30、铅笔模型（答案）

1．（2023春•天元区校级期末）如图，，，、、分别是线段、、上的点，且满足．是的角平分线与交于点，在上截一点，连接，令．（1）如图1，若，求的度数．（2）如图1，连接，若，是线段上的一点，连接，使得，求和的数量关系．（3）如图2，在（2）的条件下，过点作，垂足为．是线段上的一点，且满足．求和的数量关系．【解答】解：（1）如图：，，，，，，，，，，，，即；（2）由，设，，是的角平分线，，，，，．，，，，，，又，，，，由（1）知：，，，，即；（3）如图：设，是的角平分线，，，，，，在中，，，即．2．（2023春•巴南区月考）已知直线，点、分别在直线、上，点在直线和之间．（1）如图1，求证：；（2）如图2，，点在直线上，且，求证：；（3）如图3，平分，平分，且．若，直接写出的度数．【解答】（1）证明：过点作，如图：，，，，．（2）证明：．，，，，，．（3）解：．，，，，平分，平分，，，又，，，，．．3．（2023春•武汉期末）已知，，直线交于点，交于点，点在线段上，过作射线、分别交直线、于点、．（1）如图1，当时，求的度数；（2）如图2，若和的角平分线交于点，求和的数量关系；（3）如图3，在（2）的基础上，当，且，时，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为秒，当射线与的一边互相平行时，请直接写出的值．【解答】解：（1）如图所示：过点作，，，，，，，；（2）如图所示：平分，平分，，，，，，，，，，，；（3）如图所示：分三种情况：①如图1所示：当旋转到时，，，，，，，，，，，，平分，绕点旋转的速度每秒，，绕点旋转的速度为每秒，秒；②如图2所示：当旋转到时，，，，，，，，，，平分，，，秒；③如图3所示：当旋转到时，，，①已证，平分，，秒；当射线与的一边互相平行时，的值为10或26或34秒．4．（2023春•金华期末）佛堂古镇的万善浮桥，其夜晚的灯光秀美轮美奂，两岸景观照明还荣获了中国照明学会第十六届照明奖的一等奖．如图所示，记浮桥两岸所在直线分别为、，且，浮桥上装有两种不同的激光灯和激光灯（假设、以及由、两点发出的光射线始终在同一平面内）．灯的光射线以2度每秒的速度从射线顺时针旋转至射线后继续回转，灯的光射线以5度每秒的速度从射线顺时针旋转到射线后也继续回转．当打开激光灯的总开关时，激光灯和激光灯同时开始转动．（1）若购买2盏灯和4盏灯共需10万元，购买3盏灯和2盏灯共需8.6万元，请问：购买灯和灯的单价分别是多少万元？（2）打开总开关，当灯的光射线第一次从射线旋转至射线的过程中，求灯和灯的光射线恰好互相垂直时所需要的时间．（3）如图，打开总开关，当灯的光射线第一次从射线旋转至射线的过程中，若灯和灯的光射线有交点（记为点，延长至点，作与的角平分线并交于点，求与的数量关系．【解答】（1）设购买灯的单价是万元，购买灯的单价是万元，根据题意得，，解得，答：购买灯的单价是1.8万元，购买灯的单价是1.6万元；（2）设灯和灯转动的时间是秒，当灯的光射线第一次从射线旋转至射线的过程中，，①如图1，灯的光射线从射线第一次旋转到射线，即时，，，，，，即，解得；②如图2，灯的光射线从射线旋转回到射线，即时，，，，，，，即，解得；③如图3，灯的光射线从射线第二次旋转到射线，即时，，，，，，，即，解得，，，，，都符合题意．综上所述，当灯和灯的光射线恰好互相垂直时所需要的时间为30秒或秒或90秒；（3）是的外角，，平分，平分，，，，，，，即．5．（2023春•长垣市期末）综合与实践数学社团的同学以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺”为主题开展数学活动，已知点，不可能同时落在直线和之间．探究：（1）如图1，把三角尺的角的顶点，分别放在，上，若，求的度数；类比：（2）如图2，把三角尺的锐角顶点放在上，且保持不动，若点恰好落在和之间，且与所夹锐角为，求的度数；迁移：（3）把三角尺的锐角顶点放在上，且保持不动，旋转三角尺，若存在，直接写出射线与所夹锐角的度数．【解答】解：（1），，，；（2）过点作，如图，，，．，，；（3）存在，有两种情况；①②当点在上方时，如图；，，，射线与所夹锐角的度数为；②当点在上方时，如图；，，即，，射线与所夹锐角，综上所述射线与所夹锐角的度数为或．6．