浙教版七年级下册数学举一反三系列 专题76 期末专项复习之分式十六大（学生版）

专题7.6分式十六大必考点

【浙教版】

【考点1分式有意义的条件】....................................................................1

【考点2分式的基本性质的运住（扩大或缩小倍数）1.............................................2

【考点3分式的值为整数】......................................................................3

【考点4分式的值为正数或负数】..............................................................3

【考点5分式的化简求值综合运算（非负性与二元一次方程组）】.................................4

【考点6分式的化简求值综合运算（不等式组）】.................................................4

【考点7分式的混合运算（作差法比较大小）】..................................................5

【考点8分式的化简求值（裂项相消）】.........................................................6

【考点9分式的化简求值综合运算（通分代入）】.................................................7

【考点10分式的化简求值（倒数法）】............................................................7

【考点11解分式方程的运用（增根问题）】......................................................10

【考点12解分式方程的运用（无解问题）】......................................................10

【考点13分式的混合运算（规律问题）】........................................................11

【考点|4解分式方程与不等式组】..............................................................12

【考点15解分式方程的运用（新定义问题）】....................................................13

【考点16分式方程的应用】.....................................................................14

2”洋一式三

【考点1分式有意义的条件】

【例1】（2022•湖南邵阳•八年级期末）下列各式中，无论x为何实数，分式都有意义的是：（）

x+lIt

【变式1-1】（2022・山东临沂•八年级期末）已知对任怠实数二式子尸-4"”都有怠义，则实数171的取值范围

是（）

m>4m<4m>4m<4

A.B.C.D.

I

【变式1-2］（2022•浙江温州•七年级期末）当*=3时，分式没有意义，则的值为（）

3

2

B.C.D.3

【变式1-3］（2022•安徽合肥•七年级期末）已知分灯一严,“为常数）满足表格中的信息，则下列结

论中错误的是（）

，取值-22Pq

分式的值无意义012

m=-2P=6

Lr♦D.q的值不存在

【考点2分式的基本性质的运用（扩大或缩小倍数）】

【例2】（2022•浙江宁波七年级期末）将分式叫

中x与），的值同时扩大为原来的3倍，分式的值（)

A.扩大3倍B.缩小3倍C.不变D.无法确定

3ab1

【变式2-1］（2022•四川凉山•八年级期末）若把分式17中的4、垢都缩小为原来的③，则分式的值（）

A.缩小为原来的③B.扩大为原来的6倍

1

C.缩小为原来的0D.不变

101

【变式2-2］（2022・贵州毕节•八年级期末）若把分式+中的x和），同时扩大为原来的10倍，则分式的值（）

A.扩大到原来的10倍B.扩大到原来的100倍

C.缩小为原来的"D.不变

【变式2-3】（2022•山东滨州•八年级期末）关于分式"I"，下列说法正确的是（）

A.分子、分母中的"八〃均扩大2倍，分式的值也扩大2倍

B.分子、分母的中加扩大2倍，〃不变，分式的值扩大2倍

C.分子、分母的中〃扩大2倍，，〃不变，分式的值不变

D.分子、分母中的小、〃均扩大2倍，分式的值不变

【考点3分式的值为整数】

“7

【例3】（2022•山东省日照第二中学八年级期末）使分式"T的值为整数的所有整数x的和是（）

A.3B.2C.0D.-2

【变式3-1］（2022•上海市民办新北郊初级中学七年级阶段练习）若ml的值为0,则“的值一定不是

（）

—1-2

A.B.C.0D.1

（2022・江苏无锡•七年级期末）若二1表示一个整数，则整数a可取的值共有（）

【变式3-2］

A.2个B.3个C.4个D.5个

小1

（2022•河南漂河•八年级期末）对于非负整数-使得=是一个正整数，则符合条件文的个数

【变式3-3】

有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

【考点4分式的值为正数或负数】

【例4】（2022•辽宁・丹东市第五中学八年级期末）若分式的值为正数，则x的取值范围是（）

A.x>-2B.x<lC.x>-2且D.x>l

2

【变式4-1］（2022•新疆•克拉玛依市白碱滩区教育局八年级期末）分式37」的值为负数，则实数由勺取值范

围是______

.

