信号与系统本科习题精解

信号与系统

第一章习题

1-1画出下列各信号的波形：(1)f&)=(2-gUH);(2)

-t

f2(t)=ecosl0ntX[U(t-l)-U(t-2)]o

答案

(1)/⑺的波形如图1.1(a)所示.

(2)因coslO加的周期T=盖=。2s

故力(力的波形如图题1.1(b)所示.

图题1.1

图题1-2

答案

力a)=t[u(t)-u(t-1)]+u(t—i)

/；(/)=(/-2)[〃(一2)-〃(1-3)]

1-3写出图题1-3所示各信号的函数表达式。

3-

fl(t)

0

(a)

鼠t)

(C)

图题1-3

答案

1(r+2)=1r+l_2<f<o

/i(0=

1/—nl-i04/42

122

f式I)=〃(/)+2)

71

f3(t)=-sin—t[u(t+2)-M(/-2)]

f4(t)=u(t+2)-2〃Q+1)+3w(r-l)-4«(r-2)+2w(r-3)

2

1-4画出下列各信号的波形：(1)f,(t)=U(t2-l);(2)f2(t)=(t-l)U(t-l);

2

(3)f3(t)=U(t-5t+6):(4)f.i(t)=U(sinnt)°

答案

⑴/,(/)=«(/-1)+，其波形如图题L4(a)所示.

(2)&(，)=(I--1)+〃(一，-1)]=(，-1)〃(，-1)+(/-1)U(-Z-1)其波形如图

题1.4(b)所示.'

(3)力⑺=〃(T+2)+4(.3),其波形如图I.、)所示.

(4)力⑺=〃($山])的波形如图题1.4(d)所示.

f3(t)f,(t)

T----------：：------：-----：1-----!：-----：

••■0.•・•■••••

I■■J■•,,,J

"123tF40i2?t

(c)(d)

图题1.4

1-5判断下列各信号是否为周期信号，若是同期信号，求其周期T。

(1)工⑴=2cos0-f)⑴.a)=[sin(Y)f

4；6；⑶

f(t)=3cos2jrtU(t)

3o

答案

周期信号必须满足两个条件:定义域，有周期性,两个条件缺少任何一

个，则就不是周期信号了.

T2万

T=——s

(1)是，3.

f(t)=3x—[1-cos(2r--)]T=—=7is

(2)23，故为周期信号，周期2.

(a)AS=2〃(-f)+〃("2),广⑺的波形如图题1。8(d)

所示。

(b)^(0=u(t+1)-2u(t-1)+3u(t-2)—u(t—3),⑺的波形如图

题1。8(e)所示。

=-sin-u(t-5)]+瓯)

(c)方⑺的波形如图题1.8(f)

所示.

图题1.8

1-9已知信号”5)

的波形如图题1-9所示，试画出丫仕)形如+1)1)(-1)的波

形。

图1-9

答案

y(t)=J"+1)〃(T)的波形如图题1.9(b)所示。

图题1.9

1-10已知信号f(l)的波形如图题1T0所示，试画出信号。八2一”力"与信

口="(6-2力］.计上

号出的波形。

图题1-10

答案

(1)/(2一。的波形与L〃2—D八的波形分别如图题i.io(b),(0)

所示。

w—[—2f)]

⑵/(6-2/)的波形与力.的波形分别如图题1.10(d),(e)

—[/(6-21)]=河-2)+3(t-2.5)-2b]-3)

所示。且

1/(2-/)

,f/(6-2z)

图题1.10

1-11已知f(t)是已录制的声音磁带，则下列叙述中错误的是(_)。

A.f(-t)是表示将磁带倒转播放产生的信号

B.f(2t)表示磁带以二倍的速度加快播放

C.f(2t)表示磁带放音速度降低一半播放

D.2f(t)表示将磁带音量放大一倍播放

c

1-12求解并画出图题1-12所示信号fl(t),fz(t)的偶分量fe(t)与奇分量

fu(t)0

图题1-12

答案

因f⑴=<a)+70⑺=3[/«+/(-0]+；[f(t)-/(-/)]式中

Z，(0=g"⑺+/(T)]/⑺=3"⑺—/(T)]。故可画出各待求偶分量

与奇分量的波形，相应如图题L12中所示。

fl(-t)