（2023春•广平县期末）如图，直线，连接，直线、及线段把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点落在某个部分时，连接，，构成，，三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角）（1）当动点落在第①部分时，、、之间满足怎样的数量关系？并加以证明；（2）当动点落在第②部分时，、、之间又满足怎样的数量关系？并加以证明；（3）当动点落在第③部分时且在直线右侧时，，，之间又满足怎样的关系，直接写出最后的结论．【解答】解：（1），理由：过点作，，，，，，；（2），理由：过点作，，，，，，即；（3），理由：过点作，，，，，，．7．（2023春•邵阳县期末）如图，直线，连接，直线，及线段把平面分成①②③④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点落在某个部分时，连接，，构成，，三个角．（1）当动点落在第③部分时，如图一，试说明：，，三者的关系；（2）当动点落在第②部分时，如图二，思考（1）中三者关系是否仍然成立若不成立，说明理由．【解答】解：（1），理由：过点作，，，，，，；（2）（1）中三者关系不成立，理由：过点作，，，，，，即．8．（2023春•遂宁期末）如图，直线，两个三角形如图①放置，其中，，，，点在直线上，点，均在直线上，且平分．（1）求的度数；（2）如图②，若将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转，的对应点分别为，．设旋转时间为秒，当时，边与有何位置关系？请说明理由．【解答】解：（1），，平分，，，，，，；（2），理由如下：当时，转动了，即，由（1）可知，，，，．9．（2023春•孝义市期末）综合与探究数学活动课上，老师以“一个含的直角三角板和两条平行线”为背景展开探究活动，如图1，已知直线，直角三角板中，，．（1）如图1，若，则；（直接写出答案）（2）“启航”小组在图1的基础上继续展开探究：如图2，调整三角板的位置，当三角板的直角顶点在直线上，直线与，相交时，他们得出的结论是：，你认为启航小组的结论是否正确，请说明理由；（3）如图3，受到“启航”小组的启发，“睿智”小组提出的问题是：在图2的基础上，继续调整三角板的位置，当点不在直线上，直线与，相交时，与有怎样的数量关系？请你用平行线的知识说明理由．【解答】解：（1）直线，，，，故答案为：；（2）正确，理由如下：如图所示：过点作，，，，，，，，；（3），理由如下：如图所示，过点作，，，，，．10．（2023春•安化县期末）在课后学习中，小红探究平行线中的线段与角的数量关系，如图，直线，点在直线上，点在直线上，点为平面上任意一点，连接，，．（1）如图1，点在直线上，平分，试说明；（2）如图2，点在直线，之间，，，求的度数；（3）如图3，和的平分线交于点，与有何数量关系？并说明理由．【解答】解：（1），．平分，，；（2）如图，过点作，，，，，，，，；（3），理由如下：由（2）可知，同理可得：，和分别是和的平分线，，，，．11．（2023春•东至县期末）【阅读学习】阅读下面的解题过程：（1）如图①，，过点作，由平行线的传递性可得，利用平行线的性质，我们不难发现：与、之间的数量关系是；与、之间的数量关系是．【知识运用】利用上面的结论解决下列问题：（2）如图②，，点是和的平分线的交点，，则的度数是．（3）如图③，，平分，，平分，若比大，求的度数．【解答】解：（1）如图①，作，，，，，，即；，，，，即．故答案为：，；（2）如图②，，由（1）得，，，由（1）得，，分别平分和，．故答案为：；（3）如图③，，由（1）得，设，则，，，，平分，，由（1）得，，，比大，，解得，．12．（2023春•赫山区期末）【问题情景】（1）如图1，，，，求的度数；【问题迁移】（2）如图2，已知，，点在射线上运动，当点在，两点之间运动时，连接，，，，求与，之间的数量关系，并说明理由；【知识拓展】（3）在（2）的条件下，若将“点在，两点之间运动”改为“点在，两点外侧运动（点与点，，三点不重合）”其他条件不变，请直接写出与，之间的数量关系．【解答】解：（1）过点作，，，，，，的度数为；（2），理由：过作交于，，，，，；（3）分两种情况：当在延长线时，，理由：如图3，过作交于，，，，，；当在延长线时，，理由：如图4，过作交于，，，，，，综上所述，或．13．（2023春•大同期末）综合与探究已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点G，H（0°＜∠EHD＜90°）．