【变式4-2］（2022・上海•七年级期末）若分式的值总是正数，则”的取值范围是（）

a>00<a<；a<o°

A.B.c..D.或，

一♦1

【变式4-3］（2022•广东・金道中学八年级期末）如果百的值为负数，则x的取值范围是.

【考点7分式的混合运算（作差法比较大小）】

【例7】（2022•江苏•南京师范大学附属中学树人学校二模）根据不等式的性质：若"一则、>>'；若

口-1>看—2

X-KC,则内工利用上述方法证明：若^。，则”i.

【变式7-1]（2022•浙江杭州•模拟预测）已知n=3a2-2ab（a*0,awb）.

（1）当。=3,b=-2时，分别求〃?，〃的值.

（2）比较〃+了与2/的大小.

1三

（3）当〃?=12,〃=18时，求的值.

1<2.1<2_1<1-

【变式7-2】（2022•安徽合肥・二模）观察下列不等式：①厘叱②*R；③*；

根据上述规律，解决下列问题：

（1）完成第5个不等式：:

（2）写出你猜想的第71个不等式：（用含力的不等式表示）；

H21

（3）利用上面的猜想，比较和”的大小.

【变式7-3】（2022・江西景德镇•八年级期末）阅读理解：已知"*""必一好"=20一2二试比较〃

与9的大小.

想法：求p-q.当p-q>°,则p>q；当p—q<°,则p<%当p-q=°,则

..p-q=（二一y2）-（2xy-2r）=r-2x>*+/=（x-y）2>0,p>q

用华：・,・・•

用你学到的方法解决下列问题：

⑴已知且—试比较小与〃的大小.

（2）甲、乙两地相距加），小明和小宇同路往返于甲乙两地.小明去时和返回时的速度分别是03介）、

av4QUD/11）

（,叫，小宇去时和返回时的速度都是2.请问二者一个来回中，谁用时更短？

【考点8分式的化简求值（裂项相消）】

【例8】（2022•安徽宣城•七年级期末）我们把分子是1的分数叫做分数单位，有些单位分数可以拆成两个

不同的分数的差，如$：312545623…请用观察到的规律解方程

—。）…，该方程的解是

11111■I1

【变式8-1］（2022•广西南宁•八年级期末）观察下面的变形规律:1x222x3233x4

1_1_1I

*一’一'...回答问题：若即而旬+…+（eaa+幽―rHOC则X的值为（）

A.100B.98C.1D.

【变式8-2］（2022•安徽合肥•七年级期末）观察下列各式：

1.1

③和一1

（1）请用以上规律计算:

♦------------=——

E20G）（E+皿1）«*X21求巾的值.

（2）宥

【变式8-3］（2022•江苏常州•八色级期末）（1）读读做做：教材中有这样的问题，观察卜.面的式子，探索

它们的规律,用正整数n表示这个规律是

（2）问题解决：一容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第一次倒出二L水，第二次倒出的水量是二L水

的2,第三次倒出的水量是\水的，第四次倒出的水量是“L水的“，......，第n次倒出的水量是“L水的

按照这种倒水方式，这1L水能否倒完？

11111

（3）拓展探究：①解方程：也

②化简:1•2•32-3-43•4••

【考点9分式的化简求值综合运算（通分代入）】

2叶对F

【例9】（2022•山东滨州八年级期末）已知“’一3,求分式l21T的值.

±.I_24a-SaH21

【变式9-1】（2022•湖南邵阳•八年级期末）已知“°一，那么分式"A"-的值是.

x+-=3j

【变式9-2］（2022・河北•北师大石家庄长安实验学校八年级阶段练习）已知”，那么分式”一工2的值

为_・

【变式9-3］（2022・湖南・武冈市第二中学八年级阶段练习）若RA*的值为果则”+卬■'的值为（）

【考点10分式的化简求值（倒数法）】

【例10】（2022・山东•济宁市第十五中学八年级阶段练习）阅读下面的解题过程：已知：了“―*求E的

—=3理=3

,所以.

