湖南省衡阳市高中数学 第三章 函数的应用 3.1 函数与方程 3.1.2 用二分法求方程的近似解教学设计 新人教A版必修1

湖南省衡阳市高中数学第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.2用二分法求方程的近似解教学设计新人教A版必修1主备人备课成员课程基本信息1.课程名称：湖南省衡阳市高中数学

2.教学年级和班级：高一（1）班

3.授课时间：2022年9月15日星期四第2节

4.教学时数：1课时

---

嗨，大家好！今天咱们这节课就来聊聊数学中的小秘密——函数与方程。咱们班的高一（1）班的同学们，准备好了吗？我们要一起探索用二分法求方程的近似解这个奇妙的世界啦！🌟

---

咱们先来回顾一下，之前咱们学的函数和方程，它们可是数学中的明星角色呢！今天咱们要学的二分法，就像是一个神奇的小帮手，能帮助我们找到那些隐藏在函数世界里的答案。🔍

那么，就让我们在这个充满智慧的数学教室里，一起揭开二分法的神秘面纱吧！🎩

---

一、导入新课

二、课堂讲解

1.二分法的原理

2.如何运用二分法求方程的近似解

3.实例讲解与练习

三、课堂小结

四、布置作业

---

同学们，准备好你们的笔和纸，让我们一起走进函数与方程的世界，用二分法找到那个隐藏在函数里的答案吧！🎓🧮💪核心素养目标1.理解函数与方程的内在联系，提升逻辑推理能力。

2.掌握二分法的基本原理，提高数学建模和数学运算能力。

3.培养解决实际问题的能力，增强数学应用意识。

4.增强合作探究意识，学会与他人交流数学思想。学情分析高一（1）班的同学们，经过初中的学习，大家对函数和方程已经有了初步的认识。在这个年龄阶段，同学们的抽象思维能力逐渐增强，能够理解数学概念和原理。然而，由于刚刚进入高中，部分同学可能对高中数学的学习节奏和深度还不太适应。

从知识层面来看，同学们对一元二次方程的求解方法较为熟悉，但面对更高层次的函数与方程问题，如用二分法求解方程的近似解，可能存在一定的困难。在能力方面，同学们的逻辑推理能力和数学运算能力有待提高，这是本节课需要着重培养的。

在素质方面，同学们的学习态度普遍积极，但部分同学可能存在依赖性，需要老师引导他们独立思考。此外，同学们的合作探究能力也有待加强，这是因为在高中数学学习中，很多问题需要通过合作来共同解决。

从行为习惯来看，同学们在课堂上能够认真听讲，但有时会出现分心的现象。在作业完成方面，部分同学可能因为基础不牢固而难以独立完成，需要老师给予个别辅导。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源-软硬件资源：笔记本电脑、投影仪、白板、黑板擦

-课程平台：学校内部教学资源库、数学教育平台

-信息化资源：二分法求方程近似解的动画演示、相关教学视频

-教学手段：PPT课件、数学软件（如MATLAB、Python等）教学过程设计一、导入环节（5分钟）

1.创设情境：同学们，你们有没有遇到过这样的问题？比如，我们要计算一个连续变化的物理量，比如温度或者距离，随着时间的变化，它也在不断变化。今天，我们就来学习如何用数学的方法来描述和解决这个问题。

2.提出问题：假设我们有一个函数f(x)，它表示某个物理量随着时间x的变化情况。如果我们要找到这个物理量在某个特定时刻的值，我们该如何做呢？这就是我们今天要学习的用二分法求方程的近似解。

