人教版九年级上册数学全册教学设计

人教版九年级上册数学全册教案(完整版)教学设计

21.1一元二次方程

9教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

i.理解一元二次方程及相关概念.

2.掌握一元二次方程的一般形式.

3.了解一元二次方程根的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解.

【过程与方法】

从实际问题中建立方程模型，体会一元二次方程的概念.

【情感态度与价值观】

通过从实际问题中抽象出方程模型来认识•元二次方程，培养学生良好的研究问题的习

惯，使学生逐步提高自己的数学素养.

二、重难点目标

【教学重点】

1.一元二次方程的概念及其一般形式.

2.判断一个数是不是一元二次方程的解.

【教学难点】

能准确判断一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项.

T教学过程

环节1自学提纲，生成问题

(5min阅读】

阅读教材P1-P4的内容，完成下面练习.

(3min反馈】

1.解决下列问题：

问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100cm,宽50cm,在它的四角各以去一个同样大

小的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的

底面积为3600cm2.那么铁皮各角应切去多大的正方形？

【解析】设切去的正方形的边长为Xcm,则盒底的长为(100-2x)cm宽为＜50

-2x)cm.

列方程，得(100—2x)(5。-2x)=3600,

化简，整理，得f-75x+350=0.①

问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时

间等条件，赛程计划安排7天，住天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？

【解析】全部比赛的场数为4X7=28(场).设应遨请*个队参赛，旬个队要与其他

(＞一1)个队各褰一场.因为甲队对乙队的比赛和乙队时甲队的比赛是同一场比赛，所以

全部比赛共p(x-l)场.

列方程，得*(1)=28.

化简、整理，得♦一)-56=0.②

归纳总结：方程①②的共同特点是：方程的两边都是只含有一个未知数,

并且未知数的最高次数是2.

2.•元二次方程的定义：等号两边都是鳖式，只含有二_个未知数(•元)，并

且未知数的最岛次数是，(二次)的方程，叫做一元二次方程.

3.一元二次方程的一般形式是aF+/＞x+c=0(aW0).其中戢是二次项,a

是二次项系数，bx是一次项,_1是一次项系数，是常数项.

环节2合作探究，解决问虺

【活动1]小组讨论(师生互学)

【例1】判断下列方程，哪些是一元二次方程？

(l)x-2y+5=0；

(2)x=l：

(3)5,『一2*—；=¥—

(4)2(Z+1)*2=3*563(^+1)：

(5)X2—2A-=A-24-1：

(6)ax+bx+c=0.

【互动探索】(引发学生思考)要判断一个方程是一元二次方程，那么它应该满足哪些条

件？

【解答】(2)(3)(4)是•元二次方程.

【互动总结】（学生总结，老师点评）判断一个方程是不是一元二次方程，首先看方程等

号两边是不是整式，然后移项，使方程的右边为0,再观察左边是否只有一个未知数，且未

知数的最高次数是否为2.

【例2】将方程J+2=5（x-D化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数.

【互动探索】（引发学生思考）•元二次方程的•般形式是怎样的？

【解答】去括号，得*-2/+2=5*—5.

移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式：2"+4》-7=0.

其中二次项系数是2,一次项系数是4,常数项是一7.

【互动总结】（学生总结，老师点评）将一元二次方程化成一般形式时，迪常要将一•次项

化负为正，化分为整.

【例3】下面哪些数是方程2产+10X+12=0的解？

-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.

［互动探索］（引发学生思考）你能类比判断一个数是一元一次方程的解的方法判断一元

二次方程的解吗？

【解答】将上面的这些数代入后，只有一2和一3满足等式，所以*=-2或”=一3是

一元二次方程2丁+10*+12=0的解.

【互动总结】（学生总结，老师点评）要判断•个数是否是方程的解，只要把这个数代入

笞式，看等式两边是否相等即可.若相等，则这个数足方程的解，若不相等，则这个数不足

方程的解.

【活动2】巩固练习（学生独学）

1.下列方程是一元二次方程的是（D）

A.ax+/>>r+c.,=0B.3/—2>v=3（Z—2）

C.x-2A-4=0D.（A-1）24-1=0

2.已知x=2是一元二次方程f-2mx+4=0的一个解，则卬的值为（A）

A.2B.0

C.0或2D.0或一2

【教师点拨】将x=2代入f_2耐+4=0得，4-4/H-4=O.再解关于卬的一元一次方

程即可得出川的值.

