2024-2025学年上学期高一数学北师大版期中必刷常考题之正切函数

第20页（共20页）2024-2025学年上学期高一数学北师大版（2019）期中必刷常考题之正切函数一．选择题（共5小题）1．（2025春•天津月考）“tanα＝tanβ”是“α＝β+2kπ，k∈Z”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2025春•浙江月考）α终边上一点坐标为（﹣5，12），则tan(A．-512 B．125 C．5123．（2025•江西模拟）设函数f（x）（x∈R）满足f(x+π2)=f(x)+sinx，当A．12 B．32 C．1 D4．（2024秋•日照期末）若角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(-3A．﹣7 B．-17 C．17 5．（2024秋•广元期末）已知角α终边经过点P（﹣3，4），则sin(2A．8 B．﹣8 C．18 D．二．多选题（共3小题）（多选）6．（2024秋•黑龙江期末）已知cosα=A．sin(α-π2)=-55 B．C．sin(π2+（多选）7．（2025•顺德区模拟）已知函数f（x）＝tan（2x+φ）（-π2＜φ＜π2）的部分图象A．φ=B．T=C．f（x）的一个单调递增区间为(-D．f(（多选）8．（2024秋•商水县期末）已知函数f(A．f（x）的定义域为{xB．f（x）图象的对称中心为(3C．f（x）的单调递减区间为(πD．将f（x）的图象向左平移3π8个单位长度后得到函数g（x）＝tan2x三．填空题（共4小题）9．（2025春•岳麓区校级月考）将函数f(x)=tan(2x+π6)的图象向右平移π4个单位得到函数y＝g（x）的图象，则10．（2024秋•黑龙江期末）已知cos(π6+α)=111．（2025•忻城县开学）若函数f（x）＝tanωx（ω＞0）的最小正周期为2π，则f(π3)=12．（2024秋•文山市校级期末）已知f(x)=x2+1四．解答题（共3小题）13．（2025春•柘荣县校级月考）（1）已知α是第三象限角，且tanα是方程x2﹣x﹣2＝0的一个实根，求2sin（2）已知sinα-cosα=12，且α∈（014．（2025•岳麓区校级开学）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（3，﹣4）．（1）求sinα+cosα的值；（2）求sin15．（2024秋•盐城期末）在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（1，2）．（1）求sin(（2）求sin2α+2sinαcosα﹣cos2α的值．

2024-2025学年上学期高一数学北师大版（2019）期中必刷常考题之正切函数参考答案与试题解析题号12345答案DCCBA一．选择题（共5小题）1．（2025春•天津月考）“tanα＝tanβ”是“α＝β+2kπ，k∈Z”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】正切函数的图象；三角函数线．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】D【分析】结合函数y＝tanx的周期分别判断充分性与必要性是否成立．【解答】解：当tanα＝tanβ时，由于函数y＝tanx的周期为π，所以可得α＝β+kπ，k∈Z，即不满足充分性；当α=3π2，β=π2时，其正切值不存在，所以α＝β+kπ，k∈Z所以“tanα＝tanβ”是“α＝β+kπ，k∈Z”的既不充分也不必要条件．故选：D．【点评】本题考查了函数y＝tanx的周期性，属于基础题．2．（2025春•浙江月考）α终边上一点坐标为（﹣5，12），则tan(A．-512 B．125 C．512【考点】运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．【答案】C【分析】由三角函数的定义先求出tanα=-125，再由同角三角函数基本关系转化【解答】解：α终边上一点坐标为（﹣5，12），由三角函数的定义可知tanα=则tan(故选：C．【点评】本题考查的知识点：正切函数的定义，三角函数的值，主要考查学生的运算能力，属于基础题．3．（2025•江西模拟）设函数f（x）（x∈R）满足f(x+π2)=f(x)+sinx，当A．12 B．32 C．1 D【考点】运用诱导公式化简求值；函数的值．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】C【分析】根据函数解析式和特殊角的三角函数值求解即可．【解答】解：由题可得：f=cos故选：C．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．4．（2024秋•日照期末）若角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(-3A．﹣7 B．-17 C．17 【考点】运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．【答案】B【分析】利用三角函数的定义求出tanα的值，再利用诱导公式结合两角和的正切公式可求得所求代数式的值．【解答】解：由于角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(可得tanα=所以tan=tan=tan=tanα=-=-故选：B．【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，诱导公式以及两角和的正切公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．5．（2024秋•广元期末）已知角α终边经过点P（﹣3，4），则sin(2A．8 B．﹣8 C．18 D．【考点】运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．【答案】A【分析】利用三角函数定义得到正弦和余弦值，利用诱导公式化简，代入求值．【解答】解：由题意角α终边经过点P（﹣3，4），可得sinα=4(-3)可得sin(2故选：A．【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义以及诱导公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．二．多选题（共3小题）（多选）6．（2024秋•黑龙江期末）已知cosα=A．sin(α-π2)=-55 B．C．sin(π2+【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．【答案】BC【分析】根据角α的象限，结合同角三角函数关系以及诱导公式逐项判断即可求解．【解答】解：因为cosα=所以sinα=1-co对于A，sin(α-对于B，tan（π﹣α）＝tan（﹣α）＝﹣tanα＝2，故B正确；对于C，sin(π2对于D，cos(3π故选：BC．