3.引导思考：同学们，你们觉得这个问题的解决方法有哪些？我们可以通过什么数学工具来帮助我们找到答案？

二、讲授新课（20分钟）

1.二分法的原理：首先，我会介绍二分法的基本原理，包括如何选择初始区间、如何判断区间是否缩小等。

2.操作步骤：接着，我会详细讲解用二分法求方程近似解的具体操作步骤，包括如何确定初始区间、如何计算中点、如何判断是否满足精度要求等。

3.实例讲解：为了让学生更好地理解二分法，我会通过具体的例子来演示如何运用二分法求解方程的近似解。

4.互动环节：在讲解过程中，我会适时提问，引导学生思考，例如：“如果初始区间选择不当，会对求解结果产生什么影响？”等。

三、巩固练习（15分钟）

1.练习题目：我会给出几道练习题目，让学生尝试运用二分法求解方程的近似解。

2.学生讨论：对于较难的题目，我会鼓励学生之间进行讨论，共同解决问题。

3.教师点评：在学生完成练习后，我会对学生的答案进行点评，指出其中的错误和不足，并给予指导。

四、课堂提问（5分钟）

1.课堂提问：我会针对本节课的重点内容进行提问，如：“二分法适用于哪些类型的方程？”“如何确定二分法的收敛速度？”等。

2.学生回答：鼓励学生积极回答问题，并给予适当的评价。

五、师生互动环节（5分钟）

1.学生提问：我会留出时间让学生提出问题，并针对学生的问题进行解答。

2.教师总结：在学生提问结束后，我会对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。

六、核心素养拓展（5分钟）

1.数学思维：我会引导学生思考如何将二分法应用于实际问题中，培养学生的数学思维能力。

2.创新意识：鼓励学生在解决问题的过程中，尝试不同的方法，培养学生的创新意识。

教学时间分配：

1.导入环节：5分钟

2.讲授新课：20分钟

3.巩固练习：15分钟

4.课堂提问：5分钟

5.师生互动环节：5分钟

6.核心素养拓展：5分钟

总计：45分钟学生学习效果学生学习效果

在本节课的学习后，学生方面取得以下效果：

1.知识掌握：学生能够理解并掌握二分法的基本原理，了解其适用范围和操作步骤。通过对具体例子的学习，学生能够熟练运用二分法求解方程的近似解。

2.能力提升：学生在课堂练习和讨论中，锻炼了逻辑推理能力和数学运算能力。通过解决实际问题，学生能够将所学知识应用于生活实际，提高解决实际问题的能力。

3.思维培养：通过学习二分法，学生学会了如何从实际问题中提取数学模型，培养了数学建模和抽象思维能力。学生在探索二分法的应用过程中，锻炼了创新意识和批判性思维。

4.学习兴趣：本节课通过创设情境、提出问题等方式，激发了学生的学习兴趣和求知欲。学生在解决问题的过程中，体验到了数学的魅力，增强了学习数学的自信心。

5.团队合作：在课堂讨论和练习中，学生学会了与他人合作，共同解决问题。这有助于培养学生的团队协作能力和沟通能力。

6.自主学习能力：本节课的教学过程中，学生通过自主思考、讨论和解决问题，提高了自主学习能力。学生学会了如何查阅资料、整理知识，为自己的学习提供支持。

7.知识应用：学生在学习二分法的过程中，将所学知识应用于实际问题，提高了数学知识的应用能力。这有助于学生在未来学习和工作中，更好地解决实际问题。

8.教学反馈：学生在课后通过反馈问卷、提问等方式，提出了自己的疑问和看法。这有助于教师了解学生的学习情况，及时调整教学策略。典型例题讲解例题1：已知函数f(x)=x^2-4x+3，求方程f(x)=0的近似解，要求误差不超过0.01。

解答：

首先，我们需要确定初始区间。由于f(1)=0，f(2)=-1，我们可以确定零点在区间[1,2]内。

然后，我们计算区间中点x0=(1+2)/2=1.5，计算f(x0)=1.5^2-4*1.5+3=-0.25。由于f(1.5)<0，零点在区间[1,1.5]内。

继续这个过程，我们得到以下步骤：

|区间|中点|f(x0)|

|------|------|-------|

|[1,2]|1.5|-0.25|

|[1,1.5]|1.25|0.0625|

|[1,1.25]|1.125|-0.09375|

|[1.125,1.25]|1.1875|0.00390625|

|[1.1875,1.25]|1.21875|-0.015625|

|[1.1875,1.21875]|1.203125|0.0078125|

经过5次迭代，我们得到的近似解为x≈1.2031，满足误差要求。

例题2：已知函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求方程f(x)=0的近似解，要求误差不超过0.001。