3.把一元二次方程（*+1）（1—*）=2>化成二次项系数大于0的一•般式是，+2*—1

=0，其中二次项系数是」_，一次项系数是2,常数项是一1.

【活动3】拓展延伸（学生对学）

【例4】求证：关于/的方程（，一8/17）/+2侬+1=0,不论加取何值，该方程都是

一元二次方程.

【互动探索】（引发学生思考）已知关于X的方程，且含有字母系数，要证明该方程是•

元二次方程，则该方程的二次项系数必须满足什么条件？

【证明】万一8犷4~17=♦—8H+4，+1=GW—4）'+L

V（W-4）2^0,

.,.（flz-4）24-l>0.即（广4/+1W3,

.•.不论加取何值，该方程都是一元二次方程.

【互动总结】（学生总结，老师点评）要证明不论如取何值，该方程都是一元二次方程，

只需证明二次项系数恒不为0,即届一8/17W0.

环节3课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

是整式方程

必须满足,

的三要素'只有•个未知数

1.一元二次方程，

.未知数的最高次数是2

-一般形式：ax+bx+c=0a/0

2.判断一个数是否是一元二次方程解的方法：将这个数分别代入方程他左右两边，如

果“左边=右边”，则这个数是方程的解：如果“左边W右边”，则这个数不是方程的解.

9练习设计

请完成木课时对应练习!

21.2解一元二次方程

21.2.1配方法（第1课时）

9教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

i.理解一元二次方程“降次”转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题.

2.理解并掌握直接开方法、配方法解一元二次方程的方法.

【过程与方法】

1.通过根据平方根的意义解形如的方程，迁移到根据平方根的意义解形如

（*+加>="（〃20）的方程.

2.通过把一元二次方程转化为形如（万一给2=匕的过程解一元二次方程.

【情感态度与价值观】

通过对一元二次方程解法的探索，体会“降次”的基本思想，培养学生良好的研究问题

的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养.

二、重难点目标

【教学重点】

掌握直接开平方法和配方法解一元二次方程.

【教学难点】

把一元二次方程转化为形如(*一日尸=6的形式.

T教学过程

环节1自学提纲，生成问题

【5min阅读】

阅读教材P5〜P9的内容，完成下面练习.

(3min反馈】

1.一般地，对于方程炉="

(1)当P>0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根，汨=_啦_,xk一木

(2)当〃=0时，方程TT两个相等的实数根由=照=0；

(3)当〃V0时，方程无实数根.

2.用直接开平方法斛卜列方程，

24

(1)(3X4-1)2=9;.ri=-,xz——-

*5<5

(2)y+2y+1=25.yi=4,度=—6.

3.(1)A;+6X+9=(x+3)S

(2)(A-

1g

(3)4*2+，|*+\_=(2x4-1产

4.一般地，如果•个一元二次方程通过配方转化成(x+〃)2=〃的形式，那么就有：

⑴当90时，根据平方根的意义，方程有两个不等的比数根，名=一〃一也，x»

=~n+\[p；

(2)当〃=0时，方程有两个相等的实数根行=版=一〃：

(3)当pVO时，方程无实数根.

环节2合作探究，解决问题

【活动1】小组讨论(师生互学)

【例1】用配方法解下列关于A■的方程:

(1)2XZ-4A-8=0：⑵2「+3L2=0.

【互动探索】(引发学生思考)用配方法解一元二次方程的实质和关键点是什么？

【解答】⑴移项，得2/—4x=8.

二次项系数化为1,得产-2*=4.

配方，得炉-21+「=4十/，即(*-1)2=5.

由此可得*一1=±#，

，小=1+邓，X2=\—y[5.

(2)移项，得2*+3户2.

二次项系数化为1,得

配方,得(*)=强

351

由此可得*十；=±1，.'.xi=-,Xi=—2.

【互动总结】(学牛.总结，老师点评)用配方法解一元二次方程的实质就是对一元二次方

程进行变形，转化为开平方所需要的形式，配方法的一般步骤可简记为：一移，二化，三配,

四开.

