2024-2025学年上学期高一数学苏教版期中必刷常考题之向量运算

第24页（共24页）2024-2025学年上学期高一数学苏教版（2019）期中必刷常考题之向量运算一．选择题（共5小题）1．（2025•合肥模拟）已知单位圆O上有两点A，B，∠AOB=π3，设向量a→=nA．﹣1 B．﹣2 C．1 D．22．（2025•江西模拟）若向量a→=（2，﹣1），b→=（m，3），且a→⊥bA．35 B．45 C．352 3．（2025•汉中二模）向量|a→|=|b→|=1，A．-12 B．-32 C．14．（2025•孝义市模拟）已知向量a→=（2，3），b→=（x，4），若a→A．1 B．12 C．2 D．5．（2025•芜湖一模）已知向量a→在向量b→上的投影向量为32b→A．6 B．12 C．24 D．9二．多选题（共3小题）（多选）6．（2024秋•下月考）若向量a→=（0，﹣1），b→=（﹣3，4），c→A．|bB．(aC．a→D．a→在c→（多选）7．（2025•宝鸡模拟）已知向量a→=(3A．若a→∥b→，则B．若a→⊥bC．若a→与b→的夹角是π3D．若a→与b→的方向相反，则b→在（多选）8．（2025•重庆模拟）已知向量a→=(1，3)，b→=A．若a→⊥bB．若a→∥bC．若b→在a→上的投影向量为-14a→，则向量D．|a→三．填空题（共4小题）9．（2025•河南模拟）已知向量a→，b→满足|a→|＝2，|b→|＝3，|a→+b→|＝4，则|a→10．（2025•天津模拟）已知O为△ABC的重心，直线MN过O，交线段AB于M，交线段AC于N，其中AM→=mAB→，AN→=nAC11．（2025•苏州开学）已知非零向量a→，b→满足：a→⊥b→，|a→-b→|=2，设cλ→=λa→+(1-λ12．（2025•顺德区模拟）已知向量a→=（2，1），a→•（a→+2b→）＝7，则b→在四．解答题（共3小题）13．（2024秋•珲春市校级期末）已知a→=(23sinx，（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）已知f(x0)=135，14．（2025•云南校级开学）已知在△ABC中，AB=3，AC=6，BC=5，O为△ABC内一点，且满足∠AOB＝∠BOC＝∠（1）求△ABC的面积；（2）求OA→（3）求|OA|2+|OB|2+|OC|2的值．15．（2025•青羊区校级开学）人教A版必修第二册第46页上在用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图1，在锐角△ABC中，过点A作与AC→垂直的单位向量j→，因为AC→+CB→=AB→，所以j→•（AC→+CB→）=j→•AB→，由分配律，得j→•AC→+j→•CB→=j→•AB→，即|j→|•|AC→|cosπ2+|j→||AB→|•cos（π2-C）＝|j→|•|AB→|cos（π2-A），也即asinC

2024-2025学年上学期高一数学苏教版（2019）期中必刷常考题之向量运算参考答案与试题解析题号12345答案BCDBC一．选择题（共5小题）1．（2025•合肥模拟）已知单位圆O上有两点A，B，∠AOB=π3，设向量a→=nA．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】B【分析】由题意|OA→|=|OB→|=1，【解答】解：由题意可得|OA→|=|因为|a所以|=[(=(n+1)2+2×2×(故选：B．【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，属基础题．2．（2025•江西模拟）若向量a→=（2，﹣1），b→=（m，3），且a→⊥bA．35 B．45 C．352 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的坐标运算．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】C【分析】直接利用向量的坐标运算和向量垂直的充要条件求出b→=(3【解答】解：因为a→⊥b→，向量a→=（2，﹣1），所以a→⋅b故b→故|b故选：C．【点评】本题主要考查向量的坐标运算和向量垂直的充要条件，属于基础题．3．（2025•汉中二模）向量|a→|=|b→|=1，A．-12 B．-32 C．1【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】D【分析】先移项得出b→=c【解答】解：因为a→+b两边同时平方得：a→因为|a→|=|b→所以a→⋅c故选：D．【点评】本题考查平面向量的数量积与夹角，属于基础题．4．（2025•孝义市模拟）已知向量a→=（2，3），b→=（x，4），若a→A．1 B．12 C．2 D．【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】计算题；方程思想；转化思想；平面向量及应用．【答案】B【分析】根据题意，求出向量a→-b→的坐标，由向量垂直与向量数量积的关系分析可得若a→⊥（a→-b→），则有a→•（a→-b→）＝【解答】解：根据题意，向量a→=（2，3），b→=（则a→-b→=（2若a→⊥（a→-b→），则有a→•（a→-b→）＝2（解可得：x=故选：B．【点评】本题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量垂直与向量数量积的关系．