以理解掌握，从直观上让人觉得它的运算量和容量比较繁琐，因此在中学的选修系列课程标准教材中就涉及到了矩阵与变换是通过线性变换的几何性质来作用的，并且通过典型案例来探索线性变换的具体性质及其实例的应用作用，又因为这仅限于研究平面内的线性变换问题，导致难以直接理解线性变换理论的意义.所以说，在中学这个阶段中要掌握矩阵变换理论这些知识点，需要学生通过了解矩阵与变换的基本理论和产生变换思想模式，才能具备进一步的深入学习，当然，学习的内容不仅限于书本上的相关知识，也可以通过教师传授基本的知识理论后，再要求学生通过自主练习，并从中有所收获.在中学阶段学习这一部分内容的目的是让学生对线性变换进行一个初步了解和掌握，形成一定的数学思维，而不是让学生训练数学上的一些计算的技巧和计算的方法。在线性变换中，一般情况下，平面内不同的点所变成的点是不相同的，它具有唯一性，并且在其平面内的每一点都是由平面内的某一个点所对应变成的，这就说明了平面内的点具有的一个变换.下面我们具体来看空间中向量的变换，我们设就是数域上的一个向量空间，向量空间到它本身的一个线性映射我们称之为的一个线性变换，并且线性变换是一个一一映射的变换.目前在中学阶段我们所涉及及认识到的线性变换是，通过一个平面直角坐标系中，把形如这组方程组（为常数）的几何变换形式称之为线性变换[[]安淑华.数学教育中的行动研究[J].数学教育学报，2002.].[]安淑华.数学教育中的行动研究[J].数学教育学报，2002.伸缩变换和旋转变换其实也是中学几何中常见的一种线性变换，下面我们不妨利用例题来运用伸缩变换的思想方法来巧解椭圆中的最值问题，如对椭圆，进行伸缩变换，椭圆就变成了圆的方程，即：，可以看到变换下一一对应椭圆在形状上发生了一定改变，然而对应的椭圆面积的比是一个定值，即变换之前的椭圆面积是，变换后对应的椭圆面积为，即有，由于伸缩变换之后它所对应的椭圆面积比仍然是一个不变值，也就是说这个值是一个定值，所以我们就可以通过利用圆的方程问题求解和平面的线性几何性质求解与椭圆相关面积的最值问题了.再来看旋转变换问题，它是把平面图形绕这个平面内上的一个定点旋转，就存在了一个定角，记为，这时就可以得到一个与原来相同的图形，其中图形的形状与大小都保持不变，记旋转中心为，记为旋转角，当旋转角时，我们把它称之为中心对称变换，所以可以说是旋转变换有一种比较特殊的变换就是中心对称变换[[]桂文通.旋转变换及其应用[J].中学数学教学参考，2003.[8]窦永梅.利用伸缩变换巧解椭圆最值问题[J].上海中学数学，2010:1-2.[9]凌蕾花，卜玉成.矩阵在“高等代数”中的应用基础分析[J].2012.1.[10]加黑蒂.数学拾遗[M].北京:清华大学出版社,2004:08.[11]刘明月，刘彦明.浅谈矩阵[J].西安财经学院行知学院，2016.10.[[]桂文通.旋转变换及其应用[J].中学数学教学参考，2003.[8]窦永梅.利用伸缩变换巧解椭圆最值问题[J].上海中学数学，2010:1-2.[9]凌蕾花，卜玉成.矩阵在“高等代数”中的应用基础分析[J].2012.1.[10]加黑蒂.数学拾遗[M].北京:清华大学出版社,2004:08.[11]刘明月，刘彦明.浅谈矩阵[J].西安财经学院行知学院，2016.10.[12]贾璐，姚光同．矩阵代数上的几种线性变换及其相互关系[J].高等数学研究，2018，21(1):41-43.[13]张贤达.矩阵分析与应用[M].北京：清华大学出版社，2004.9.[14]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准试验教科书.矩阵与变换（选修4-2）[M].人民教育出版社，2008，12:0-11.[15]洪杰.浅谈矩阵与变换[J].科技资讯，2008.[16]彭玉忠.“矩阵与变换”引入中学数学的意义及应用[J].河北北方学院学报（自然科学版），200.3.3实例例1求矩阵解应用定义2.1.6可知.例2求的线性变换：在基下的矩阵.解应用定理2.2.3可知所以在基下的矩阵是.采用矩阵形式的写法为：.例3在一个正方形中任取一点，设它的坐标为，则通过恒等变换后坐标应为？解由题意，应用定理2.3.2可知（见图3）.图3例4一个圆的方程为，若在此基础上施以矩阵变换作用后，圆的方程会变换成什么样的方程？图形会不会变？解设点为所求曲线上的任意一个点，点为一个圆上的任意一个点，则由定理2.4.2得所以，化解得，再将其代入得，变形后得到，此曲线为椭圆方程（见图4）.图4伸压变换例5已知三点，，是一个三角形，现在求此三角形绕原点作逆时针旋转之后所得到的图形，并求出顶点的坐标是多少？（见图5）.解由定理2.5.2知=，得到，，图5旋转变换例6设、、是椭圆上的三点，求三角形面积的最大值.解对椭圆进行伸缩缩变换以后得到，椭圆就变成了一个圆，即：，这时可以看到椭圆的内接三角形就变成了圆的内接三角形，此时圆的内接正三角形的面积为最大，从而三角形面积的最大值为，可以看到在椭圆中,由伸缩变换得到了多边形面积比的不变性我们可以得到:三角形面积的最大值就是.例7在三角形中，作为的中点，分别将、延长到点点，使得，过、分别作、的垂线，相交于点.求证:.(全国初中数学联赛题)解如图6:图6延长到，使，连接由，，可得.所以，.又因为，所以四点共圆，且，又由，可知，且，从而有（1）又由于，可知三角形为直角三角形，且，所以（2）