【活动2】巩固练习(学生独学)

1.若4x+p=则p、g的值分别是(B)

A.p=4,q=2B.p=4,q=-2

C.p=­4,q=2D.p=—\,q=—2

2.用直接开平方法或配方法解下列方程：

(1)3(A-1)2-6=0；(2)。-4*+4=5；

(3)9?+6x+l=4；(4)36?-1=0：

(5)4?=81；(6)"+2*+1=4.

(1)汨=1+镜，汨=1一筐.

(2)川=2+4，照=2一乖.

(3)Xi=—1,比=；.

小11

⑷汨=W，Xz=­g.

小99

⑸*=/,xz=—

(6)X|=1.总=-3.

【活动3】拓展延伸(学生对学)

【例2】如果1-4*+j，+6y+yz+2~H3=0,求(灯)’的值.

【互动探索】（引发学生思考）一个数的平方是正数还是负数？•个数的算术平方根是正

数还是负数？几个非负数相加的和是」E数还是负数？

【解答】由已知方程，得六一4》+4+,2+6产+9+，而=0,

即（X-2）2+（y+3）2+，7诵=0,

*.x=2,y=­3»z=­2.

：.（xy）r=[2X（-3）广=白

30

【互动总结】（学生总结，老师点评）若几个非负数相加等于0,则这几个数都等于0.

环节3课堂小结，当堂达标

（学牛总结，老师点评）

用配方法解一元二次方程的一般步骤：

一移项•*二化简一三配方一四开方

?练习设计

请完成本课时对•应练习！

21.2.2公式法（第2课时）

£教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念.

2.会熟练运用公式法解一元二次方程.

【过程与方法】

灾习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入a"+配+。=0仁00）的求根公

式的推导，并应用公式法解一元二次方程.

【情感态度与价值观】

在一元二次方程求根公式的推导过程中，激发学生兴趣，了解解决问的多样性.

二、重难点目标

【教学重点】

求根公式的推导及用公式法解一元二次方程.

【教学难点】

一元二次方程求根公式的推导.

殳教学过程

环节1自学提纲，生成问题

[5min阅读】

阅读教材P9〜P12的内容,完成下面练习.

(3min反馈】

1.用配方法解下列方程：

(1)X2—5x=0；汨=0,必=5.

(2)2六一，1*一1=0.

2.如果这个•元二次方程是•般形式/+/+。=0(60),你能否用上面配方法的步

-b+76-4ac-b-\J6-4ac

骤求出它的两根？2a'片2a-

【教师点拨】因为前面解具体数字的一元二次方程己做得很多，我们现在不妨把a、氏

c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去.

3.一元二次方程&V+Ztr+c=0(aN0)的根由方程的系数a、b、c而定.

(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一股形式af+以+c=0.当反一4M20时，

将a、b、c代入式子*=士荽工就得到方程的根.

乙a

⑵这个式子叫做一元二次方程的求根公式.

(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有2个实数根，也可能选匕实数根.

⑸一般地，式子5—4ac叫做方程/+队+。=0(〃#0)的根的判别式，通常用希腊字

母4表示，即4=4一4ac.当zl>0时，方程ay+b*+c=0(a#0)有两个不相等的

实数根：当4=0时,方程aV十儿+c=0(a#0)有两个相等的实数根：当4«0时,

方程a/+H+c=0(aW0)没有实数根.

4.不解方程，判断方程根的情况.

(1)16Ag+8x=-3：(2)9Z+6x+l=0；

(3)27-9A-+8=0；(4)Z-7^-18=0.

解：(D没有实数根.(2)有两个相等的实数根.

(3)有两个不相等的实数根.

(4)有两个不相等的实数根.

【教师点拨】将方程化为-一般形式，再用判别式进行判断.

环节2合作探究，解决问题

【活动1】小组讨论(师生互学)

【例1］用公式法解卜列方程：

(1)2/+l=3x；(2)2x(x-1)-7x=2.

【互动探索】(引发学生思考)用公式法解一元二次方程的步骤是怎样的？

【解答】⑴原方程整理，得2V-3*+1=0.

其中a=2,Z>=—3,c=\,

则d=Z/-4ac=(-3)2-4X2Xl=l>0.

.-—4ac——3±Vi

；•*=2a=2X2'

即必=1.

(2)原方程整理，得2y—9x—2=3.

其中a=2,5=—9,c=—2,

则zl=Z>:-4ac=(一9/一4X2X(-2)=97>0.

