2025版高考数学大一轮复习第八章立体几何第4讲直线平面平行的判定与性质分层演练理含解析新人教A版

PAGEPAGE1第4讲直线、平面平行的判定与性质1．在空间内，下列命题正确的是()A．平行直线的平行投影重合B．平行于同始终线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行解析：选D.对于A，平行直线的平行投影也可能相互平行，或为两个点，故A错误；对于B，平行于同始终线的两个平面也可能相交，故B错误；对于C，垂直于同一平面的两个平面也可能相交，故C错误；而D为直线和平面垂直的性质定理，正确．2．平面α∥平面β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α解析：选D.若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，a∥α，a∥β，故解除A.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故解除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故解除C.3．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βD．若m∥n，m∥α，则n∥α解析：选C.对于A，若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β或γ与β相交；对于B，若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β或α与β相交；易知C正确；对于D，若m∥n，m∥α，则n∥α或n在平面α内．故选C.4.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则()A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形解析：选B.由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF綊eq\f(1,5)BD，又EF⊄平面BCD，所以EF∥平面BCD.又H，G分别为BC，CD的中点，所以HG綊eq\f(1,2)BD，所以EF∥HG且EF≠HG.所以四边形EFGH是梯形．5.在三棱锥S­ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝12，平面DEFH分别与AB、BC、SC、SA交于D、E、F、H，且它们分别是AB、BC、SC、SA的中点，那么四边形DEFH的面积为()A．18B．18eq\r(3)C．36D．36eq\r(3)解析：选A.因为D、E、F、H分别是AB、BC、SC、SA的中点，所以DE∥AC，FH∥AC，DH∥SB，EF∥SB，则四边形DEFH是平行四边形，且HD＝eq\f(1,2)SB＝6，DE＝eq\f(1,2)AC＝3.如图，取AC的中点O，连接OB、SO，因为SA＝SC＝12，AB＝BC＝6，所以AC⊥SO，AC⊥OB，又SO∩OB＝O，所以AO⊥平面SOB，所以AO⊥SB，则HD⊥DE，即四边形DEFH是矩形，所以四边形DEFH的面积S＝6×3＝18，故选A.6．设m，l表示直线，α表示平面，若m⊂α，则“l∥α”是“l∥m”的________条件．(填“充分”“必要”“充要”“既不充分也不必要”)解析：m⊂α，l∥α不能推出l∥m；m⊂α，l∥m也不能推出l∥α，所以是既不充分也不必要条件．答案：既不充分也不必要7.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．解析：因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，所以F为DC的中点．故EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2).答案：eq\r(2)8．在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，P是A1B1的中点，过点A1作与截面PBC1平行的截面，所得截面的面积是________．解析：如图，取AB，C1D1的中点E，F，连接A1E，A1F，EF，则平面A1EF∥平面BPC1.在△A1EF中，A1F＝A1E＝eq\r(5)，EF＝2eq\r(2)，S△A1EF＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(（\r(5)）2－（\r(2)）2)＝eq\r(6)，从而所得截面面积为2S△A1EF＝2eq\r(6).答案：2eq\r(6)9.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.证明：(1)如图，连接SB，因为E、G分别是BC、SC的中点，所以EG∥SB.又因为SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，所以直线EG∥平面BDD1B1.(2)连接SD，因为F、G分别是DC、SC的中点，所以FG∥SD.