【点评】本题考查了同角三角函数基本关系以及诱导公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．（多选）7．（2025•顺德区模拟）已知函数f（x）＝tan（2x+φ）（-π2＜φ＜π2）的部分图象A．φ=B．T=C．f（x）的一个单调递增区间为(-D．f(【考点】正切函数的图象；正切函数的单调性和周期性．【专题】数形结合；数学模型法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】ABD【分析】根据图象过点（0，-3）求出φ的值可判断A；求出周期可判断B；求出函数的单调增区间可判断C；求出f（x+π6【解答】解：由函数f（x）的图象知，f（0）＝tanφ=-3，解得φ＝kπ-π3，因为-π2＜φ＜π2，所以当k＝0时，φ=-π3，f（x）＝f（x）的最小正周期为T=πω=π由kπ-π2＜2x-π3＜kπ+π2，k∈Z，解得取k＝0，可得函数f（x）的一个单调递增区间为（-π12，5π因为f（x+π6）＝tan2x，tan（﹣2x）＝﹣tan2所以f（x+π6）为奇函数，选项故选：ABD．【点评】本题考查了正切函数的图象与性质应用问题，是基础题．（多选）8．（2024秋•商水县期末）已知函数f(A．f（x）的定义域为{xB．f（x）图象的对称中心为(3C．f（x）的单调递减区间为(πD．将f（x）的图象向左平移3π8个单位长度后得到函数g（x）＝tan2x【考点】正切函数的单调性和周期性；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；正切函数的定义域和值域．【专题】函数思想；定义法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】BC【分析】化函数f（x）＝tan（2x-3π4【解答】解：由函数f(x)=tan(3令2x-3π4≠kπ+π2，k∈Z，解得x所以f（x）的定义域为{x|x≠kπ2+5π8，k令2x-3π4=kπ2，得x以f（x）图象的对称中心为（kπ4+3π8，0），k令-π2+kπ＜2x-3π4＜π2+k所以f（x）的单调递减区间为（π8+kπ2，5π8+将f（x）的图象向左平移3π8个单位长度后，得y＝f（x+3π8）＝﹣tan[2（x+3π所以函数g（x）＝﹣tan2x，选项D错误．故选：BC．【点评】本题考查了正切函数的图象与性质应用问题，是基础题．三．填空题（共4小题）9．（2025春•岳麓区校级月考）将函数f(x)=tan(2x+π6)的图象向右平移π4个单位得到函数y＝g（x）的图象，则y＝g（【考点】正切函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】(π6+kπ4【分析】结合函数图象变换结论求函数y＝g（x）的函数解析式，结合正切函数的性质列关系式求对称中心的横坐标，由此确定对称中心坐标即可．【解答】解：根据题意可知，函数g(令2x-π3=kπ2则y＝g（x）的对称中心为(π6+kπ4故答案为：(π6+kπ4【点评】本题考查了函数图象变换，属于基础题．10．（2024秋•黑龙江期末）已知cos(π6+α)=1【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】14【分析】利用诱导公式及正余弦的平方关系化简即可求解．【解答】解：因为cos（π6+α）=12，所以sin则cos（5π6-α）+cos2＝﹣cos（π6+α）+1﹣（12故答案为：14【点评】本题考查了诱导公式以及正余弦的平方关系的应用，属于基础题．11．（2025•忻城县开学）若函数f（x）＝tanωx（ω＞0）的最小正周期为2π，则f(π3)=【考点】正切函数的单调性和周期性．【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】33【分析】结合正切型函数的周期公式求出ω，进而代值计算即可．【解答】解：因为T＝2π，所以ω=12，f（x）＝即f（π3）=故答案为：33【点评】本题主要考查了正切函数性质的应用，属于基础题．12．（2024秋•文山市校级期末）已知f(x)=x2+1【考点】运用诱导公式化简求值；函数的值．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】54【分析】求出f(25π【解答】解：由题意，在f(f(∴f(故答案为：54【点评】本题考查诱导公式，考查分段函数求值，属于基础题．四．解答题（共3小题）13．（2025春•柘荣县校级月考）（1）已知α是第三象限角，且tanα是方程x2﹣x﹣2＝0的一个实根，求2sin（2）已知sinα-cosα=12，且α∈（0【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）-43；（2）【分析】（1）根据题意得到tanα的值，应用诱导公式化简为2sinαcosαcos2α-sin（2）先根据完全平方公式得到sinαcosα的值，然后再利用完全平方公式得到cosα+sinα的值，构造等式即可求得结果．【解答】解：（1）由x2﹣x﹣2＝0，得x＝﹣1或x＝2，∵tanα是方程x2﹣x﹣2＝0的一个实根，且α是第三象限角，∴tanα＝2，∴2=2（2）∵sinα-∴(sinα-cosα∵α∈（0，π），所以sinα＞0，cosα＞0，故cosα+1sinα【点评】本题考查的知识点：三角函数的诱导公式，三角函数的值，主要考查学生的运算能力，属于中档题．14．（2025•岳麓区校级开学）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（3，﹣4）．（1）求sinα+cosα的值；（2）求sin(【考点】运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】（1）-1（2）14【分析】（1）根据三角函数的定义即可求解；（2）根据诱导公式即可求解．【解答】解：（1）角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（3，﹣4），由三角函数的定义知，sinα=-4则sinα+（2）由（1）得sinα=-45，则sin(【点评】本题考查了诱导公式的化简，属于基础题．15．（2024秋•盐城期末）在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（1，2）．（1）求sin(（2）求sin2α+2sinαcosα﹣cos2α的值．【考点】运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】（1）14（2）75【分析】（1）由三角函数的定义求出tanα，再由齐次式化切得解；（2由同角三角函数的基本关系，弦化切得解．【解答】解：（1）因为角α的终边过点P（1，2），所以tanα＝2，所以sin(（2）原式=si【点评】本题考查诱导公式及任意角的三角函数的定义的应用，属于基础题．