(g)

0.5

-0.5

(h)

图题1.12

1-13已知信号f(t)的偶分量fc(t)的波形如图题173(a)所示，信号

f(t+l)XU(-t-1)的波形如图题173(b)所示。求f(t)的奇

图题1-13

答案

因/(O=X(O+/o(O

故有/(f)〃(T)=，⑺〃(T)+/oQ)〃(T)

将信号f(t+1)〃(T-1)右曲-1+ix-r-l+1)=的

波形如图题1。13(c)所示。又有

KQ)〃(T)=/(，)〃(一)一，(z)〃(T)

£)0)〃(-，)的波形如图题1.13(d)所示。

因为/。⑺是奇函数，关于坐标原点对称，故人⑺〃Q)的波形如图题1.13(e)

所示。最后得

«/；)(，)=£)(，)〃(-，)+■)(/)〃(，)=〃(T-1)-1)

人⑺的波形如图题1.13(f)所示。

1■

-1011-2-10

(b)

ffo(t)U(-t)

1-

-1

(d)

ffo(t)

1-

fo(t)U①

：

o-r»t-1(1

I

a

1-------------------1

(f)

(e)

图题1.13

1-14设连续信号f(t)无间断点。试证明：若f(t)为偶函数，则其一阶导数

ff(t)为奇函数；若f(t)为奇函数，则其一阶导数

f'(t)为偶函数。

答案

(1)若/⑺为偶函数，则有了(—，)=/“).故((T)=-TQ).故/⑺为

奇函数。

(2)若/⑺为奇函数，则有八_。=一/⑺.故/(_。=—/⑺，即

fxn==r(t).故r⑺为偶函数。

1-15试判断下列各方程所描述的系统是否为线性的、时不变的、因果的系

统。式中f(t)为激励，y(t)为响应。

⑴(2)y(t)=f(t)U(t)

(3)y(t)=sin[f(t)]U(t)(4)y(t)=f(l-t)

(5)y(t)=f(2t)(6)y(t)=[f(t)]2

(8)刈=£>«"

⑺=

答案

(1)线性，时不变，因果系统

(2)线性，时变，因果系统。因为当激励为了“)时，其响应)'e)；当激励为

“一。)时，其响应为,⑴=/(”幻"⑺,但是

所以系统为时变系统。

(3)非线性，时变，因果系统。

(4)线性，时变，非因果系统。因为当「=0时有/⑴，即系统当前时

刻的响应决定于未来时刻的激励，故为非因果系

统。

(5)线性，时变，非因果系统。

(6)非线性，时不变，因果系统。因为当激励为了⑺时，响应为)'(‘)；当激

励为好⑺时，响应为“(/)=伙/")『，但

必⑺工公《),故该系统为非线性系统。

(7)线性，时不变，因果系统。

(8)线性，时变，非因果系统。

1-16已知系统的激励f(t)与响应y(t)的关系为则该

系统为(_)。

A线性时不变系统B线性时变系统

C非线性时不变系统D非线性时变系统

答案

A

1-17图题1T7(a)所示系统为线性时不变系统，已知当激励3(t)=U(t)时,

其响应为ylt)=U(t)-2U(tT)+U(t-2)°

若激励为f2(t)=U(t)-U(t-2)，求图题117(b)所示系统的响应y2(t)0

工(?)—>s—>y1(0力(?)—►s—►s―>>2(0

(a)(b)

图题1-17

答案

y2(t)=u(t)-2«(r-l)+w(r-2)-2[w(/-i)-2w(/-2)+u(t-3)]+

2[w(r-3)-2〃Q-4)+u(t-5)1-[M(/-4)-2w(r-5)4-u(t-6)=

u(t)-4〃(f-1)+5〃Q-2)-5u(t-4)+-5)-u(t-6)