5．（2025•芜湖一模）已知向量a→在向量b→上的投影向量为32b→A．6 B．12 C．24 D．9【考点】平面向量的投影向量；平面向量的数量积运算．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．【答案】C【分析】由投影向量的概念列式即可求解．【解答】解：向量a→在向量b→上的投影向量为32可得a→⋅b故选：C．【点评】本题考查投影向量的概念，属基础题．二．多选题（共3小题）（多选）6．（2024秋•下月考）若向量a→=（0，﹣1），b→=（﹣3，4），c→A．|bB．(aC．a→D．a→在c→【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的投影向量；平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】CD【分析】利用向量模长公式判断A；根据向量平行的性质判断B；根据向量垂直数量积为零判断C；利用投影向量的定义判断D．【解答】解：对于A，因为b→=（﹣3，4），所以|b对于B，因为a→=（0，﹣1），b→=（﹣3，4），c→所以a→+c→=(4，3)≠对于C，因为a→=（0，﹣1），b→=（﹣3，4），c→则b→所以a→⋅(b→对于D，因为a→=（0，﹣1），b→=（﹣3，4），c→所以a→所以a→在c→上的投影向量为(-故选：CD．【点评】本题考查平面向量的坐标运算，属于中档题．（多选）7．（2025•宝鸡模拟）已知向量a→=(3A．若a→∥b→，则B．若a→⊥bC．若a→与b→的夹角是π3D．若a→与b→的方向相反，则b→在【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的投影向量；平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】ABC【分析】利用向量平行、垂直的坐标表示判断AB；利用向量数量积的运算律判断C；利用投影向量的定义判断D．【解答】解：因为向量a→=(3若a→∥b解得tanα=33若a→⊥b解得tanα=-3若a→与b→的夹角是π3，因为|所以(a所以|a→-若a→与b→的方向相反，所以所以b→在a→上的投影向量为a→故选：ABC．【点评】本题考查平面向量平行与垂直的性质，考查数量积的运算及投影向量的求法，属中档题．（多选）8．（2025•重庆模拟）已知向量a→=(1，3)，b→=A．若a→⊥bB．若a→∥bC．若b→在a→上的投影向量为-14a→，则向量D．|a→【考点】平面向量的投影向量；数量积表示两个平面向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；平面向量及应用；运算求解．【答案】ACD【分析】根据两个向量垂直的坐标表示，结合同角三角函数的基本关系判断出A项的正误；根据两个向量平行的坐标表示，结合同角三角函数的基本关系求出tanα，从而判断出B项的正误；根据投影向量的公式算出向量a→、b→的夹角，从而判断出C项的正误；根据向量的模长公式、正弦函数的图象与性质，算出|a→-【解答】解：对于A，若a→⊥b→，则可得cosα=-3sinα，所以tanα=sinα对于B，若a→∥b→，则3cosα=sinα所以α=π3对于C，由题意得|a→|=2，|b→|=1，由可得|b→|cos＜a→，b→＞•a→结合＜a→，b→＞∈[0，π]，可得＜a对于D，a→-b→=（1﹣cosα可得|a当sin(α+π6|a→-b→|2取得最大值9故选：ACD．【点评】本题主要考查两个向量平行与垂直的条件、同角三角函数的基本关系、向量的投影与模长公式等知识，属于中档题．三．填空题（共4小题）9．（2025•河南模拟）已知向量a→，b→满足|a→|＝2，|b→|＝3，|a→+b→|＝4，则|a→【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的模．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．【答案】34．【分析】由已知求得a→【解答】解：由|a→|＝2，|b→|＝3，|a→+可得a→2+2则|a故答案为：34．【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，属基础题．10．（2025•天津模拟）已知O为△ABC的重心，直线MN过O，交线段AB于M，交线段AC于N，其中AM→=mAB→，AN→=nAC【考点】平面向量的数乘与线性运算．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．【答案】9．【分析】由向量的线性运算用向量AM→，AN→表示出向量AO→，由平面向量基本定理得到m，n的关系，然后利用基本不等式求出【解答】解：如图，O为△ABC的重心，设点D为线段BC的中点，由AM→可得AB→则AO→因为M，O，N三点共线，所以13所以12m当且仅当n=1故12m+3n的最小值为9．故答案为：9．【点评】本题考查平面向量的线性运算及平面向量基本定理，属中档题．11．