考点卡片1．函数的值【知识点的认识】函数的值是指在某一自变量取值下，函数对应的输出值．【解题方法点拨】﹣确定函数的解析式，代入自变量值，计算函数的值．﹣验证计算结果的正确性，结合实际问题分析函数的值．﹣利用函数的值分析其性质和应用．【命题方向】题目包括计算函数的值，结合实际问题求解函数的值及其应用．已知函数f（x）=x+2，x＜0x2，解：f(f(f(故f（f（f（-12）））2．任意角的三角函数的定义【知识点的认识】任意角的三角函数1定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sinα＝y，cosα＝x，tanα=y2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．【解题方法点拨】利用三角函数的定义求三角函数值的方法利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：（1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．【命题方向】已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα＝（）A．45B．35C．-35分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x＝﹣4，y＝3，r=x2∴cosα=x故选：D．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．3．三角函数线【知识点的认识】几何表示三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．【命题方向】若π4A．sinα＞cosα＞tanαB．cosα＞tanα＞sinαC．sinα＞tanα＞cosαD．tanα＞sinα＞cosα分析：根据题意在坐标系画出单位圆，并且作出角α得正弦线、余弦线和正切线，再由α的范围比较出三角函数线的大小．解：由三角函数线的定义作出下图：OP是角α的终边，圆O是单位圆，则AT＝tanα＞1，OM＝cosα，MP＝sinα，∵π4∴OM＜MP＜1，即tanα＞sinα＞cosα，故选D．点评：本题考查了利用角的三角函数线比较三角函数值大小，关键是正确作图，利用角的范围比较出三角函数线的大小．4．运用诱导公式化简求值【知识点的认识】利用诱导公式化简求值的思路1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．5．正切函数的图象【知识点的认识】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R单调性递增区间：[2kπ-π2，2kπ+π2]（递减区间：[2kπ+π2，2kπ（k∈Z）递增区间：[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z）；递减区间：[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）递增区间：（k∈Z）最值x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ﹣（k∈Z）时，ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）时，ymin＝﹣1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：（kπ，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ+π2，k对称中心：（kπ+π2，0）（k∈对称轴：x＝kπ，k∈Z对称中心：（kπ2，0）（k∈Z无对称轴周期2π2ππ6．正切函数的定义域和值域【知识点的认识】三角函数的定义域和值域的规律方法1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法．（1）形如y＝asinx+bcosx+c的三角函数化为y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）；（2）形如y＝asin2x+bsinx+c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；（3）形如y＝asinxcosx+b（sinx±cosx）+c的三角函数，可设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求解．正切函数的值域正切函数的值域可以从他的表达式来求，是正弦函数也余弦函数的比值，所以它的值域为R．【解题方法点拨】例：函数y=|cosx|cosx+tanx|tanx|的值域为解：当角是第一象限中的角时，y＝1+1＝2，当角是第二象限的角时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，当角是第三象限的角时，y＝﹣1+1＝0，当角是第四象限的角时，y＝1﹣1＝0，可知函数的值域是{﹣2，0，2}，故答案为：{﹣2，0，2}．7．正切函数的单调性和周期性【知识点的认识】三角函数的单调性的规律方法1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．正切函数的周期性正切函数y＝tanx的最小正周期为π，即tan（kπ+x）＝tanx．8．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换【知识点的认识】函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤两种变换的差异先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是|φ|ω（ω＞0）个【解题方法点拨】1．一个技巧列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为T42．两个区别（1）振幅A与函数y＝Asin（ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A=M（2）由y＝sinx变换到y＝Asin（ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sinx的图象变换到y＝Asin（ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是|φ|ω（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于3．三点提醒（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先