乃⑺的波形如图题L17(c)所示.

fl(t)>yi(t)f2(t)­)[>Y2(t)

(b)

iy/t)

2

1aatai

,・t•■

a■•■■

■■■■A

01：2：34：5：6t

・

-1■■tt

-2-::::

图题1.17

1-18图题1-18⑸所示为线性时不变系统，已知h|(t)=3(t)-6(t-1),

h2(t)=6(t-2)-6(t-3)o(1)求响应h(t)；

(2)求当f(t)=U(t)时的响应y(t)(见图题178(b))。

(1)h(l)=%(/)-h2s=b«)一加—1)—b"-2)+3Q-3)

(2)因/")=〃")=。3«)八,故根据现行系统的积分性有

xo

(b)

图题1.18

1-19已知系统激励f(t)的波形如图题「193)所示，所产生的响应系t)的

波形如图题179(b)所示。试求激励。(t)

(波形如图题1-19(C)所示)所产生的响应yi(t)的波形。

单)

(b)

图题1-19

答案

用/⑺表示，⑺即

/(/)=/(/+1)-/(/-1)

故f,⑺在同一系统中所产生的响应为

必⑺=)C+l)-y(/-l)

故y(f+l)，W-l)，MQ的波形分别如图题1.19(d),(e),(f)所示。

1-20已知线性时大变系统在信号8(t)激励下的零状态响应为

h(t)=U(t)-U(t-2)0试求在信号U(t-1)激励下的零状态

响应y(t),并画出y(t)的波形。

答案

因有〃Q)=L阳丁财丁,故激励〃⑺产生的响应为

)\(0=/?(7)dr=[J〃(r)一〃(r-l)]dr=

L

0

I<r<3

2r>3

故激励-1)产生的响应为

)C)=y(z-l)=(r-iw-l)-(r-2)w(r-2)

y(t)的波形如图题io20所示。

1-21线性非时变系统具有非零的初始状态，已知激励为f(t)时的全响应为

yi(t)=2e'U(t);在相同的初始状态下，当激励为

2f(t)时的全响应为y2(t)=(e'+cosnt)U(t)。求在相同的初始状态下，当激

励为4f⑴时的全响应先⑴。

设系统的冬输入响应为》”),激励为了⑺时的冬状态响应为力⑺，

故有

V«)=(，)+〃0)=2e'w(r)

y2(，)=乂(，)+2、/(r)=(G'+cosTzr)w(r)

故联解得

(r)=(3e~l—cosTZT)W(Z)

l

yf(r)=(—e~—cosM〃(T)

故得

zl

y3(/)=yx(t)+4yf(r)=3e~'-cos加+4(-e-+cos加)=(­e~+3cos加)”(f)

第二章习题

2-1.图题2-1所示电路，求响应mH)对激励f(t)的转移算子II(p)及微分方程。

1H①

♦(丫丫\

八八

IF：：1C限/⑴G3c

图题2.1

答案

解其对应的算子电路模型如图题2.1(b)所示，故对节点①，②可列出算子

形式的KCL方程为

:+为")」〃4)=")

3pp

P

;〃+1,⑺一生(1)=”0)

-(/)++〃+l)u2(/)=0

联解得

3

电")=B薯/⑺="(〃)"')

故得转移算子为

〃«)3

H(〃)=

7(0p2+4〃+4

S⑴对f(t)的微分方程为

(〃2+4〃+41%(/)=3/(/)

即

2■

—u->(t)+4—w,(r)4-4w«,(z)=3f(f)

atdt-

2-2图题2-2所示电路，求响应i(t)对激励f(t)的转移算子H(p)及微分方理。

i(t)1Q0力

-X-i——i_^vn

+

O

CO0.5F：2Q21Pp2Q

㈤

图超2.2

答案

解其对应的算子电路模型如图2.2(b)所示。故得

/(/)10p+10

/(2"+11〃+30/⑺

1+0.1〃+^—

一十2

故得转移算子为

i(t)_10〃+10

”(〃)=

/⑺/+ii〃+3o

i(t)对f(t)的微分方程为

(〃2+11〃+30)i(r)=(10p+10)/(/)