（2025•苏州开学）已知非零向量a→，b→满足：a→⊥b→，|a→-b→|=2，设cλ→=λa→+(1-λ【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】(1【分析】根据a→⊥b→和|a→-b→|=2，求出|a→【解答】解：由cλ→=λa→+(1-λ又存在λ∈[0，1]，使得cλ即[λ所以λa又a→⊥b→，故a因为|a→-b联立①②得|a解得λ∈则|c令2λ-1=则|c故|c故答案为：(1【点评】本题考查平面向量数量积的运算，考查函数值域的求法，属中档题．12．（2025•顺德区模拟）已知向量a→=（2，1），a→•（a→+2b→）＝7，则b→在【考点】平面向量的投影向量．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．【答案】(2【分析】利用投影向量的公式即可得到结果．【解答】解：由a→=（2，1），可得因为a→所以5+2a→⋅所以b→在a→上的投影向量的坐标为故答案为：(2【点评】本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，属基础题．四．解答题（共3小题）13．（2024秋•珲春市校级期末）已知a→=(23sinx，（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）已知f(x0)=135，【考点】平面向量数量积的性质及其运算；三角函数中的恒等变换应用．【专题】函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；平面向量及应用；运算求解．【答案】（1）[-π3+kπ【分析】（1）先根据二倍角公式、辅助角公式化简f（x），然后求解单调递增区间；（2）根据角的配凑可得cos2【解答】解：（1）f=2sin令-π解得-π故函数f（x）的单调递增区间为[-（2）因为f(x0所以sin(2又x0∈[π所以cos(2所以cos=cos=4-3【点评】本题考查三角函数性质，考查两角和差公式，二倍角公式，属于中档题．14．（2025•云南校级开学）已知在△ABC中，AB=3，AC=6，BC=5，O为△ABC内一点，且满足∠AOB＝∠BOC＝∠（1）求△ABC的面积；（2）求OA→（3）求|OA|2+|OB|2+|OC|2的值．【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】转化思想；向量法；解三角形；平面向量及应用；运算求解．【答案】（1）142（2）-42（3）7-【分析】（1）应用余弦定理及平方关系求得sinA=（2）设|OA→|=x，|OB→|=（3）根据（2）并应用余弦定理有x2+y2+z2+12(xy+yz+zx)=7，再由|OA|2+|【解答】解：（1）在△ABC中，AB=3，AC=6，BC由余弦定理可得cosA=又A∈（0，π），故sinA=所以S△（2）设|OA→|=x，则OA→又S△整理得xy+所以OA→（3）设|OA→|=x，由余弦定理可知，AB同理AC2＝x2+z2+xz＝6，BC2＝z2+y2+zy＝5，故x2即|OA【点评】本题考查正、余弦定理的综合应用，考查平面向量数量积运算，属中档题．15．（2025•青羊区校级开学）人教A版必修第二册第46页上在用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图1，在锐角△ABC中，过点A作与AC→垂直的单位向量j→，因为AC→+CB→=AB→，所以j→•（AC→+CB→）=j→•AB→，由分配律，得j→•AC→+j→•CB→=j→•AB→，即|j→|•|AC→|cosπ2+|j→||AB→|•cos（π2-C）＝|j→|•|AB→|cos（π2-A），也即asinC【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】acos（B﹣θ）+bcos（A+θ）＝ccosθ．【分析】过点D作DF∥BC，取单位向量n=DE→【解答】解：如图所示，过点D作DF∥BC，在△ABC中，AB→+BC则n→⋅(又n→n→n⋅所以﹣ccosθ+acos（B﹣θ）+bcos（A+θ）＝0，整理得acos（B﹣θ）+bcos（A+θ）＝ccosθ，即θ与△ABC的边和角之间的等量关系为：acos（B﹣θ）+bcos（A+θ）＝ccosθ．【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题．

考点卡片1．三角函数中的恒等变换应用【知识点的认识】1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．（2）商数关系：sinαcosα=tan2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．公式五：sin（π2-α）＝cosα，cos（π2-α）＝sinα，tan（π2公式六：sin（π2+α）＝cosα，cos（π2+α）＝﹣sinα，tan（π23．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sinαcosα；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α=22．平面向量的模【知识点的认识】向量概念既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．