._-4ac——9士\/^

••*=2a=2X2'

94^/979-797

即*L4，*L4

【互动总结】(学生总结，老师点评)用公式法解•元二次方程的•股步骤：(1)把方程

化为一般形式，确定a、氏C的值：⑵求出d=〃-4ac的值：⑶当4>0时，方程有两个

不相等的实数根，即*k一"尸二片上坐工；当」=0时，方程有两个相

Lala

等的实数根，即航=也=一4•：当/i〈Q时，方程没有实数根.

La

【活动2】巩固练习(学生独学)

1.方程y-4%+4=0的根的情况是(B)

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.有一个实数根

D.没有实数根

2.如果方程5y—4尸次没有实数根，那么力的取值范围是E一’.

M

3.用公式法解下列方程：

(1)27-6A-1=0；(2)27-2^1-1=0；

(3)5*+2=3，

解：⑴呼呼，总=匕默.

（2）方程没有实数根.

（3）xi=2,*2=­；.

【活动3】拓展延伸（学生对学）

【例2】己知a、&。分别是三角形的三边，试判断方程8+〃）丁+2”+（日+〃）=0的

根的情况.

【互动探索】（引发学生思考）三角形的三边满足什么关系？是怎样根据一元二次方程的

系数判断根的情况？

【解答】:a、b、c分别是三角形的三边，，a+QO,c+a+b>0,c~a-b<0,/.

4=（2c）z—4（a+b）•（a+Z>）=4（c+&+与（c—a—6）<0,故原方程没有实数根.

【互动总结】（学生总结，老师点评）解答本题的关键是掌握三角形三边的关系，即两边

之和大于第三边，以及运用根的判别式4=6?—4"•判断方程的根的情况.

环节3课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

△〉0o方程有两个不相等的实数根

1.一元二次方程根的情况，4=0=方程有.两个相等的实数根

.4<00方程没有实数根

2.当d20时，方程“+6+c=0（a工程的实数根为xL±/Tae

9练习设计

请完成本课时对应练习！

21.2.3因式分解法（第3课时）

R教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

1.掌握用因式分解法解一元二次方程.

2.能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法.

【过程与方法】

通过灯习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方怯一一因式分解

法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题.

【情感态度与价值观】

了解因式分解法是•元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计

算，提高了解题速度和准确程度，培养学生的应用意识和创新能力.

二、重难点目标

【教学重点】

运用因式分解法解一元二次方程.

【教学难点】

选择适当的方法解一元二次方程.

T教学过程

环节1自学提纲，生成问题

[5min阅读】

阅读教材P12〜P14的内容，完成下面练习.

(3min反馈】

1.将下列各题因式分解•：

a/M+cm=m(a+6+“：

3-6=(a+b)(a-8),：

•+2&ZH■公=+6)2:

皆+5x+6=(x+2)(x+3).：

3x-14x+8=(x-4)(3x-2).

2.按要求解下列方程：

⑴2f+x=0(用配方法)：

(2)3丁+6*—24=0(用公式法).

解：(1)M=0,x：=—(2)A-|=2,x2=-4.

3.对于一元二次方程，先将方程右边化为0.然后对方程左边进行因式分解，使方程

化为两个一次式的乘枳的形式，再使这两个•次式分别等于0,从而实现降次，这种解法叫

做因式分解法.

4.如果研=0,那么@=0或6=0,这是因式分的法的根据.即，如果Cv+DJ-l)

=0,那么*+1=0或>-1=0,即片一1或*=1.

环节2合作探究，解决问题

【活动1】小组讨论(师生对学)

【例1】用因式分解法解下列方杜：

(1)Z-3A—10=0；

13

(2)5/—2x一7=炉一24+不

44

(3)3x(2x+l)=4*+2；

⑷(*一41=(5—2炉.

【互动探索】(引发学生思考)用因式分解法解一元二次方程的,般步骤是什么？

【解答】(D因式分解,得(*+2)(*—5)=0.

，x+2=0或X—5=0,

".Xi=­2,Xi=5.

⑵移项、合并同类项，得4/-1=0.

四式分解，得(2x+l)(2I)=0.

.•.2工+1=0或2工一1=0,

(3)原方程可变形为3x(2x+1)-2(2x+1)=0.

因式分解，得(2X+1)(3L2)=0.