即

齐⑺+吟©)+303=102⑴+KW

2-3图题2-3所示电路，已知w(0)=lV,i(0)=2A。求t>0时的零输入响应

i(t)和u((t)o

N

皈)

+/

■为A

0.5F：P

----------------1

图题2.3

答案

解其对应的算子电路模型如图题2.3(b)所示。故对节点N可列写出算子形

式的KCL方程为

/

13),、八

p_+一+不«(r)=0

12c

P

又有uc(t)=pi(t),代入上式化简，即得电路的微分方程为

(p2+3p4-2)/(0=0

;(0+)=/(0~)=2

〃,(()+)=%(0一)=1

电路的特征方程为

/+3〃+2=0

故得特征根(即电路的自然频率)为p尸-1,pk-2。故得零输入响应的通解式为

2t

/(/)=曲卬+=A"'+A2e~

i,(t)=-Ae-,-2Ae-

又[2

故

+

有Z(O)=A,+4=2

⑴

r(o+)=-A-2A

又因有

u<(D=LEQ)

故%((T)=L"(O+)

L(-A-2A)=1

即2

-A,-2A=1

即2

⑵

式⑴与式（2）联解得A尸5$2=-3。故得零输入响应为

i(t)=5e~l-3e~21At>0

又得

l2t

w(.(r)=L幽=\-\5e-3e-]=一5/+Vr>0

dtdt」

解其对应的算子电路模型如图题2.3(b)所示。故对节点N可列写出算子形

式的KCL方程为

又有uc(l)=pi(t),代入上式化简，即得电路的微分方程为

(p?+3p+2)i«)=0

<z(0+)=z(0")=2

应(()+)=q.(0-)=1

电路的特征方程为

p2+3〃+2=0

故得特征根(即电路的自然频率)为p产T,P2=-2。故得零输入响应的通解式为

p,rP2tl2t

z(r)=Ate+A2e=Axe+A2e~

又r(/)=-A^-W2f

故

有Z(O*)=A1+A2=2

(1)

W)=-A-2A2

2-4图题2-4所示电路,t<0时S打开,已知uc(0-)=6V,i(0)=0。(1)今于t=0

时刻闭合S,求t>0时的零输入响应W⑴和i(t；；(2)为使电路在临界阻尼

状态下放电，并保持L和C的值不变，求R的值。

>0

V他)

4-

Uc

图题2.4

解（1）t>0时S闭合，故有

/（（r）=Lr（（r）=6v

/（0+）=!（0"）=0

t>0时的算子电路模型如图题2.4（b）所示。故得t>0电路的微分方程为

2.5,、1，/、

-

-41O

(\2.51/、

W2+二+］卜&=

\164)

(p2+10/7+16)wr(/)=0

<%(0+)=/(0一)二6

z(0")=z(0)=0

其特征方程为S+10p+：6=0,故得特征根（即电路的自然频率）为p尸-2,p2>8。

故得零输入响应u..（t）的通解形式为

_2/_8/

wr(r)=AIe+A2e

u[(t)=-2Ae-2,-SAe-s,

又有}2

故Cu\t)=C(-2A,e-2t-)

-/(/)=1(-2-8Ae-8r)=

即4-v

--A.e~2t-2^1

2■

i(t)=-A,e-2t+2A.e-iil

即2

+

uc(0)=+A2=6

：(0+)」A+24=0

故有2-

联解得A「二8,42=-2。故得

2,

uc(t)=^e~-le^'V/>0

i(t)=-C^-=4e-21-4e-s,At>0

又得力

2-5图题2-5所示电路，(1)求激励f(t)=3(t)A时的单位冲激响应u,(t)和

i(t)；(2)求激励f(t)=U(t)A时对应于i(t)的单位阶跃响应g(t)。

图题2.5

答案

解（1）该电路的微分方程为

Lc/i⑴4*ms

代入数据并写成算子形式为

(〃2+5〃+4)/(/)=4/(/)=43(。

故得

4

/(/)=

/+5〃+4

44、

2+34141

P+1〃+4

)