将一把含30°角的直角三角尺PMN按如图1所示的方式放置，使点N，M分别在直线AB，CD上，且在直线EF的右侧．（1）填空：∠PNB+∠PMD＝∠MPN．（填“＞”“＜”或“＝”）（2）若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O．①如图2，当NO∥PM∥EF时，求∠EHD的度数；②如图3，若将三角尺PMN沿直线BA向左移动，保持PM∥EF（点N不与点G重合），点N，M分别在直线AB、CD上，请直接写出∠MON和∠EHD之间的数量关系．【解答】解：（1）如图所示：过点P作PK∥AB，∴∠PNB＝∠NPK，∵AB∥CD，∴PK∥CD，∴∠KPM＝∠PMD，∴∠PNB+∠PMD＝∠NPK+∠KPM＝∠MPN，故答案为：＝；（2）①由题意可知：∠MNP＝30°，∠MPN＝90°，∴∠NMP＝60°，∵∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，∴∠ANO＝∠MNO，∵AB∥CD，∴∠ANO＝∠NOM，∴∠MNO＝∠NOM，∵NO∥PM∥EF，∴∠EHD＝∠NOM＝∠PMD，∵∠NMO+∠NMP+∠PMD＝180°，∴∠NMO＝180°﹣∠PMD﹣60°＝120°﹣∠PMD，∵∠ONM+∠NOM+∠NMO＝180°，∴2∠NOM+120°﹣∠PMD＝180°，∴∠NOM＝60°，∴∠EHD＝∠NOM＝60°；②由题意可知：∠MNP＝30°，∠MPN＝90°，∴∠NMP＝60°，∵∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，∴∠ANO＝∠MNO，∵AB∥CD，∴∠ANO＝∠MON，∴∠MON＝∠ONM，∵∠MON+∠NMO+∠ONM＝180°，∴∠NMO＝180°﹣2∠MON，∵EF∥PM，∴∠EHD+∠NMO+∠NMP＝180°，∴∠EHD+180°﹣2∠MON+60°＝180°，∴∠EHD+60°＝2∠MON．14．（2023春•望花区期末）已知直线、被射线所截，且，点是直线上一定点，点是射线上一动点，连接，当时，过点作交直线于点．（1）如图1，当点在线段上时，写出和之间的数量关系，并完成下面的证明．解：（1）和之间的数量关系：．证明：过点作．，，（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），，，，，，，即，（等量代换）．（2）当点在线段的延长线上时，请直接写出和之间的数量关系．（不必证明）【解答】解：（1）和之间的数量关系：，证明：过点作，，，（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），，（两直线平行，内错角相等），，，，（垂直的性质），即，（等量代换），故答案为：，两直线平行，内错角相等，，垂直的性质；（2）如图所示：．15．（2023春•安阳期末）【学习新知】射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面的夹角为，反射光线与水平镜面的夹角为，则．（1）【初步应用】生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图2当一束“激光”射到平面镜上，被平面镜反射到平面镜上，又被平面镜反射后得到反射光线，回答下列问题：①当（即时，求的度数；②当时，任何射到平面镜上的光线经过平面镜和的两次反射后，入射光线与反射光线总是平行的．请你根据所学知识及新知说明理由．（提示：三角形的内角和等于（2）【拓展探究】如图3，有三块平面镜，，，入射光线经过三次反射，得到反射光线已知，若要使，请直接写出的度数；【解答】解：（1）①，，，，，，，，；②，，，，，，，（2）如图所示，过点作，，，，，，，，，，，，，，，，，，，故答案为：．16．（2023春•于洪区期中）已知，点，分别在直线，上，在平行线，之间有一动点（点在直线的左侧）．（1）如图1，请写出，和之间的等量关系，并说明理由；（2）如图2，与的角平分线相交于点，请直接写出与之间的等量关系；（3）如图3，在（2）的条件下，和的角平分线相交于点，和的角平分线相交于点，和的角平分线相交于点，和的角平分线相交于点，，以此类推，则（用含的代数式表示）．