向量的模AB→的大小，也就是AB→的长度（或称模），记作|AB【解题方法点拨】﹣计算模：也就是AB→﹣实际应用：用于求解平面几何中的距离问题，如两点间的距离等．【命题方向】﹣向量模的计算：考查如何计算向量的模，并应用于几何问题．﹣向量长度的应用：在问题中如何利用向量的长度解决实际问题，如物体的位移和距离计算．如图，在2×4的矩形中，起点和终点都在小方格顶点，且模与AB→的模相等的向量（除AB→本身）共有39解：如图，设小正方形的边长为1，则|AB→|=则长度为5的对角线有20个，分别为AB，DE，FG，HI，CD，BF，EH，GK，CO，EM，BP，GN，EQ，IO，AO，MF，NH，PD，OK，FQ，∴模与AB→的模相等的向量（除AB→本身）共有20×2﹣1＝故答案为：39．3．平面向量的数乘与线性运算【知识点的认识】（1）实数与向量a→的积是一个向量，记作λa→，它的大小为|λa→|＝|λ||a→|，其方向与λ的正负有关．若|λa→|≠0，当λ＞0时，λa→的方向与a→的方向相同，当λ＜当λ＝0时，λa→与a对于非零向量a、b，当λ≠0时，有a→∥b→⇔a（2）向量数乘运算的法则①1a→=a→；（﹣②（λμ）a→=λ（μ）a→=μ③（λ+μ）a→=λa→④λ（a→+b→）＝λ一般地，λa→+μb→叫做a→，b→的一个线性组合（其中，λ、μ均为系数）．如果l→=λa→+4．平面向量的数量积运算平面向量的数量积运算5．平面向量数量积的性质及其运算【知识点的认识】1、平面向量数量积的重要性质：设a→，b→都是非零向量，e→是与b→方向相同的单位向量，a→（1）a→⋅e→=（2）a→⊥b→（3）当a→，b→方向相同时，a→⋅b→=|a→||b→|；当a→特别地：a→⋅a→=|a→|2（4）cosθ=a（5）|a→⋅b→|≤|2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：a→（2）数乘向量的结合律：（λa→）•b→=λ（a→⋅（3）分配律：（a→⋅b→）•平面向量数量积的运算平面向量数量积运算的一般定理为①（a→±b→）2=a→2±2a→•b→+b→2．②（a→-b→）（a→+b→）=【解题方法点拨】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a→②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“c→≠0，④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（a→⋅b⑥“acbc=ab”类比得到a→⋅解：∵向量的数量积满足交换律，∴“mn＝nm”类比得到“a→即①正确；∵向量的数量积满足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b即②正确；∵向量的数量积不满足消元律，∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，即③错误；∵|a→⋅b→|≠|a→|∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|即④错误；∵向量的数量积不满足结合律，∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（a→⋅b即⑤错误；∵向量的数量积不满足消元律，∴acbc=ab即⑥错误．故答案为：①②．向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“a→⋅b→=b→⋅a→”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）•c→=a→⋅c→+b→⋅c→”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，a→⋅c→=b→⋅c→⇒a→=c→”；|a→⋅b→|≠|a→|•【命题方向】本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．6．平面向量的投影向量【知识点的认识】投影向量是指一个向量在另一个向量上的投影．投影向量可以用来求两个向量之间的夹角，也可以用来求一个向量在另一个向量上的分解．设a→，b→是两个非零向量，AB=a→，CD=b→，考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称上述变换为向量a→向向量b→向量a→在向量b→上的投影向量是【解题方法点拨】投影，是一个动作．投影向量，是一个向量．我们把|a→|cosθ叫作向量（1）向量a→在向量b→上的投影向量为|a→|e→cosθ（其中e→为与b（2）注意：a→在b→方向上的投影向量与b→在a→方向上的投影向量不同，b→【命题方向】（1）向量分解：将一个向量分解成与另一个向量垂直和平行的两个部分．（2）向量夹角计算：通过求两个向量之间的夹角，则可以判断它们之间的关系（如垂直、平行或成锐角或成钝角）．（3）空间几何问题：求点到平面的距离．7．平面向量数量积的坐标运算【知识点的认识】1、向量的夹角概念：对于两个非零向量a→，b→如果以O为起点，作OA→=a→，OB→=b→，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量a2、向量的数量积概念及其运算：（1）定义：如果两个非零向量a→，b→的夹角为θ，那么我们把|a→||b→|c