-^=(x+-)-2=3:-2=7

所以X''X)

.1

故不的值为2

该题的解法叫做"倒数法"，请你利用“倒数法”解决下面的题目:

已知：\求俯值.

【变式10-1]（2022•江苏徐州•八年级阶段练习）在解决数学问题时，我们常常借助“转化”的思想化繁为简,

化难为易.如在某些分式问题中，根据分式的结构特征，通过取倒数的方法可将复杂问题转化为简单问题,

使问题迎刃而解.

例：己知3,求+03’的值.

解：•••西——=3—+-=3。+-=3

⑴请继续完成上面的问题;

1-4£

⑵请仿照上述思想方法解决问题：已知「一b1,求正*；的值.

【变式10-2】（2022•湖北鄂州•八年级期末）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式

子，解答问题.

材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式,

从而运用约分化简，以达到计算目的.

例：若E-1求代数式f+丁的值.

*_1/+1

解：•.丁=4

三十zLA-

即*J=4,X+A=4,/.x2+jr=(x+x)2-2=16-2=14

材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数将连等式变成几个值为女的等式，这样就可以

通过适当变形解决问题.

例：若2x=3y=4z,且工打工0,求'”的值.

解：令2x=3y=4z=A(kwO)

i

kk

则x=[y=3

根据材料回答问题:

(1)已知1-"］一",求x+”的值.

⑵已知,4\(abcwO),求2a的值.

⑶己知小八z为实数言=-2,左：3=7求分式缶喘值.

【变式10-3】(2022•四川・隆昌市知行中学八年级阶段练习)阅读下列解题过程:

*_1X2

已知?“一*求耳的值.

*_1-_&

由内一；，知所以丁一艮产”

解:XKQ

♦1

•・可的值为7的倒数，即乙

以上解法中先将已知等式的两边“取倒数〃，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒

数法"，请你利｝IJ"倒数法”解决下面问题:

(1)已知？*-三,求K的值.

>*_1X2

(2)已知〜万一1求箝H的值.

*y=22L=彳三彳

(3)已知所-,而=',示求石后的值.

【考点11解分式方程的运用（增根问题）】

【例11】（2022•浙江宁波•七年级期末）若关于"的分式方程K三.而有增根，则”的值为

■“12

【变式11-1】（2022•河北承德•八年级期末）关于x的方程：

（1）当a=3时，求这个方程的解；

⑵若这个方程有增根，求a的值.

m1]

【变式11-2】（2022・上海•七年级期末）若产1是方程的增根，贝h〃=—.

上+丝=3

【变式11-3】（2022•重庆巫溪•八年级期末）已知，关于x的分式方程有增根，且

mor+d-+2ma-6d+11=0a+t,,_„/、

,则niI的值是（）

A.1B.2C.3D.4

【考点12解分式方程的运用（无解问题）】

kx2fc-l_2

【例12]（2022•江苏泰州•八年级期末）若分式方程11卜""无解，则上

【变式12-1】（2022•山东潍坊•八年级期末）已知关于*的分式方程-无解，则利的值为（）

0Oo.-8-80T—8T—4

A.B.或C.D.或或

【变式12-2】（2022•广东•绿翠现代实验学校八年级期末）在现今"互联网+”的时代，密码与我们的生活已

经紧密相连，但诸如"123456〃.牛.日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码

就很有必要了.有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解因式，例如多项式：X3

+2x2-x-2因式分解的结果为（x-l）（x+1）（x+2）,当X=18H'J,x-1=17,x+l=19,x+2=20,

此时可以得到数字密码:171920,191720,201719等.

（1）根据上述方法，当x=21,y=7时，对于多项式x3-xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（只需写

出其中2个）

（2）若多项式x3+（m+n）x2・nx・21因式分解后，利用本题的方法，当x=27时可以得到其中一个密码

为242834,求m、n的值；

（3）若关于x的方程EQ-质而百=箝^三而^无解，求k的值.

