初中数学自主招生难度讲义-9年级专题30运动与变化-函数思想

专题30运动与变化------函数思想

阅读与思考

所谓函数思想，就是用运动、变化的观点来分析问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种关系

表示出来，运用函数的概念和性质去分析问题、解决问题.

函数思想在解决问题中有以下几个方面的应用：

1．利用函数图象解决问题；

2．用函数的观点研究方程（组）、不等式（组）的解；

3．建立目标函数，运用函数的性质去解决问题.

方程与函数有着深刻的内在联系，这种联系体现在：方程的解是对应的函数图象交点的横坐标．函

数图象的直观性，使得我们对方程的理解有了一种新的途径，

函数是初中数学的主要内容，有正比例函数、反比例函数、一次函次和二次函数，要研究它们的性

质和图象．函数的思想方法就是用变化运动的观点来观察、分析问题．

应熟悉以下基本问题：

①常见函数的性质、图象、画法；

②常见函数的图象与该函数的解析式中各个系数的符号的关系；

③确定常见函数解析式的方法；函数与方程（组）的联系.

例题与求解

【例1】同学们都知道，一次函数ykxbk0的图象是一条直线，它可以表示许多实际意义，

比如在图1中，x表示时间（小时），y表示路程（千米）．那么从图象上可以看出，某人出发时（x＝0），

离某地（原点）2千米，出发1小时，由x＝1，得y＝5，即某人离某地5千米，他走了3千米．

在图2中，OA，BA分别表示甲、乙两人的运动图象，请根据图象回答下列问题：

(1)如果用t表示时间，y表示路程，那么甲、乙两人各自的路程与时间的函数关系式：甲_________，

乙________________;

(2)甲的运动速度是______千米/时；

(3)甲、乙同时出发，相遇时，甲比乙多走______千米．（常州市中考试题）

图1图2

解题思路：本例采用新视角将行程问题用图示法表示，解题的关键是领会“一次函数”表示行程问

题的意义，从图象获得与行程问题相关量的信息.

对于某些从正面直接求解比较困难的数学问题，通过对题设与结论的观察与分析，构造辅助元素，

使问题结构更加清晰，解题过程更加简化，目标结论更为明确，这种解题方法称为构造法．

构造法的基本形式是以已知条件为“原料”，以所求结论为“方向”，构造出一种新的数学形式，常

用的构造方法有：

①构造实例；②构造反例；③构造方程；④构造函数；⑤构造图形.

【例2】对于方程x22x2m，如果方程实根的个数恰为3个，则m值等于()

A.1B．3C．2D．2.5

解题思路：可将m值一一代入原方程，逐一验证，直至筛选出符合条件的m的值．本例的另一解

法是把讨论方程解的个数转化为讨论函数yx22x2与函数ym图象交点，利用函数图象解题．

【例3】已知b，c为整数，方程5x2bxc0的两根都大于－1且小于0，求b和c的值．

（全国初中数学联赛试题）

解题思路：解本例的基本思路是利用求根公式，通过解不等式组求出b，c的值，显然较繁．可以

构造二次函数，讨论二次函数y5x2bxc与x轴交点在－1与0之间时所满足的约束条件入手．

【例4】在直角坐标系中．有以A（－1，－1），B(1，一1),C(1，1），D(－1，1)为顶点的正方

形，设它在折线yxaa上侧部分的面积为S．试求S关于a的函数关系式，并画出它们的图象．

（河北省竞赛试题）

解题思路：CD，AB平行于x轴且与x轴的距离为1，就a≥1，0≤a≤1，－1≤a＜0，a＜－1四种

情况讨论.

【例5】如图，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面

中心，OA＝1.25米．由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流沿形状相同的各条抛物线落下，为使水流

形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处时距水面最大高度为2.25米．

(1)如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至落到池外？

(2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同，水池的半径为3.5米，要使水流不落到池外，此时水流的

最大高度应达多少米？（精确到0.1米）（山西省中考试题）

解题思路：以OA所在的直线为y轴，过点O垂直于OA的直线为x轴，点O为原点，建立直角坐

标系，解题的关键是求出抛物线的解析式.

随着近年中考和竞赛试题改革的不断深入，数学应用题已不再停留在“列方程解应用”的层次上，

其内容繁多，题型多变，解法灵活，函数应用题的广泛出现是近年中考的一个显著特点.

函数应用题的数量关系是以函数的形式出现，解题的关键是建立量与量之间的函数关系式，运用相

关函数的性质解题.

【例6】某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在商场内消费满

一定金额后，按下表获得相应的返还金额．

消费金额（元）300~400400~500500~600600~700700~900…

返还金额（元）3060100130150…

注：“300～400”表示消费金额大于300元且小于或等于400元，其他类同.

