2024-2025学年福建省莆田市高一下册第一次月考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年福建省莆田市高一下学期第一次月考数学检测试题一、单选题：（每题5分，共40分.在四个选项中只有一项是符合题目要求.）1.设分别为内角的对边，则下列等式成立的是（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】根据余弦定理，即可求解.【详解】根据余弦定理可知，.故选：B2.下面命题中，正确的是（）A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则【正确答案】C【分析】根据向量的概念逐一判断【详解】对于，若，但两向量方向不确定，则不成立，故选项错误；对于，向量无法比较大小，故选项错误；对于，若，则两向量反向，因此，故选项正确；对于，若，则，故选项错误.故选：C3.已知向量，，若与共线，则实数（）A.-2 B.-1 C.1 D.2【正确答案】C【分析】根据向量共线的坐标运算求解即可.【详解】向量，，若与共线，则，所以.故选：C.4.已知四边形是平行四边形，，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据平行四边形的性质结合向量的坐标运算，即可得答案.【详解】因为四边形是平行四边形，故,故选：A5.若在中，，且，，则的形状是（）A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形【正确答案】D【分析】结合平面向量数量积的运算律得，即可判断求解．【详解】在中，，且，，则，即，即AB⊥BC，，则的形状是等腰直角三角形．故选：D6.如图，位于某海域处的甲船获悉，在其北偏东方向处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东，且与甲船相距的处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】由图可知，由正弦定理即可求出BC的值.【详解】由题意知，，由正弦定理得，所以.故乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为.故选：B.7.中，角，，的对边分别是，，，且，，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】由已知可得，再由正弦定理得到，即可求出，从而得解.【详解】由有，由正弦定理有，又，即，所以，又，则.故选：D8.在等腰梯形中，已知，，，.动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据向量的运算法则，先化简得到，，再利用向量的数据的运算公式，化简得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】在等腰梯形中，已知，且，所以，，因为，，则，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设是平面内一个基底，则下列四组基底中，能作为基底的有（）A.与 B.与C.与 D.与【正确答案】ACD【分析】根据向量共线分别判断各个选项即可得出基底.【详解】选项A，假设与共线，则存在实数，使得，即，因为，是基底，所以无解，所以与不共线，可以作为基底.选项B，因为，所以与共线，不能作为基底.选项C，假设与共线，则存在实数，使得，即，因为，是基底，所以无解，所以与不共线，可以作为基底.选项D，假设与共线，则存在实数，使得，即，因为，是基底，所以无解，所以与不共线，可以作为基底.故选：ACD.10.如图，在四边形中，若，则图中相等的向量是（）A与 B.与 C.与 D.与【正确答案】AD【分析】由可得四边形是平行四边形，从而结合平行四边形的性质对选项逐一判断即可．【详解】对A,由，四边形是平行四边形，所以，选项A正确；对BD,平行四边形对角线与互相平分，得，，选项B错误，选项D正确；对C,显然与相交，他们不是相等向量，选项C错误；故选：AD11.已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题中，正确的命题是（）A.若，则为等腰三角形B若，则C.若，，则面积最大值为3D.，角B的平分线BD交AC边于D，且，则的最小值为12【正确答案】BCD【分析】根据正弦定理和二倍角公式即可判断AB；对C，利用余弦定理和二次函数性质即可判断；对D，根据三角形面积公式和乘“1”法即可判断.【详解】对于A：若，根据正弦定理则，即，因为，所以或即或，所以为等腰三角形或直角三角形，A错误；对B，因为，则，，则根据正弦定理有，故B正确；对C，设，.则，，所以，当时，三角形的面积取得最大值，故C正确；对D，由题意可知，，由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，即，因此，当且仅当，即时取等号，即的最小值为，则D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在中，若，，则__________【正确答案】【分析】根据向量的减法，可得答案.【详解】.故答案为.13.在中，若，，，则__________【正确答案】【分析】利用求出，再利用正弦定理即可求解.【详解】因为，且，所以，由正弦定理，可得.故14.圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣．索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°，则可估算圣．索菲亚教堂的高度CD约为______．【正确答案】54m【分析】根据题意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出.【详解】由题可得在直角中，，，所以，在中，，，所以，所以由正弦定理可得，所以，则在直角中，，即圣·索菲亚教堂的高度约为54m.故54m.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，，且与夹角为120°，求：（1）；（2）在上的投影；（3）与的夹角.【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根据向量的数量积公式计算即可；（2）根据投影的定义即可求出；（3）根据向量的夹角公式计算即可.【详解】解：（1）∵，，且与夹角为120°，∴，∴（2）在上的投影为，（3）∵，∴，∴∴与的夹角为.本题考查了向量的数量积公式和向量的夹角公式，属于基础题.16.已知.（1）当k为何值时，与共线；（2）若，且三点共线，求m的值以及.【正确答案】（1）（2），【分析】（1）利用平面向量共线的坐标表示计算即可；（2）利用平面向量共线的坐标表示，及模长的坐标公式计算即可.【小问1详解】易知，所以，即时，与共线；【小问2详解】易知，由三点共线得，17.在中，内角所对的边分别为，，，已知已知.（1）求角的大小；（2）若，，求的值；（3）若，判断的形状．【正确答案】（1）；（2）；（3）正三角形．【分析】（1）利用余弦定理求出的大小作答.（2）代入给定等式计算作答（3）根据已知条件可得，再结合（1）确定三角形的形状作答.【小问1详解】在中，由及余弦定理得，而，所以.【小问2详解】由，及，得，所以.【小问3详解】由及，得，则，由（1）知，所以为正三角形.18.已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由平行向量的坐标公式代入化简结合正弦定理即可得出答案；（2）由余弦定理求出，进而结合三角形的面积公式可得出答案.【小问1详解】因为，，且，则.，由正弦定理得，因为，所以，可得，即且，所以.【小问2详解】在中，由余弦定理可得，即，整理可得，解得，或（舍），所以的面积.19.如图所示，已知在中，点是以为