.*.2x+l=0或3*—2=0,

12

T.X>=~.

⑷移项,得(*一4/一(5-2力2=0.

因式分解，得(1一分(3%—9)=0,

1—x=O或3x—9=0,

/.A'l=1,*2=3.

【互动总结】(学生总结，老师点评)用因式分解法解一元二次方程的步蟋：(】)将一元

二次方程化成•般形式，即方程右边为0；(2)将方程左边进行因式分解，将一元二次方程

转化成两个一元一次方程；(3)对两个一元一次方程分别求解.

【活动2】巩固练习(学生独学)

1.解方程：

(Dr—3x—10=0；

(2)3%(—2)：

(3)(3A+1)，-5=0；

(4)/一6才+9=(2-3力：

解：(1)汨=5,X2=-2.

5

(2)*=­2,用=予

J

⑶汨=一苧，典=痔1.

（4）M=-2，花=彳

2.三角形两边的长是3和，1,第三边的长是方程f-12%+35=0的根，求该三角形的

周长.

解：解9一12*+35=0,得汨=5,X2=7.

•••3+4=7,...*=5,故该三角形的周长=3+4+5=12.

【活动3】拓展延伸（学生对学）

【例2】已知9/-48=0,求代数式日一力一二巨的值.

baab

【互动探索】（引发学生思考）W、〃的值能求出来吗？a、〃之间有怎样的美系？怎样将

a、〃的值与己知代数式联系起来.

#一8一言一62b

【解答】原式

a.

(3a+2Z»)(3^-2A)=0,

即3a+2/)=0或3a—28=0,

22

.♦.a=—gb或

当a=一时，原式=—部~=3：

2

当a=-b时，原式=-3.

oh/+R

【互动总结】（学生总结，老师点评）要求二厂才的值’首先要对它进行化简,然

后从已知条件入手，求出a与。的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，容易

发生错误.本题注意不要漏解.

环节3课堂小姑，当堂达标

（学生总结，老师点评）

用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一

边为0,再分别使各一次因式等了0.

?练习设计

请完成本课时对•应练习！

*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系（第4课时）

9教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

掌握一元二次方程的根与系数的关系.

【过程与方法】

利用求根公式得到一元二次方程的根，推导出根与系数的关系，体现「数学推理的严密

性与严i堇性.

【情感态度与价值观】

通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识，培养学生观察思考、

归纳概括的能力.

二、重难点目标

【教学重点】

理解一元二次方程的根与系数的关系.

【教学难点】

利用一元二次方程根与系数的关系解决问题.

Q教学过程

环节1自学提纲，生成问题

【5min阅读】

阅读教材P15〜PI6的内容，完成下面练习.

[3min反馈】

L解卜列方程，并填写表格：

方程X\X2汨+*2%]•尤

f-2%=00220

V+3*—4=0-41-3-4

丁-5*+6=02356

观察上面的表格,发现规律：

(1)用语言描述你发现的规律：一元二次方程的两根之和为一次项系数的相反数：两

根之积为常数项.

(2)关于*的方程/+m+g=O的两根为石、即，请用式了表示航、发与小〃的关系：

航+2X\/=q.

2.解下列方程，井镇写表格：

方程XIXzM+MX\•X1

1

2x—7x—4=04-2

~22

_52_5

3y+2L5=01

333

2176

5x2-17x+6=03

5~55

观察上面的表格，发现规律:

(1)用语言描述你发现的规律：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，

两根之积为常数项与二次项系数之比.

(2)关于x的方程a父+Z>*+c=O(aWO)的两根为航、xz,请用式子表示X、照与a、b、

乂l.bc

。的关系：xi+x=—^.第比==.

-------2-----旦-------旦

3.求下列方程的两根之和与两根之积.

(1)/—6x—15=0；

(2)5万—1=4。；

(3)/=4；

(4)2/=3x

解：(1)川+必=6,加版=-15.

⑵*1+照=,，加北=；.

(3)用+照=0,X\Xi=—A.

3

(4)汨+必=3，汨M=0.

环节2合作探究，解决问题

【活动1】小组讨论(师生互学)

【例1】用、照是方程2/一3万一5=0的两个根，不解方程，求下列代数式的值：

⑴*|+*2:(2)—+—；

为Xz

(3)Z4-AS：(4)AI+3A2—3A'；.