根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如，若购买标价为400元的商品，则

消费金额为320元，获得的优惠额为400×(1－80%)＋30＝110(元)．

(1)购买一件标价为1000元的商品，顾客获得的优惠额是多少？

(2)如果顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠额不少于226元，那么该商品的标价

至少为多少元？（南京市中考试题）

解题思路：本题考查的是分段函数的应用问题，在解答过程中要体现分类讨论的思想．

能力训练

1．如图，是兰州市市内电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的函数关系的图象，则通话7分

钟需付电话费_________（元）．

（甘肃省中考试题）

第1题图第2题图第4题图

2．如图，某航空公司托运行李的费用与托运行李重量的关系的函数图象，由图中可知行李的重量

只要不超过_________公斤，就可免费托运．

3．已知a，b为抛物线y＝(x－c)(x－c－d)－2与x轴交点的横坐标，a＜b，则|a－c|＋|c－b|

的值为_________．

（全国初中数学竞赛试题）

4．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的方法收费，每

月收取水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系如图．按上述分段收费标准，小明家三、四月份

分别交水费26元和18元，则四月份比三月份节约用水__________吨．

（武汉5月调考试题）

5．某校组织学生到距离学校6千米的光明科技馆去参观．学生王红因事没能乘上学校的包车，于

是准备在学校门口改乘出租车去光明科技馆，出租车的收费标准如下：

里程收费（元）

3千米以下（含3千米）8.00

3千米以上，每增加1千米1.80

(1)写出出租车行驶的里程数x≥3（千米）与费用y（元）之间的函数关系式：___________.

(2)王红同学身上仅有14元钱，乘出租车到科技馆的车费够不够？请说明理由．_______________

（常州市中考试题）

6．已知边长为1的正方形ABCD，E为边CD的中点，动点P在正方形ABCD边上沿A→B→C→E

运动．设点P经过的路程为x，△APE的面积为y，则y关于x的函数图象大致为()

ABCD

（天津市竞赛试题）

7．向高为h的水瓶中注水，注满为止，如果注水量v与水深h的函数关系如图所示，那么水瓶的

形态是()

v

h

OH

ABCD

（黄冈市调考试题）

．方程2的两根满足＜＜＜＜，则的取值范围是()

84x4k1x4k100x11x22k

7171

A．0＜k＜2B．0＜k＜C．＜k＜D．＜k＜2

4444

9．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出，若每床每晚收费提高2元，则

减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方

法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高()

A．4元或6元B．4元C．6元D．8元

（无锡市竞赛试题）

b

10．如图所示，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，≤a≤3b.在AB，BC，CD和DA上分别取E，

3

F，G，H，使得AE＝AH＝CF＝CG，则四边形EFGH面积的最大值为()

(ab)2(ab)2(ab)2(ab)2

A．B．C.D．

24816

11．某公司生产一种产品，每件成本为2元，售价为3元．年销售量为100万件．为获取更好的效

益，公司准备拿出一定资金做广告．通过市场调查发现：每年投入的广告费用为x（10万元）时，产品

的年销量将是原售量的y倍；同时y又是x的二次函数，相互关系如下表：

x012…

y11.51.8…

(1)求y与x的函数关系式；

(2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（10万元）与广告费x(10

万元)的函数关系式；

(3)如果一年投入的广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内时，公司获得的年利润随广告

费的增大而增大？

（广西赛区选拔赛试题）

12.如图，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横断面的地平线

为x轴，横断面的对称轴为y轴．桥拱的DGD部分为一段抛物线，顶点G的高度为8米，AD和A'D'

是两侧高为5.5米的支柱．OA和OA'为两个方向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD和CD为两段

对称的上桥斜坡，其坡度比为1：4.

(1)求桥拱DGD'所在抛物线的解析式及CC'的长；

(2)BE和B'E'为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB和A'B'为两个方向的行人及非机动

车通行区，试求AB和A'B'的宽；

(3)按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米．今有一大型运

货汽车，装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米；它能否从OA

（或OA'）区域安全通过？请说明理由.（河北省中考试题）

13．有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ＝PR＝5cm，QR＝8cm.点B，C，Q，R

在同一条直线l上.当C，Q两点重合时，等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀

速运动，t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为scm2.解答下列问题：

(1)当t＝3秒时，求s的值；

(2)当t＝5秒时，求s的值；

(3)当5秒≤t≤8秒时，求s与t的函数关系式，并求出s的最大值．（吉林省中考试题）

14.是否存在这样的实数k，使得二次方程x22k1x3k20有两个实数根，且两根都在

2与4之间？如果有，试确定k的取值范围；如果没有，试述理由.

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

2

15.实数a，b，c满足acabc0．证明：bc4aabc．

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

16.如图，已知点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，t)，且t0，tan∠BAC＝3，抛物线经过A，B，C

三点.点P(2，m)是抛物线与直线l：ykx1的一个交点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)对于动点Q(1，n），求PQ＋QB的最小值；

(3)若动点M在直线l上方的抛物线上运动，求△AMP的边AP上的高h的最大值.