又因为SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，所以FG∥平面BDD1B1，又EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，所以平面EFG∥平面BDD1B1.10．(2024·云南省11校跨区调研)如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠ABC＝90°，AB＝eq\r(3)，BC＝1，AD＝2eq\r(3)，∠ACD＝60°，E为CD的中点．(1)求证：BC∥平面PAE；(2)求点A到平面PCD的距离．解：(1)证明：因为AB＝eq\r(3)，BC＝1，∠ABC＝90°，所以AC＝2，∠BCA＝60°.在△ACD中，因为AD＝2eq\r(3)，AC＝2，∠ACD＝60°，所以AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos∠ACD，所以CD＝4，所以AC2＋AD2＝CD2，所以△ACD是直角三角形，又E为CD中点，所以AE＝eq\f(1,2)CD＝CE，因为∠ACD＝60°，所以△ACE为等边三角形，所以∠CAE＝60°＝∠BCA，所以BC∥AE，又AE⊂平面PAE，BC⊄平面PAE，所以BC∥平面PAE.(2)设点A到平面PCD的距离为d，依据题意可得，PC＝2eq\r(2)，PD＝CD＝4，所以S△PCD＝2eq\r(7)，因为VP­ACD＝VA­PCD，所以eq\f(1,3)·S△ACD·PA＝eq\f(1,3)·S△PCD·d，所以eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)×2＝eq\f(1,3)×2eq\r(7)d，所以d＝eq\f(2\r(21),7)，所以点A到平面PCD的距离为eq\f(2\r(21),7).1．如图，透亮塑料制成的长方体容器ABCD­A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH所在四边形的面积为定值；③棱A1D1始终与水面所在平面平行；④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值．其中正确的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.由题图，明显①是正确的，②是错的；对于③因为A1D1∥BC，BC∥FG，所以A1D1∥FG且A1D1⊄平面EFGH，所以A1D1∥平面EFGH(水面)．所以③是正确的；因为水是定量的(定体积V)．所以S△BEF·BC＝V，即eq\f(1,2)BE·BF·BC＝V.所以BE·BF＝eq\f(2V,BC)(定值)，即④是正确的，故选C.2．(2024·安徽安庆模拟)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N、Q分别是棱D1C1、A1D1、BC的中点，点P在BD1上且BP＝eq\f(2,3)BD1.则以下四个说法：①MN∥平面APC；②C1Q∥平面APC；③A、P、M三点共线；④平面MNQ∥平面APC.其中说法正确的是________．解析：①连接MN，AC，则MN∥AC，连接AM、CN，易得AM、CN交于点P，即MN⊂面APC，所以MN∥面APC是错误的；②由①知M、N在平面APC上，由题易知AN∥C1Q，所以C1Q∥面APC是正确的；③由①知A，P，M三点共线是正确的；④由①知MN⊂面APC，又MN⊂面MNQ，所以面MNQ∥面APC是错误的．答案：②③3．(2024·福建泉州质检)在如图所示的多面体中，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，AD∥BC，AB＝CD，∠ABC＝60°，BC＝2AD＝4DE＝4.(1)在AC上求作点P，使PE∥平面ABF，请写出作法并说明理由；(2)求三棱锥A­CDE的高．解：(1)取BC的中点G，连接DG，交AC于点P，连接EG，EP.此时P为所求作的点(如图所示)．下面给出证明：因为BC＝2AD，G为BC的中点，所以BG＝AD.又因为BC∥AD，所以四边形BGDA是平行四边形，故DG∥AB，即DP∥AB.又AB⊂平面ABF，DP⊄平面ABF，所以DP∥平面ABF.因为AF∥DE，AF⊂平面ABF，DE⊄平面ABF，所以DE∥平面ABF.又因为DP⊂平面PDE，DE⊂平面PDE，PD∩DE＝D，所以平面PDE∥平面ABF，因为PE⊂平面PDE，所以PE∥平面ABF.(2)在等腰梯形ABCD中，因为∠ABC＝60°，BC＝2AD＝4，所以可求得梯形的高为eq\r(3)，从而△ACD的面积为eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3).因为DE⊥平面ABCD，所以DE是三棱锥E­ACD的高．设三棱锥A­CDE的高为h.由VA­CDE＝VE­ACD，可得eq\f(1,3)×S△CDE×h＝eq\f(1,3)S△ACD×DE，即eq\f(1,2)×2×1×h＝eq\r(3)×1，解得h＝eq\r(3).故三棱锥A­CDE的高为eq\r(3).4．如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明：(1)如图所示，设DF与GN交于点O，连接AE，则AE必过点O，连接MO，