【互动探索】(引发学生思考)根据-•元二次方程的根与系数的关系可考虑将所求代数式

转化为两根之和与两根之积的关系.

【解答】(1)加+照=*

(2)Vxix2=—

乙

.1.-X-1―~Xt+m^—―3

•'X\XzX\Xi5'

(3)A?4~/=(刘4--2MXZ=—.

(4)必+34—3典=+总)+(2必一3照)=1若.

【互动总结】(学生总结，老师点评)解答这类问题一般先将求值式进行变形，使其含有

两根的和与两根的积，再求出方程的两根的和与两根的积，整体代入即可求解.

【活动2】巩固练习(学生独学)

1.不解方程，求下列方程的两根和与两根积.

(1)X2-5X-3=0：(2)9x4-2=X：

(3)6?-3.v+2=0：(4)3/+x+l=0.

解：(1)*1+必=5,XI照=—3.

(2)加+照=9,X\Xz'=—2.

(3)方程无解.

(4)方程无解.

2.己知方程/-3)+加=0的一个根为1,求另一根及加的值.

解：另一根为2,m=2.

【教师点拨】本题有两种解法：一种是根据根的定义，将x=l代入方起先求期再求

另一个根：另一种是利用根与系数的关系解答.

3.若一元二次方程f+a*+2=0的两根满足：#+£=12,求&的值.

解：a=±4.

【教师点拨】由北+必=(汨+照)2—2兄照=12,再整体代入方程的两根之和与两根

之积得到答案.

【活动3】拓展延伸(学生对学)

【例2】已知关于x的方程f-a+Dx+*+l=0,且方程两实根的积为5,求才的

值.

【互动探索】(引发学生思考)一元二次方程有根的条件是什么？一元二次方程两实根的

积与什么有关？

【解答】•••方程两实根的积为5,

4=［一什1了-4(*+1)2，

.=々W，A=±4.

故当〃=4时，方程两实根的积为5.

【互动总结】（学生总结，老师点评）根据•元二次方程两实根满足的条件，求待定字母

的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的值应满足420.

环节3课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

一元二次方程〃+H+c=0（&W：））的两根,、用和系数的关系如下：

bc

M十照=一一，＞1照=一.

aa

9练习设计

请完成本课时对应练习！

21.3实际问题与一元二次方程

9教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

1.会根据具体问题中的数量关系列一元二次方程并求解.

2.能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理.

【过程与方法】

经历分析和解决实际问题的过程，体会•元二次方程的数学建模作用.

【情感态度与价值观】

体会数学来源尸实践，反过来又作用于实践，增强数学的应用意识.

二、重难点目标

【教学重点】

列一元二次方程解决实际问题的一般步骤.

【教学难点】

利用一元二次方程解决实际问题.

T教学过程

环节1自学提纲，生成问题

[5min阅读】

阅读教材P19〜P21的内容，完成下面练习.

[3min反馈】

1.有一人患门或毛，经过两轮传染后共有121人患/感冒，每轮传染4平均一个人传

染了几个人？

设每轮传染中平均一个人传染了才个人，则第一轮后共有1+*人患了感冒,第二轮

后共有1+*+*5+1)人患了感冒.

可列方程l+x+x(x+D=⑵.

解方程，得*=一12(不合题意，舍去)，_照=1Q.

所以平均一个人传染了_也_个人.

2.两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,

随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成木

是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(精确到0.01)

绝对母，甲种药品成本的年平均下降额为(5000—3000)+2=1000(元)，乙种药品成本

的年平均下降额为(6000-3600)彳2=1200(元)，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大.

相对求：从上面的绝对后的大小能否说明相对用的大小呢？也就是能否说明乙种药品成

本的年平均卜降率大呢？卜.面我们通过计算来说明这个问题.

①设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为5000(1—%)元,

两年后甲种药品成本为5000(1一劝2元.

依题意，得5000(1—*)'=3000.

解得为。0.23,题「1.77.

根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为？3%.

②设乙种药品成木的年平均下降率为乂

依题意，得6000(1-02=3600.

解得了产0.23,j户1.77(不合题意，舍去).

所以两种药品成本的年平均下降率相.

提示：经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及

降后的价格.