（内江市中考试题）

17.点A(4，0)，B(0，3)与点C构成边长分别是3，4，5的直角三角形，如果点C在反比例函数

k

y的图象上，求k可能取的一切值．

x

（“希望杯”邀请赛试题）

18.已知函数yx12x1x2．

(1)在直角坐标系中作出函数图象；

(2)已知关于x的方程kx3x12x1x2（k0）有三个解，求k的取值范围．

（“创新杯”竞赛试题）

19.当－1≤x≤2时，函数y2x24axa22a2有最小值2，求a所有可能取的值．

（太原市竞赛试题）

专题30运动与变化

——函数思想

例l（l）y=4t(t≥0)y=3t+5(t≥0)(2)4(3)5

2

例2C提示：如图所示，当m=2时，yx2x2与y=m有三个不同的交点。

例3根据函数y=5x2+bx+c的图象和题设条件知：当x=0时，5x2+bx+c＞0，∴c＞0．当x=-1时，

bb

5x2+bx+c>0，∴b<5+c．抛物线顶点的横坐标满足-1<<0，∴0<b<10，∵△≥0，即b2-20c

2525

≥0，∴b2≥20c.由上面条件得l00>b2≥20c，c<5.分别就c=l，2，3，4，讨论得b=5，c=l．

1

例4①当a≥1时,s=0；②当0≤a≤1时，s(1a)2(1a)(1a)2；③当-1≤a<0时，

2

2(1a)(1a)

S22(1a)2;；④当a<-1时，s=2．

2

例5(1)2.5米(2)3.7米

例6(1)购买一件标价为l000元的商品，消费金额为800元，顾客获得的优惠额为1000×

(1-80%)+150=350（元）．(2)设该商品的标价为x元．当80%x≤500，即x≤625时，顾客获得的优惠

额不超过625×(1-80%)+60=185<226;当500<80%x≤600，即625≤x≤750时，(1-80%)x+100≥226，解

得x≥630.∴630≤x≤750;当600<80%x≤800×80%，即750<x≤800时，顾客获得的优惠额大于750×

(1-80%)+130=280>226.综上，顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠额不少于226元，那

么该商品的标价至少为630元．

能力训练1.12.193.b-a提示：当x=c时，y=-2，即点（c，-2）在抛物线上，且位于x轴下方，

又因y=(x-c)（xcd)2的开口向上，则acb

4.3

5.(1)y1.8x2.6

(2)够

113515

6.A提示:当0x1时,yx;当1x2时,yx;当2x时,yx

244224

7.A提示:由图象知,随高度增加,注水量增大.

8.C提示:含yf(x)4x24(k1)x4k1,则f(0)0,f(1)1,f(2)0

9.A

提示设则2

10.C:AEAHCFCGx,BEax,BFDHbx,SEFGH2x(ab)x

13

11.(1)yx2x1(x0)

105

(2)S10(32)yxx25x10(x0)

565

(3)S(x)2,又1x3,当1x2.5时,S随x增大而增大

24

1

12.(1)yx28CC'2OC2(OAAC)74(米)

90

(2)ABA'B'6(米)

137

(3)yx28中,当x4时,y7(70.4),故该大型货车可从OA(或OA')区域安全通过

9045

27

13.(1)S(cm2)

8

69

(2)S(cm2)

8

33917113165

(3)St2t,当t时,S(cm2)

4482max16

(2k1)24(3k2)0

f(2)42(2k1)(3k2)0

2

14.设yf(x)x(2k1)x(3k2),如图,由题意得f(4)164(2k1)(3k2)0

b1

2k4

2a2

此不等式组无解,所以满足要求的k值不存在

15.令yf(x)ax2(bc)xabc,

f(0)abc,f(1)2(bc),f(0)f(1)2(ac)(abc)0,从而二次函数的图象必与

x轴相交,且一交点在-1与0之间,于是方程ax2(bc)x(abc)0必有两个不相等的解,故

(bc)24a(abc)0,即(bc)24a(abc)

16.(1)yx22x3

(2)P(2,3),抛物线的对称轴为x1,故Q(1,n)在对称轴上,点P关于对称轴x1的对称点是C,CB即

为所求PQQB的最小值,此时CB32,故PQQB的最小值为32

111339

(3)设M(p,q),S(p1)q(3q)(2p)31pq

AMPB222222

3393175

p(p22p3)(p)2

222228

1757527127

当p时,S最大值为,S最大值为6,此时有32h,解得

2AMPB8AMP8828

9

h2

8

17.点A与点B之间的距离是5,所以它们之间的连线是直角三角形的斜边,设点C的坐标是(a,b),则

(a4)2b29(a4)2b216

①或②,

a2(b4)216a2(b4)29

a2b28a1691

对于①,有,两式相减,得8a6b140,因此b(4a7),将它代入①的第二

a2b26a9163

12821

个式子,得(a4)(25a28)0,解