2024-2025学年广东省广州市高一下册3月联考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年广东省广州市高一下学期3月联考数学检测试题一、单选题（每题5分，8题共40分）1.如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】题意可得，即可得到，再根据平面向量线性运算计算即可.【详解】依题意在平行四边形中，，又是的中点，则，又与交于点，所以，则，所以，又，所以故选：A.2.在中，，，，则为（）A. B. C.或 D.【正确答案】B【分析】根据给定条件利用正弦定理并结合大边对大角求解即得.【详解】在中，因，，，则由正弦定理得：，因，则，于是得，所以为.故选：B3.G是的重心，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若，则角（）A.90° B.60°C.45° D.30°【正确答案】D【分析】根据重心的性质得a∶b∶c＝1∶1∶1，由此应用余弦定理可求得．【详解】因为G是的重心，所以有.又，所以a∶b∶c＝1∶1∶1，设c＝，则有a＝b＝1，由余弦定理可得，cosA＝，所以A＝30°，故选：D.4.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，，且，则的面积为（）A.3 B.C. D.3【正确答案】C【分析】由向量平行的坐标表示结合余弦定理可得，再由三角形的面积公式求解即可；【详解】因，，且，所以，化为.所以，解得.所以.故选：C5.已知满足，，且向量在向量上的投影向量为，则（）A. B. C. D.2【正确答案】C【分析】令，过作于，利用投影向量的意义求出，再利用垂直关系的向量表示，结合数量积的运算律求出，由给定向量等式确定点的位置即可求解.【详解】在中，令，过作于，，由向量在向量上的投影向量为，得，解得，则，由，得，解得，由，得，即，因此，在中，.故选：C6.已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（）A.－1 B. C. D.【正确答案】C【分析】分析题目条件可得，取的中点，建立平面直角坐标系，利用坐标运算可得结果.【详解】∵分别表示与方向的单位向量，∴以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，故所在直线为的平分线所在直线，∵，∴的平分线与垂直，故.取的中点，连接，则，由题意得，，∴.如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则，故.设，则，∴，∴，，∴，当时，取得最小值，最小值为.故选：C.7.在中，，，最短边的长为，则最长边的长为（）A. B. C. D.5【正确答案】D【分析】易得，则，再利用两角和的正切公式求出，即可得出最长边和最短边，再利用正弦定理即可得解.【详解】由，，所以，所以，又，所以，所以，所以，故，为最长的边，由，得，则，所以（舍去），由正弦定理得，所以.即最长边的长为.故选：D.8.某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边△，已知，，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】设，在中，分别利用正弦定理和余弦定理，求得边长AC，再利用三角形面积公式求解.【详解】解：在中，，又，则，设，则，在中，由正弦定理得，解得，在中，由余弦定理得，即，又，解得，则，所以，故选：B二、多选题（每题6分，部分选对得部分分，选错不得分，全部选对得6分，3题共18分）9.在中，下列结论中，正确的是（）A.若，则是等腰三角形B.若，则C.若，则为锐角三角形D.若，且结合BC的长解三角形，有两解，则BC长的取值范围是【正确答案】AB【分析】对A，根据及角A、B的范围，可判断A的正误；对B，根据大边对大角原则，可判断B的正误；对C，根据条件及余弦定理，可判断C的正误；对D，利用三角形个数的情况，可判断D的正误.【详解】对于A，因为，且，且，所以，所以是等腰三角形，所以选项A正确；对于B，由，则，可得，所以选项B正确；对于C，由，以及余弦定理可得，又，所以，但不知角的值，不一定为锐角三角形，所以C错误；对于D，由，若三角形有两解，则，所以长的取值范围是，所以D错误.