初中数学自主招生难度讲义-9年级专题24 平面几何的定值问题

专题24平面几何的定值问题

【阅读与思考】

所谓定值问题，是指按照一定条件构成的几何图形，当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内

变化时，与它有关的元素的量保持不变（或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变）.

几何定值问题的基本特点是：题设条件中都包含着变动元素和固定元素，变动元素是指可变化运动

的元素，固定元素也就是“不变量”，有的是明显的，有的是隐含的，在运动变化中始终没有发生变化

的元素，也就是我们要探求的定值.

解答定值问题的一般步骤是：

1.探求定值；

2.给出证明.

【例题与求解】

⌒PAPC

【例1】如图，已知P为正方形ABCD的外接圆的劣弧AD上任意一点.求证：为定值.

PB

解题思路：线段的和差倍分考虑截长补短，利用圆的基本性质，证明三角形全等.

【例2】如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD

⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P（）

A.到CD的距离保持不变B.位置不变

⌒

C.等分DBD.随C点的移动而移动

（济南市中考试题）

解题思路：添出圆中相关辅助线，运用圆的基本性质，用排除法得出结论.

【例3】如图，定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动，M是ST的中点，P是S对AB作垂线

的垂足.求证：不管ST滑到什么位置，∠SPM是一定角.

（加拿大数学奥林匹克试题）

解题思路：不管ST滑到什么位置，∠SOT的度数是定值.从探寻∠SPM与∠SOT的关系入手.

1

⌒

【例4】如图，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°.点C是AB上异于A，B的动点，过点C

作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E.连接DE，点G，H在线段DE上，且DG=GH=HE.

（1）求证：四边形OGCH是平行四边形；

⌒

（2）当点C在AB上运动时，在CD，CG，DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段

的长度；

（3）求证：CD2+3CH2是定值.（广州市中考试题）

解题思路：延长OG交CD于N，利用题中的三等分点、平行四边形和三角形中位线的性质，实现把线

段ON转化成线段CH的倍分关系，再以Rt△OND为基础，通过勾股定理，使问题得以解决.

【例5】如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A，B两点，交

y轴于C，D两点，且C为弧AE的中点，AE交y轴于G点.若点A的坐标为（-2，0），AE=8.

（1）求点C的坐标；

（2）连接MG，BC，求证：MG∥BC；

OF

（3）如图2，过点D作⊙M的切线，交x轴于点P.动点F在⊙M的圆周上运动时，的比值是否发

PF

生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律.（深圳市中考试题）

解题思路：对于（3）从动点F达到的特殊位置时入手探求定值.

（图1）（图2）

2

【例6】如图，已知等边△ABC内接于半径为1的圆O，P是⊙O上的任意一点.求证：PA2+PB2+PC2

为定值.

解题思路：当点P与C点重合时，PA2+PB2+PC2=2BC2为定值，就一般情形证明.

【能力训练】

A级

3

1.如图，点A，B是双曲线y上的两点，分别经过A，B两点向x轴，y轴作垂线段.若S阴影=1，则

x

S1S2_______.

（牡丹江市中考试题）

（第1题图）（第3题图）（第4题图）

2.从等边三角形内一点向三边作垂线段，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的

面积是__________.

（全国初中数学联赛试题）

3.如图，OA，OB是⊙O任意两条半径，过B作BE⊥OA于E，又作OP⊥AB于P，则定值OP2+EP2为

_________.

4.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，F是DC的中点，AF的延长线交BC的延长线于点E，则直

线BF与直线DE所夹的锐角的度数为（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

（武汉市竞赛试题）

5.如图，在⊙O中，P是直径AB上一动点，在AB同侧作AA⊥AB，BBAB，且AA=AP，BB=BP.

连接AB，当点P从点A移动到点B时，AB的中点的位置（）

A．在平分AB的某直线上移动B.在垂直AB的某直线上移动

C.在弧AMB上移动D.保持固定不移动

（荆门市中考试题）

3

（第5题图）（第6题图）

k

6.如图，A，B是函数y图象上的两点，点C，D，E，F分别在坐标轴上，且分别与点A，B，O构

x

成正方形和长方形.若正方形OCAD的面积为6，则长方形OEBF的面积是（）

A.3B.6C.9D.12

（海南省竞赛试题））

7.（1）经过⊙O内或⊙O外一点P作两条直线交⊙O于A，B和C，D四点，得到如图①~⑥所表示的

六种不同情况.在六种不同情况下，PA，PB，PC，PD四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一

个式子表示出来.请你首先写出这个式子，然后只就如图②所示的圆内两条弦相交的一般情况给出它的

证明.