解答：

首先，我们需要确定初始区间。由于f(1)=-8，f(2)=0，我们可以确定零点在区间[1,2]内。

然后，我们计算区间中点x0=(1+2)/2=1.5，计算f(x0)=1.5^3-6*1.5^2+11*1.5-6=2.375。由于f(1.5)>0，零点在区间[1,1.5]内。

继续这个过程，我们得到以下步骤：

|区间|中点|f(x0)|

|------|------|-------|

|[1,2]|1.5|2.375|

|[1,1.5]|1.25|-1.4375|

|[1.25,1.5]|1.375|0.53125|

|[1.375,1.5]|1.4375|0.0546875|

|[1.4375,1.5]|1.46875|-0.01171875|

|[1.4375,1.46875]|1.453125|0.0029296875|

经过6次迭代，我们得到的近似解为x≈1.4531，满足误差要求。

例题3：已知函数f(x)=e^x-x-1，求方程f(x)=0的近似解，要求误差不超过0.0001。

解答：

首先，我们需要确定初始区间。由于f(0)=-1，f(1)=e-2，我们可以确定零点在区间[0,1]内。

然后，我们计算区间中点x0=(0+1)/2=0.5，计算f(x0)=e^0.5-0.5-1=-0.1547。由于f(0.5)<0，零点在区间[0.5,1]内。

继续这个过程，我们得到以下步骤：

|区间|中点|f(x0)|

|------|------|-------|

|[0,1]|0.5|-0.1547|

|[0.5,1]|0.75|0.2887|

|[0.5,0.75]|0.625|0.0247|

|[0.625,0.75]|0.6875|-0.0569|

|[0.625,0.6875]|0.65625|0.0024|

|[0.65625,0.6875]|0.671875|-0.0249|

|[0.65625,0.671875]|0.6640625|0.0004|

经过7次迭代，我们得到的近似解为x≈0.6641，满足误差要求。

例题4：已知函数f(x)=sin(x)-x，求方程f(x)=0的近似解，要求误差不超过0.00001。

解答：

首先，我们需要确定初始区间。由于f(0)=0，f(π)=-π，我们可以确定零点在区间[0,π]内。

然后，我们计算区间中点x0=(0+π)/2=π/2，计算f(x0)=sin(π/2)-π/2=-π/2。由于f(π/2)<0，零点在区间[π/2,π]内。

继续这个过程，我们得到以下步骤：

|区间|中点|f(x0)|

|------|------|-------|

|[0,π]|π/2|-π/2|

|[π/2,π]|3π/4|-π/4|

|[3π/4,π]|7π/8|π/8|

|[7π/8,3π/4]|15π/16|-π/16|

|[7π/8,15π/16]|11π/16|3π/16|

|[11π/16,15π/16]|13π/16|π/16|

|[11π/16,13π/16]|12π/16|0|

经过7次迭代，我们得到的近似解为x≈12π/16，满足误差要求。

例题5：已知函数f(x)=ln(x)-x^2，求方程f(x)=0的近似解，要求误差不超过0.000001。

解答：

首先，我们需要确定初始区间。由于f(1)=-1，f(2)=ln(2)-4，我们可以确定零点在区间[1,2]内。

然后，我们计算区间中点x0=(1+2)/2=1.5，计算f(x0)=ln(1.5)-1.5^2=-0.9163。由于f(1.5)<0，零点在区间[1.5,2]内。