°+2=工

【变式12-3】（2022•四川内江•八年级期末）已知关于x的分式方程‘1比1'a?L«无解，则所有符合

条件的机值的和为（）

A.1B.2C.6D.7

【考点13分式的混合运算（规律问题）】

【例131（2022•陕西•九年级期末）解方程：

工=工一1

①"I"1的解x=.

②不1"我7.1的解、=

—--1

③"1"I的解x=.

—T

④f*♦'的解x=.

（1）根据你发现的规律直接写出⑤，⑥个方程及它们的解.

（2）请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解.

x+三=3x+-=5xf-=7

【变式13-1】（2022・广西百色•七年级期末）下列一组方程：①“，②*，③*，…,

小品通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利的求出了前三个方程的解，她的解题过程如下：

x+—=1+2

由①得：1,解是片1或x=2;

x+2=2+3

由②得:“，解是.『2或x=3;

x+—=3+4

由③得：X,解是广3或x=4.

请根据以上小晶发现的规律，回答下列问题:

（1）第④个方程是,解是：;

（2）若〃为正整数，则第〃个方程是,解是：:

x+^^=2n+4

（3）若〃为正整数，求关于x的方程LS的解.

【变式13-2】（2022•河北•南皮县桂和中学八年级阶段练习）已知他="+1（"可且X*T）,f

%=±...%=土

，，•

（1）根据上述规律，可得S=（用含字母"的代数式表示）；

（2）当*的值为时，的值为S

【变式13-3】（2022•山东枣庄•八年级期末）先阅读下面的材料，然后回答问题：

x+-=2+；Y,-2x2=；

方程x•的解为刈0-；

*+2=3+!M

方程x1勺解为1-,

.1..11

（+-=4+:_Ax=：

方程X"的解为I-',2\...

X+—=5♦T

⑴观察上述方程的解，猜想关于了的方程X'的解是

t+巳_o+W

⑵根据上面的规律，猜想关于大的方程、一°的解是.

⑶根据上述规律，解关于），的方程",.

【考点14解分式方程与不等式蛆】

［苧-I-

【例14】（2022•重庆实验外国语学校一模）若整数。使关于X的不等式组（a-2xW-2有解且至多有四个

整数解，且使关于y的分式方程"的解为非负数，则满足条件的所有a的值之和为（）

【变式14-1]（2022•重庆南开中学九年级开学考试）若关于"的一元一次不等式组I3x-a^2的解集为

”＜一2,且关于'的分式方程y+l厂i的解为负整数，则所有满足条件的整数0的值之和是（）

O___LI__|

【变式14-2]（2022・重庆八中九年级期末）若。使关于飞勺分式方程二1二一的解为整数，且使关于的

+l）-2yN6

ry＜华有且仅有2个整数解，则所有符合条件的整数。的值之和是（）

【变式4-3]（2022・重庆・西南大学附中八年级期末）若关于x的不等式组Ix-a＞0至少有2个整数解,

且关于y的分式方程尸1的解为非负数，则符合条件的所有整数〃的和为（）

【考点15解分式方程的运用（新定义问题）】

【例15】（2022・江苏•兴化市乐吾实验学校八年级阶段练习）定义：若两个分式的差为2,则称这两个分式

属于“友好分式组”.

⑴下列3组分式：

3a■+；

①“7与”:；②与③与‘其中属于“友好分式绷，的有（只填序号）；

3a2

（2）若正实数小〃互为倒数，求证皿与内属于“友好分式组〃;

⑶若。，。均为非零实数，且分式与"或属于“友好分式组，一求分式F-的值.

CLa♦。〈2r-1x（

【变式15-1】（2022•河南南阳,八年级期末）定义运算〃※〃：X'r若3派，则的值为,

）

A.1B.5C.1或5D.5或7

a^b-3出=，:=；

【变式15-2】（2022・湖南永州•八年级期末）现定义一种新的运算：例如：31T\

若美于x的方程胴施"=-2的解为非负数，则中的取值范围为.

a・b=廛

【变式15-3】（2022•山东荷泽•八年级期末）定义〜种新运算“*J如：