多模态信号处理基础 课件 3.8傅里叶变换的性质

傅里叶变换的性质（一）傅里叶变换的性质（一）f1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)，则[af1(t)+b

f2(t)]←→[aF1(jω)+b

F2(jω)]1．线性性质两层含义：齐次性：信号增大a倍，频谱函数也增大a倍。可加性：几个信号之和的频谱函数等于各信号的频谱函数之和。证明：傅里叶变换的性质（一）F(jω)=|F(jω)|ej

(ω)=R(ω)+jX(ω)2．奇偶虚实性如果

f(t)为

实函数

，则：

R(ω)=R(–ω)，X(ω)=–X(–ω)；|F(jω)|=|F(–jω)|，

(ω)=–

(–ω)，

f(–t)←→F(–jω)=F*(jω)

Iff(t)=f(–t)thenX(ω)=0，F(jω)=R(ω)

Iff(t)=–f(–t)thenR(ω)=0，F(jω)=jX(ω)傅里叶变换的性质（一）奇偶虚实性证明设f(t)是实函数（为虚函数或复函数情况相似）显然

所以傅里叶变换的性质（一）若f(t)←→F(jω)，则（1）式中

t→ω，ω→t

则

（2）式中ω→-ωthenF(jt)←→2πf(–ω)3.对称性证明：∴F(jt)←→2πf(–ω)

证毕傅里叶变换的性质（一）4.尺度变换性质Iff(t)←→F(jω)then其中，a为非零实常数。令，a=-1,f(-t)←→F(-jω)由该性质可知，信号的持续时间与信号的占有频带宽度成反比。若加快信息传输速度，需要将信号持续时间缩短，就必须在频域内扩展频带，会降低传输系统的有效性。傅里叶变换的性质（一）(1)

0<a<1时域扩展，频带压缩。脉冲持续时间增加1/a倍，变化慢了，信号在频域的频带压缩a倍。高频分量减少，幅度上升1/a倍。

t0f(t)Et0E-ττ2F(2ω)ω02EτF(ω)0Eτω傅里叶变换的性质（一）(2)a>1时域压缩，频域扩展a倍。(3)a=-1时域反转，频域也反转。信号持续时间缩短，变化加快。信号在频域高频分量增加，频带展宽，各分量的幅度下降a倍。f(-t)←→F(-jω)t0f(2t)E0ω傅里叶变换的性质（一）[af1(t)+b

f2(t)]←→[aF1(jω)+b

F2(jω)]

R(ω)=R(–ω)，X(ω)=–X(–ω)；|F(jω)|=|F(–jω)|，

(ω)=–

(–ω)，

f(–t)←→F(–jω)=F*(jω)

Iff(t)=f(–t)thenX(ω)=0，F(jω)=R(ω)

Iff(t)=–f(–t)thenR(ω)=0，F(jω)=jX(ω)F(jt)←→2πf(–ω)小结傅里叶变换的性质（二）傅里叶变换的性质（二）Iff(t)←→F(jω)then证明:5.时移特性证毕。“t0”为实常数。表示如果信号在时域中延时t0，则信号的所有频率分量在频域中相位会落后，而幅值保持不变。t0傅里叶变换的性质（二）例1：某信号如下图所示，试求该信号的傅里叶变换。分析:f1(t)=g6(t-5),f2(t)=g2(t-5)g6(t-5)←→g2(t-5)←→∴‖+122468o-1tf(t)t1224680-1f1(t)1224680-1f2(t)tgτ(t)傅里叶变换的性质（二）例2：设

f(t)←→F(jω),则

f(at–b)←→?分析:（1）先平移后尺度变换

f(t–b)←→e

-jωb

F(jω)f(at–b)←→f(at)←→（2）先尺度变换后平移傅里叶变换的性质（二）例3

求图(a)所示三脉冲信号的频谱。解：先求中间单矩形脉冲的傅氏变换f（t）tEO-TT（a）三脉冲信号的波形（b）频谱图

OF0(jω)而傅里叶变换的性质（二）频谱包络不变，脉冲个数增多，带宽不变。由时移特性可知图（a）信号的频谱函数为

（c）三脉冲信号的频谱OF

(jω)傅里叶变换的性质（二）6.频移性质f(t)←→F(jω)，则证明:证毕傅里叶变换的性质（二）解：例4已知矩形调幅信号：求其频谱。抽样函数形式的包络线一分为二，向左右各平移f（t）tE（a）矩形调幅信号的波形F（jω）-ω0ωO（b）矩形调幅信号的频谱傅里叶变换的性质（二）时移特性频移性质小结傅里叶变换的性质（三）傅里叶变换的性质（三）时域卷积如果

f1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)则：

f1(t)*f2(t)←→F1(jω)F2(jω)频域卷积如果

f1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)则：

f1(t)f2(t)←→F1(jω)*F2(jω)7.

卷积性质傅里叶变换的性质（三）分析:例1

求F(j

)20-2π

g2(

)*g2(

)20-22

傅里叶变换的性质（三）8.时域微积分性质f(t)←→F(jω)则

如果

f

(n)(t)←→Fn(jω)，且

f(-∞)+f(∞)=0则

f(t)←→F

(jω)=Fn(jω)/(jω)n微分性质积分性质是f(t)的直流分量F（0）F（0）=0,则傅里叶变换的性质（三）分析:f”(t)=(t+2)–2(t)+(t–2)F2(jω)=FT[f”(t)]=ej2ω–2+e–

j2ω=2cos(2ω)–2例2

求f(t)的傅里叶变换f(-∞)+f(∞)=0tf(t)20-22f´(t)20-1-21tf´´(t)（1）（1）（-2）t2-2δ(t)1傅里叶变换的性质（三）9.频域的微积分性质

f(t)←→F(jω)则

(–jt)n

f(t)←→F(n)(jω)微分性质积分性质傅里叶变换的性质（三）例3

求

f(t)=tε(t)←→F

(jω)=?分析:例4

求

积分故傅里叶变换的性质（三）10.相关定理f1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)，f(t)←→F(jω)，则

R12(τ)←→

F1(jω)F2*

(jω)；R21(τ)←→F1*

(jω)F2(jω)R(τ)←→|F

(jω)|2利用相关函数与卷积积分的关系：R12(τ)=f1(τ)*f2(–τ)

R12(τ)←→F1(jω)