【解答】解：（1）如图，过点作直线，，，，，，，即；（2）如图，过点作直线，同理可得：，平分，平分，，，由（1）知，，在四边形中，；（3）同理可得：，，为的平分线，为的平分线，，，为的平分线，为的平分线，，，，，由（2）知，，，同理可得：，，．故答案为：．17．（2023春•富锦市校级期末）（1）如图①，直线，是与之间的一点，连接，，求证：．（2）如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：．（3）如图③，，其他条件不变，则、、有怎样的数量关系，请直接写出，不需证明．【解答】（1）证明：过点作，，，，，，；（2）证明：过点作，，，，，，；（3）解：，理由：过点作，，，，，，．18．（2022春•宁阳县期末）如图，，点为两直线之间的一点．（1）如图1，若，，则；（2）如图2，试说明，；（3）①如图3，若的平分线与的平分线相交于点，判断与的数量关系，并说明理由；②如图4，若设，，，请直接用含、的代数式表示的度数．【解答】解：（1）如图所示，过点作，，，，，故答案为．（2）如图所示，过点作，，，，，即．（3）①，理由如下：由（1）可得，，平分，平分，，，，由（2）可知，，．②由①知，，，，，，，，．19．（2022春•普兰店区期中）直线，点在和之间任一点，射线经过点．（1）如图1，若，，，求的度数；（2）如图2，若，，若，求的度数（用含式子表示）．（3）如图3，若的角平分线与的角平分线交于点，试找出和的数量关系并说明理由．【解答】解：（1）过点作，，，，，，，，，，，的度数为；（2）过点作，，，，，，，，，，，，的度数为；（3），理由：延长交直线于点，设，，平分，平分，，，，，，由（2）得：，，，．20．（2022春•随州期末）已知，点在射线，之间．（1）如图1，若，，小聪同学过点作，利用平行线的性质，求得120度；（2）如图2，请写出你发现的，，之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，平分交于点，平分交于点，交于点，试猜想与的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1），，，，，，，，，，故答案为：120；（2），证明：过点作，，，，，，，；（3），理由：平分，平分，，，，，由（2）得：，，，，，．21．（2021秋•香坊区期末）已知：直线、被直线所截，直线交直线于点，交直线于点，．（1）如图1，求证：；（2）如图2，，，，求的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点在直线上，分别连接、，，连接，，，平分，于点，若，求的度数．【解答】（1）证明：如图1，，，，；（2）解：如图2，由（1）知：，，，，，，；（3）如图3，设，，，，，，，，平分，，，，，，，，，解得：，，，，，，．22．（2022春•莆田期末）李想是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一块含有的直角三角板摆放在一组平行线上展开探究．已知直线，直角三角板中，，，点为直线上一定点．将直角三角板绕点转动，当点在直线上时，点也恰好在直线上．（1）如图1，求的度数；（2）如图2，若点在直线上方，点在下方，与交于点，作的角平分线并反向延长与的角平分线交于点．在直角三角板绕点转动的过程中，的度数是否保持不变？若不变，求出的度数；否则，请说明理由；（3）如图3，直角三角板绕点转动，若点在直线，之间（不含，上），点在下方，，分别与交于点，．设，是否存在正整数和，使得，若存在，请求出和的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1），，．（2）的度数保持不变．理由如下：过点作，，，，，，平分，平分，，，，，，．的度数保持不变，始终是．（3）存在．理由如下：，，，，，，，，，由此得出，，点在直线，之间（不含，上），点在下方，，即，，是正整数，当时，，不符合题意，舍去；当时，，符合题意；当时，不是正整数，舍去；当时，，符合题意；当时，，符合题意；当时，，不符合题意，舍去．综上所得，，，或，，或，．23．（2021春•白云区期末）在四边形中，，平分．（1）如图1，点在四边形内部，平分，若，求的度数；（2）如图2，点在四边形外部，平分，和有怎样的等量关系？请证明你的结论；（3）如图3，点在四