2024-2025学年浙江省杭州市富阳区高一下册3月月考数学检测试题（附答案）

2024-2025学年浙江省杭州市富阳区高一下学期3月月考数学检测试题选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数，则的虚部为 ()A．B． C．D．2．如图所示，已知正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形斜二测画法的直观图，则其原图形的周长为 ()A．4 B．8 C． D．3．在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，则 ()A． B． C． D．4．在中，，，点，是边上两个三等分点，则 ()A． B．C． D．5．已知向量，，向量在方向上的投影向量为 ()A. B. C. D.6．已知的三条边长分别为a，b，c，且，则此三角形的最大角与最小角之和为 ()A． B． C． D．7．已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为 ()A. B. C. D.8．平面向量，，满足，，，且，则的取值范围为()A． B． C． D．二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求．全部选对得6分，部分选对得部分分．9．已知复数，，则下列命题正确的有 ()A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则10.在中，角所对的边分别为，则下列说法中正确的是 ()A．若，，则一定是等边三角形B．若，则一定是钝角三角形

C．若，则一定是等腰三角形

D．若，则一定是直角三角形11.如图，在长方形中，，，，则下列结论正确的是 ()A．当时， B．当时，C．对任意，不成立 D．若，则三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知复数满足，则的最大值为．13．已知正四棱台的上下底面分别是边长为2和4的正方形，侧棱长为2，则该正四棱台的体积为．14．若G为的重心，，则的最小值为．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本题满分13分)已知复数满足，且为纯虚数．（1）求；（2）若，求实数，的值．16．(本题满分15分)如图，正三棱锥中，,,点分别为，的中点，一只蚂蚁从点出发，沿三棱锥侧面爬行到点，求：（1）该三棱锥的体积与表面积；（2）蚂蚁爬行的最短路线长.17．(本题满分15分)如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点．（1）求的长；（2）求的取值范围．18．(本题满分17分)如图，在中，，，且.为线段上的两个动点(在的右侧)，且.（1）若时，求的周长；（2）若的面积是的面积的倍，求的大小；（3）当为何值时，的面积最小，最小面积是多少？19．(本题满分17分)正多面体是指各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角，又称为柏拉图多面体，因为柏拉图及其追随者对它们所作的研究而得名．自然界中有许多的柏拉图多面体，如甲烷、金刚石分子结构模型都是正四面体，氯化钠的分子结构模型是正六面体，萤石的结晶体有时是正八面体，硫化体的结晶体有时会接近正十二面体的形状……柏拉图多面体满足性质：（其中V，F和E分别表示多面体的顶点数，面数和棱数）．（1）如图所示的正方体中，点为正方体六个面的中心，假设几何体的体积为，正方体的体积为，求的值；（2）正十二面体共有几条棱，几个顶点？（3）判断柏拉图多面体有多少种？并说明理由．高一年级3月月考（答案）题号12345678910答案DBCBABDDBCABD题号11答案ABD12．13．14．15.（1），则；（2），.【详解】（1）为纯虚数，，且，，，；（2）法一：把代入：，，化简得：，即，解得：，.法二：的一根为，则另一根为：，则，解得：，.16.（1）体积为，表面积为；（2）最短路线长为.【详解】（1）因为，所以，即，又，VB、VC在面VBC内，得面，，（2）如下图：连接，线段的长度即蚂蚁爬行的最短路线长，△中，，由余弦定理可得：，即.17.【详解】（1），，由，则，，可得，解得.（2）由图可得，，，由，则.18.【详解】（1）由，，，得，又，则，，所以，在中，由余弦定理可得，则，因为，所以，∵，∴，∴，∴的周长为.（2）设，的面积是的面积的倍所以，即，在中，，由，得，从而，即，而，由，得，所以，即.（3）设，由（2）知，又在中，由，得，所以，所以当且仅当，即时，的面积取最小值为.19.【详解】（1）设正方体的棱长为，则，几何体所有棱长为，是正八面体，所以，所以；（2）根据柏拉图多面体满足性质：，正十二面体有个面，即，则，设正十二面体每一个面都是正边形，每一个顶点处有条棱，因为多边形至少有条边，而再每个顶点处至少有条棱，则，由于每条棱都出现在相邻的两个面中，每条棱连接两个顶点，则有，即，所以，所以，所以，即，由，得，当，即时，，符合题意，当，即时，（舍去），当，即时，（舍去），当，即时，（舍去），综上所述，，，此时，即正十二面体共有条棱，个顶点；（3）假多面体每一个面都是正边形，每一个顶点处有条棱，因为多边形至少有条边，而再每个顶点处至少有条棱，则，由于每条棱都出现在相邻的两个面中，每条棱连接两个顶