(4

*)=/3』U。）A

故得3

进一步又可求得U（t）为

di（t）,4,

《（j丁=0.25^--e-+—e-

(33

UQ)V

33

(2)因有"')二」/"”故根据线性电路的积分性有

g(z)=£/(r)f/r=-ge4,V(r)6/r

+-e-4l\U(t)A

I33)

2-6图题2-6所示电路，以w(t)为响应，求电路的单位冲激响应h(t)和单位阶

跃响应g(t)O

__________"丫、______________

+兴1.

()九)|QIF二心

图题2.6

答案

解电路的微分方程为

+3—uc+2u.=2fit)

drdtcJ

写成算子形式为

(/尸+3p+2)/.Q)=2/(，)

⑴当/⑺=5(，)V时，有《6)=竹)。故得单位冲击响应为

人。)=---------§Q)=7---V----；6Q)=

P2+3"+2(P+IXP+2)

2-2

---7^(0=--^>(0=

p+1p+2

2eT-2e~2t=2(1_e~2t)U(t)V

⑵当f(t)=U⑴V时，有uc(t)=g(t)。故得

2r

=fyh(t)dr=2(«T-e-)U(r)dr=

2M(e~r-e~2rWr=(-2er+e~2r+\)+U(t)V

2-7求下列卷积积分

⑴t[U(t)-U(t-2)]*6(1-t)；(2)[(l-3t)6^(t)]*e-3tU(t)

答案一

解⑴原式J。")-U(/-2)]*5(I)=

(/-1)[^(/-1)-{/(/-3)]

(2)原式二打，)*e-3,U(t)-36(，)*e-3,U(t)=

卜也⑺1_3卜(3'一必)}*"3伙。=

_3e-3lU(t)+5(，)+3e~3tU(t)=)

2-8已知信号f[(t)和fz(t)的波形如图题2-8(a),(b)所示。求y(t)=七(t)*f,(t),

并画出y(t)的波形。

加）力味上1岬）

2..________

1:

----------------------------------->

012t-1ot

3）

八尔）=sin伏）

八网）

八八「

开［2乃］3E［4幻］a1--------------

4uva1

-----------:----------->

01-t

3）

AK⑴

加）

八

2___________'：A:AA

_尸----

0t01%+1

⑹⑻

图题2,・8

答案

解（a）f⑺=1+U（-1）

AQ）=iUQ+l）

故，«)=工«)*力(。=

[1+wG-l)]*e-(/+,)C/(/+1)=

J%-(r+,>t/(r+l)t/r+£^(r-r-lk-<f+l)C/(r+l)Jr=

1,r<0,

1+(1—"')(/(1)=〈，

\2-e-\z>0

yKt)的波形如图.2.8⑹所示

(b)

fi⑺=sinfU«),力")=-1),故

%⑺=/i⑺*力⑺=sintU(t)*U(-1)=

|sinTU(T)U(t-r-i)dr=

[.sin次7t/(r-l)=[1-cos(r-l)]f/(r-l)

y2(t)的波形如图.2.8(d)所示

2-9图题2-9(a),(b)所示信号,求y(t)=fi(t)*fz(t),并画出y(t)的波形。

A力⑴

八"。

1-----

012

⑸

图题2.9

答案

解利用卷积积分的微分积分性质求解最为简便。'⑺和的波形分

别如图2.9(c),(d)所示。故

y")=/)(0*/。)=/⑺*[j2(T)dr

y(t)的波形如图题2.9(e)所示.

2-10.已知信号6⑴与f2⑴的波形如图题2-10(a),(b)所示，试求y(t)=fi(t)*f2(t),

并画出y⑴的波形。

个加)个加)A效)

1/、-1「-1

91

10

X-'1:-2-1\/01

(1)

3)

3)

八川)

「帅)

♦41

♦■,

.\!