故选：AB.10.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点分别为三角形的外心､重心､垂心，且为的中点，则（）A. B.C. D.【正确答案】ABC【分析】利用欧拉线的几何性质，再结合平面几何中的平行性质，以及向量的线性运算，即可作出判断.【详解】对于A，由是的中点，又由是外心，是垂心，可知:所以，根据平行线分线段成比例可知：，又由欧拉线的性质可知：，所以，即，故A正确；对于B，由于是重心，所以，而是的中点，所以，代入上式可得：，故B正确；对于C，因为是外心，所以，故C正确；对于D，由向量的加法可知：，故D错误；故选：ABC.11.已知三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，，则下列结论正确的有（）A.面积最大值为 B.C.周长的最大值为6 D.的取值范围为【正确答案】AC【分析】A选项，利用余弦定理和基本不等式求解面积的最大值；B选项，利用余弦定理计算可判断；C选项，利用余弦定理和基本不等式求解周长的最大值；D选项，用进行变换得到，结合A的取值范围得到的取值范围.【详解】解：对于A，由余弦定理得：，解得：，由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，所以，故，故A正确；对于B，，故B不正确；对于C，由余弦定理得：，解得：，所以，当且仅当时，等号成立，解得，当且仅当时，等号成立，所以，周长，所以周长的最大值为6，故C正确；对于D，，因为，所以，所以，故D错误.故选：AC.三、填空题（每题5分，3题共15分）12.设是单位向量，且，则的最小值为__________．【正确答案】【分析】设与的夹角为，根据已知，利用向量的数量积的运算将化为关于的三角函数表达式，进而利用三角函数的性质求得最小值.【详解】，且均为单位向量，∴，||=1，,∴设与的夹角为θ，则.故的最小值为故13.在中，内角所对的边分别为，若，，则的面积为_____．【正确答案】【分析】由正弦定理边角转化得，结合余弦定理可得，利用三角形面积公式可得结果.【详解】∵，∴由正弦定理得，∴，即，∴，即，由正弦定理得，∵，∴，由余弦定理得，得，∴的面积．故．14.作用于同一点的三个力处于平衡状态，已知，，的夹角为，则与夹角的大小为______.【正确答案】【分析】结合平面向量的运算法则和数量积的计算公式求解，由，可得，从而利用数量积的定义列式求解即可.【详解】因为，，三个力处于平衡状态，所以，则，所以，设夹角的大小为，由得，所以，所以，又，所以，即与夹角的大小为.故四、解答题（3题共47分）15.已知，，与夹角为.（1）若与共线，求实数的值；（2）求的值；（3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用向量共线定理得到方程组，解出即可；（2）根据向量数量积的运算律和定义计算即可；（3）根据向量夹角为锐角，则向量数量积大于0，并去掉共线同方向的情况即可.【小问1详解】因为与共线，所以存在实数使得，所以，解得，所以；【小问2详解】因为，，与的夹角为，所以，所以，则；【小问3详解】向量与的夹角是锐角，可得，且与不同向共线，即为，即有，解得，由与共线，可得，解得，当时，两者同向共线，则实数的取值范围为.16.已知分别为的角所对的边，且满足，．（1）求；（2）若外接圆的半径为，求.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理即可求解；（2）先利用三角形内角和定理和两角差的正弦公式求得的值，再根据正弦定理求解即可.【小问1详解】，由正弦定理可得，，.，.【小问2详解】由（1）知，.，，.由正弦定理可知，.17.如图，在中，为边上一点，且.（1）求的长及的值；（2）若，求周长；（3）若，求中边上的高.【正确答案】（1），（2）（3）【分析】（1）在中，利用正弦定理即可求出，根据三角形内角和定理及两角和得正弦公式即可求出；（2）由，可得，在中，利用正弦定理求出，再在中，利用余弦定理求出，即可得解；（3）先根据三角形的面积公式求出，再在中，由余弦定理求出，再在中，由余弦定理求出，即可得解.【小问1详解】因为，，所以，所以，在中，由正弦定理得，所以，；【小问2详解】因为，所以，即，在中，由（1）结合正弦定理得，所以，所以，在中，由余弦定理得，所以，所以的周长为；【小问3详解】，所以，