环节2合作探究，解决问题

【活动1】小组讨论(师生互学)

【例I】某林场计划修一条长7501n，断面为等腰梯形的渠道，断面面税为1.6上

口宽比渠深多2m,渠底比渠深多0.4m.

(1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少？

(2)如果计划每天挖上48mJ,需要多少天才能把这条渠道挖完？

【互动探索】(引发学生思考)(1)怎样用渠深表示上口宽和梁底，怎样il算梯形面积？

⑵渠道的体积怎样计算？

【解答】(D设渠深为xm,则渠底为(x+0.4)m,上口宽为Cr+2)m.

依题意，得:（.\42冬**0.4）*=1.6,

整理，得5f+6*—8=0,

4

解得汨=三=0.8,照二一2（舍去），

二上口宽为2.8m,渠底为1.2m.

（2）如果计划每天挖土48m\需要当剋=25（天）才能挖完渠道.

4o

【互动总结】（学生总结，老师点评）解答本题的关键是掌握梯形面枳的计算方法，正确

用未知数表示出相关数量.

【泡动2】巩固练习（学生独学）

1.两个正数的差是2,它们的平方和是52,则这两个数是（C）

A.2和4B.6和8

C.4和6D.8和10

2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，

支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支？

解：设每个支干长出x个小分支，则1+*+*・*=91.解得M=9或照=-10（舍去）.故

每个支干长出9个小分支.

3.如图，要设计一幅长30cm、宽20cm的图案，其中有两横两竖的彩条（图中阴影部

分），横、竖彩条的宽度比为3：2,如果要使彩条所占面枳是图案面积的由应如何设计彩

条的宽度?（精确到0.1cm）

解：横彩条宽为1.8cm,竖彩条宽为1.2cm.

【教师点拨】设横彩条的宽度为3xcm,则竖彩条的宽度为2*cm.根据题意，得（30—

4,0(20-6.r)=fl-1jx20X30.解得xgO.61或反-10.2(舍去).4.卬一根长40cm

的铁丝围成一个长方形，要求长方形的面积为75cm2.

（1）此长方形的宽是多少？

（2）能围成一个面积为101cm，的长方形吗？若能，说明围法；若不能，说明理由；

解：（1）5cm.

（2）不能.设宽为*cm,则长为（20-*）cm,由*（20—x）=101,即——20*+101=0,

由八=202—4乂101=—4<0,，方程无解，故不能围成一个面积为101cm」的长方形.

【活动3】拓展延伸(学生对学)

【例3】如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园

力睨以围增批最长可利用25m),现在己备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法,

使矩形花园的面积为300m2.

【互动探索】(引发学生思考)/4与a'之间的数量关系是怎样的？比、还应满足什么条

件？

【解答】设必则比―(50—2㈤叽

根据题意，得“(50-2x)=300.

解得M=10,矛2=15,

当*=10时，^7=50-10-10=33>25,

则航=10不合题意，舍去.

故可以围成力月长为15m,故长为20m的矩形花园.

【互动总结】(学生总结，老师点评)利用一元二次方程解决实际问题时，要注意检箱方

程的根是否符合实际问题.

环节3课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

列一元二次方程解应用题的一股步骤：

(1)“设”，即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种：

(2)“列”，即根据题中的等量关系列方程：

(3)“解”，即求出所列方程的根；

(4)“检验”，即验证是否符合题意：

⑸“答”,即回答题目中要解决的问题.

?练习设计

请完成木课时对应练习！

22.1二次函数的图象和性质

22.1.1二次函数(第1课时)

《教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

1.理解并掌握二次函数的概念，能判断一个给定的函数是否为二次函数.

2.根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式，体会函数的模型思想.

【过程与方法】

经历与一次函数类比学习的过程，学会与人合作，并获得代数学习的一些常用方法：

类比法、合情推理、抽象概括等.

【情感态度与价值观】

通过对几个特殊的二次函数的讲解,体验数学中的探索精神，初步体会二次函数的数学

模型.

二、重难点目标

【教学重点】

二次函数的概念.

【教学难点】

能根据已知条件写出二次函数的解析式.

Q教学过程

环节1自学提纲，生成问题

【5min阅读】

阅读教材P28〜P29的内容，完成下面练习.

【3min反馈】

1.止比例的函数的表达式为尸网J为常数，且在/0）；一次函数的表达式为一―！

+/>3、。为常数，且aWO）.