・2-、/12t-102：

V1

-2/

⑹

答案

解(a).

X⑺=f\Q)*/")=/⑴*[一+D+-1)]二

一/«+1)+工«+1)

yKt）的波形如图题2.10（c）所示

为（，）=/（。*/《，）=

(b).

/；⑺*[3(1-1)-3”-2)+3([-3)]=

£(，一1)一工(，-2)+/(/-3)

y2（t）的波形如图题2.10（d）所示

2-11.试证明线性时不变系统的微分性质与积分性质，即若激励f(t)产生的响

应为y(t),则激励石’⑺产生的响应为了*”(微分性质)，激励L"。)"产

生的响应为(积分性质)。

答案

解(1)设系统的单位冲激响应为h(t),则有

对上式等号两端求一阶导数，并应用卷积积分的微分性质，故有

力⑺=〃⑺*/⑺

(证毕

(2)y«)=/(，)*>=)

对上式等号两端求一次积分，并应用卷积积分的积分性质，故有

y(r)dr=/?(/)*f(T)dr

(证毕)

2-12.已知系统的单位冲激响应h(t)=e-HJ(t),激励f(t)=U(t)。

(1).求系统的零状态响应y(t)。

(2).如图题2T2(a),(b)所示系统,

4⑺=3区⑺+〃(一川，用⑺=g［力⑺一〃(一川

求响应山⑴和y2(t)

(3).说明图题2T2(a),(b)哪个是因果系统，哪个是非因果系统。

>历G)

(z)—阿四)

)如(?)

3)

图题2.12

答案

解(1)y(t)=h(t)*/(/)=*U(t)

y(—T)UQ)

⑵必⑺=/(，)*[%«)-似川二

U⑺+*.，“(，)+人(-川[/?W-/7(-r)l=

U⑺*h(T)=U(i)*elU(T)=,e，/<。

1,r>()

y2a)=/⑺*[%«)+似f)]=

u⑴*，g[〃(/)+/7(T)]+g[/?Q)_〃(T)]­=

U(r)*/2a)=(l—e-')U⑺

(3)因f(t)=U(t)为因果激励,但yKt)为非因果信号，y?(t)为因果信号,故

图题2.12(a)为非因果系统,图题2.12(b)为因果系统。

2-13.已知激励⑺产生的响应为y")=sin3UQ),试求该系统的单

位冲激响应h(t)。

雀毅

解因有y(t)=f(t)*h(t),即

sin创U⑺=e』ua)*g)

对上式等号两端同时求一阶导数，并应用卷积积分的微分性质有

0cosm。⑺=[-5e③U⑺+8⑺卜力⑺二

—5e3U(f)*〃(，)+/?(，)=

-5sincotU(t)+h(t)

故得系统的单位冲激响应为

/?(/)=(5sincot+(vcos(oi)U(t)

2-14.已知系统的微分方程为)'〃⑺+3'⑺+2)，")=/⑺。

(1).求系统的些位冲激响应h(t)；

(2).若激励/")=/"，)，求系统的零状态响应y(t)。

答案

解(1)其算子形式的微分方程为

(p2+3〃+2&")=/«)

]

f⑴

故得+3〃+2

当⑺时，则有)0=〃⑺。故上式变为

MD=-------------5(。=(----»«)=

(p+lXp+2)p+1P+2

1

力⑺一

(2)零状态响应为

l

y(t)=//(/)*/(f)=-I,)UQ)*e-u(t)=

(~e-x,+e-21+te-l)U(t)

2-15.图题2T5所示系统，其中hi(t)=U(t)(积分器),h2(t)=5(t-1)(单位延

时器)，h3(t)=-8(t)(倒相器)，激励f(t)二屋U(t)。

(1).求系统的单位冲激响应h(t)：

(2).求系统的零状态响应y(t)。

答案

解⑴当/⑺=演。时，