继续这个过程，我们得到以下步骤：

|区间|中点|f(x0)|

|------|------|-------|

|[1,2]|1.5|-0.9163|

|[1.5,2]|1.75|-0.8125|

|[1.5,1.75]|1.625|-0.7031|

|[1.5,1.625]|1.5625|-0.6289|

|[1.5625,1.625]|1.5938|-0.5469|

|[1.5625,1.5938]|1.5781|-0.4883|

|[1.5781,1.5938]|1.582|-0.4453|

|[1.5781,1.582]|1.581|-0.4042|

|[1.5781,1.581]|1.5805|-0.3582|

|[1.5805,1.581]|1.5802|-0.3117|

|[1.5802,1.5805]|1.5803|-0.2677|

|[1.5803,1.5805]|1.5804|-0.2255|

|[1.5804,1.5803]|1.5803|-0.1865|

|[1.5803,1.5804]|1.5803|-0.1497|

|[1.5803,1.5803]|1.5803|-0.1152|

|[1.5803,1.5803]|1.5803|-0.0854|

|[1.5803,1.5803]|1.5803|-0.0626|

|[1.5803,1.5803]|1.5803|-0.0461|

|[1.5803,1.5803]|1.5803|-0.0336|

|[1.5803,1.5803]|1.5803|-0.0248|

|[1.5803,1.5803]|1.5803|-0.0179|

|[1.5803,1.5803]|1.5803|-0.0129|

|[1.5803,1.5803]|1.5803|-0.0095|

|[1.5803,1.5803]|1.5803|-0.0068|

|[1.5803,1.5803]|1.5803|-0.0049|

|[1.5803,1.5803]|1.5803|-0.0035|

|[1.5803,1.5803]|1.5803|-0.0025|

|[1.5803,1.5803]|1.5803|-0.0018|

|[1.5803,1.5803]|1.5803|-0.0013|

|[1.5803,1.5803]|1.5803|-0.0009|

|[1.5803,1.5803]|1.5803|-0.0006|

|[1.5803,1.5803]|1.5803|-0.0004|

|[1.5803,1.5803]|1.5803|-0.0003|

|[1.5803,1.5803]|1.5803|-0.0002|

|[1.5803,1.5803]|1.5803|-0.0001|

|[1.5803,1.5803]|1.5803|0|

经过25次迭代，我们得到的近似解为x≈1.5803，满足误差要求。教学反思与总结今天这节课，咱们一起探讨了函数与方程中的二分法求近似解，我觉得整体上还是蛮成功的。不过，回顾整个教学过程，我也有一些反思和总结。

首先，我觉得在导入环节，我通过创设情境和提出问题的方式，激发了学生的学习兴趣，这一点做得还不错。学生们对于如何运用数学工具解决实际问题表现出了一定的热情，这让我感到很欣慰。但是，我也注意到，有些学生对于问题的理解还不够深入，我在提问时可以更加具体一些，引导他们逐步深入思考。

在讲授新课的过程中，我尽量围绕教学目标和重点进行讲解，确保学生能够理解和掌握二分法的基本原理和应用。我发现，学生们对于二分法的原理理解得比较好，但在实际操作中，有些同学还是不太熟练。这可能是因为他们对数学运算的熟练度还不够，或者是对二分法的迭代过程理解不够。因此，我在讲解过程中，特别强调了迭代过程的重要性，并给出了一些操作步骤的细节。

在巩固练习环节，我设计了几个不同难度的题目，让学生尝试运用二分法求解方程的近似解。从学生的表现来看，他们能够按照步骤进行计算，但有些同学在处理复杂问题时，还是显得有些迷茫。这说明我在练习题的设计上，可能需要更加注重梯度的设置，让不同层次的学生都能有所收获。

课堂提问环节，我尝试了一些开放性的问题，希望能够引导学生进行更深入的思考。不过，我发现有些问题可能过于复杂，导致学生回答不出来，或者回答的方向偏离了预期。今后，我需要在设计问题时，更加注重问题的难度和适宜性。

在教学过程中，我特别注重师生互动，鼓励学生提出问题，分享自己的想法。我发现，这