2.二次函数的概念：一般地，形加函数的c（a、b、。是常数，且aMO）的函

数叫做二次函数，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为编6、c.

3.下列函数中，是二次函数的有①②③.

①/=（*—3）2—1；②y=l一//③尸：（斤+2）（*—2）；④y=（x—1）'—V.

4.二次函数尸一V+2*中，二次项系数是一1,一次项系数是2,常数项

是0.

5.半径为户的圆，半径增加x,忸的面积增加八则y与*之间的函数关系式为—左

万、+2"必•（众0）.

环节2合作探究，解决问题

【活动1】小组讨论（师生互学）

【例1】已知关于x的函数y=U+l）a/一%是二次函数，求"的值.

【互动探索】（引发学生思考）已知含参函数的解析式为二次除数，那么二次函数的自变

量及各项系数应该满足哪些条件？

m—m=2,

【解答】由题意，得一一八

解得〃/=2.

【互动总结】（学生总结，老师点泮）y=af+H+c为二次函数的前提条件是&W0,且

自变量”的最高.次数为2,注意不要忽略二次项系数不为0这一隐含条件.

【例2】某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出

500个，根据销售经验，售价每提高1元,销售量相应减少10个.如果超市将篮球售价定

为八元（"50）,年月销售这种篮球获利了元，求y与”之间的函数大系式.

【互动探索】（引发学生思考）解决实际应用问题的一般步骤是什么？本题中所隐含的等

后关系是什么？

【解答】根据题意，得每个篮球的利润为5O+x-4O=IO+x；篮球的销售最为500—lOx.

则尸（10+x）（500—10万）=—10#+400*+5000.

【互动总结】（学生总结，老师点评）根据实际问题写出二次函数的解析式的一般步骤：

⑴阅读并理解强意；（2）找出问题的变量与常量，并分析它们之间的关系，若有图形，则要

注意结合图形进行分析：（3）设适当的未知数，用二次函数表示出变量之间的关系，建立二

次函数模型，写出二次函数解析式.

【活动2】巩固练习（学生独学）

I.如图，用长为10米的篱笆，一面掌堵（堵的长度超过10米），围成一个矩形花圃，

设矩形垂直于墙的一边长为X米，花肉面积为S平方米，则S关于*的函数解析式是一^

一2f+10》.（不写定义域）

2.如果函数尸（4+1）/+1+1是y关于*的二次函数，则片的值为多少？

他根据题盘得[>仁+1X=02,.

解得4=1.

【活动3】拓展延伸（学生对学）

【例3】已知关于x的二次函数，当*=一1时，函数值为10,当x=l时，函数值为4,

当x=2时，函数值为7,求这个二次函数的解析式.

【互动探索】（引发学生思考）我们学过了一次函数以及一次函数解析式的求法一一待定

系数法，求二次函数的解析式用这种方法同样适用吗？

【解答】设所求的二次函数的解析式为y=^+bx+c.

a—b-\-c=10.

根据题意，得＜a+6+c=4,

4a4-2Z?4-c=7.

解得a=2,b=—3,c=5.

故所求二次函数为y=2f—3x+5.

【互动总结】（学生总结，老师点评）求二次函数的解析式与求一次函数的解析式的方法

相同，都是待定系数法，二次函数It三个未知数，所以求二次函数的解析式需要三个方程.

环节3课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

定义：形如尸a/+Z»+ca、b、

为常数，a#0的函数

二次函数，

二次函数y=&/+&*+c中隐含的

条件：日#0

9练习设计

请完成本课时对应练习！

22.1.2二次函数尸aV的图象和性质（第2课时）

9教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

1.能够用描点法作出函数y=ax2的图象.

2.认识和理解y=ax?的性质.

【过程与方法】

经历探索二次函数y=ax?的图象和性侦的过程，体会数形结合的思想和方法.

【情感态度与价值观】

在初步建立二次函数表达式与图象之间的联系中，体会数形结合与转化，体会数学内在

的美感.

二、重难点目标

【教学重点】

1.掌握函数丫=2、?的图象的画法.

2.理解函数丫=21的图象与性质.

【教学难点】

用描点的方法准确地画出函数y=ax「的图象，掌握其性质特征.

Q教学过程

环节1自学提纲，生成问题

[5min阅读】

阅读教材P29〜