（2）已知⊙O的半径为一定值r，若点P是不在⊙O上的一个定点，请你过点P任作一直线交⊙O于不

重合的两点E，F.PE·PF的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请你把这一结论用文字

叙述出来.

（济南市中考试题）

4

8.在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A，C分别在y轴，x轴的正半轴上，点O

在原点，现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线yx上时停止旋转.旋转过程

中，AB边交直线yx于点M，BC边交x轴于点N.

（1）求OA在旋转过程中所扫过的面积；

（2）旋转过程中，当MN与AC平行时，求正方形OABC旋转度数；

（3）设△MBN的周长为P，在正方形OABC旋转的过程中，P值是否有变化？请证明你的结论.

（济宁市中考试题）

9.如图，AB是半圆的直径，AC⊥AB，AC=AB.在半圆上任取一点D，作DE⊥CD，交直线AB于点E，

BF⊥AB，交线段AD的延长线于点F.

（1）设弧AD是x°的弧，若要点E在线段BA的延长线上，则x的取值范围是_______.

（2）不论点D取在半圆的什么位置，图中除AB＝AC外，还有两条线段一定相等.指出这两条相等的线

段，并予证明.

（江苏省竞赛试题）

（第9题图）（第10题图）（第11题图）

10.如图，内接于⊙O的四边形ABCD的对角线AC与BD垂直相交于点K，设⊙O的半径为R.求证：

（1）AK2BK2CK2DK2是定值；

（2）AB2BC2CD2DA2是定值.

5

APBP

11.如图，设P是正方形ABCD外接圆劣弧弧AB上的一点，求证：的值为定值.

CPDP

（克罗地亚数学奥林匹克试题）

B级

1.等腰△ABC的底边BC为定长2，H为△ABC的垂心.当顶点A在保持△ABC为等腰三角形的情况下

改变位置时，面积S△ABC·S△HBC的值保持不变，则S△ABC·S△HBC=________.

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2.已知A，B，C，D，E是反比例函数y（x＞0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分

x

别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成

如图所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是__________（用含π的代数式表示）.

（福州市中考试题）

3.如图，将六边形ABCDEF沿直线GH折叠，使点A，B落在六边形ABCDEF的内部，记∠C＋∠D＋

∠E＋∠F＝α，则下列结论一定正确的是（）

A.∠1＋∠2＝900°－2αB.∠1＋∠2＝1080°－2α

1

C.∠1＋∠2＝720°－αD.∠1＋∠2＝360°－α

2

（武汉市竞赛试题）

（第3题图）（第4题图）

4.如图，正△ABO的高等于⊙O的半径，⊙O在AB上滚动，切点为T，⊙O交AO，BO于M，N，则

弧MTN（）

6

A.在0°到30°变化B.在30°到60°变化

C.保持30°不变D.保持60°不变

5.如图，AB是⊙O的直径，且AB=10，弦MN的长为8.若MN的两端在圆上滑动时，始终与AB相交，

记点A，B到MN的距离分别为h1，h2，则∣h1-h2∣等于（）

A.5B.6C.7D.8

（黄石市中考试题）

（第5题图）（第6题图）

6.如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点A，C在x轴上，点B坐标为（3，m）

（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B，D.

（1）求点A的坐标（用m表示）

（2）求抛物线的解析式；

（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连接PQ并延长交BC于点E，连接BQ并延长交

AC于点F.试证明：FC（AC+EC）为定值.

（株洲市中考试题）

7.如图，已知等边△ABC内接于圆，在劣弧AB上取异于A，B的点M.设直线AC与BM相交于K，直

线CB与AM相交于点N.证明线段AK和BN的乘积与M点的选择无关.

（湖北省选拔赛试题）

（第7题图）（第8题图）

8.如图，设H是等腰三角形ABC两条高的交点，在底边BC保持不变的情况下让顶点A至底边BC的距

7

离变小，这时乘积S△ABC·S△HBC的值变小、变大，还是不变？证明你的结论.

（全国初中数学联赛试题）

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9.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2x10与x轴的交点为点A，与y轴的交点为

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点B.过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连接AC.现有两动点P，Q分别从O，C两点同时

出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动.

点P停止运动时，点Q也同时停止运动.线段OC，PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交CA于E，

射线QE交x轴于点F.设动点P，Q移动的时间为t（单位：秒）.

（1）求A，B，C三点的坐标和抛物线的顶点坐标；

（2）当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形？请写出计算过程；

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（3）当0t时，△PQF的面积是否总是定值？若是，求出此值；若不是，请说