分段函数教案

分段函数教案一、教学目标1.知识与技能目标让学生理解分段函数的概念，能正确识别分段函数。会求分段函数的定义域、值域。能根据不同的自变量取值范围，正确计算分段函数的函数值。2.过程与方法目标通过实例分析，培养学生观察、分析、归纳的能力，提高学生从具体到抽象的思维能力。在求解分段函数问题的过程中，让学生体会分类讨论的数学思想方法。3.情感态度与价值观目标通过对分段函数的学习，培养学生严谨的数学态度和勇于探索的精神。让学生感受数学在实际生活中的广泛应用，提高学生学习数学的兴趣。

二、教学重难点1.教学重点分段函数的概念和性质。分段函数的定义域、值域的求法以及函数值的计算。2.教学难点对分段函数概念的理解，特别是分段区间端点处函数值的确定。如何引导学生正确运用分类讨论思想解决分段函数的相关问题。

三、教学方法1.讲授法：讲解分段函数的基本概念、性质和求解方法，使学生系统地掌握知识。2.讨论法：组织学生讨论分段函数的实例，鼓励学生积极思考、发表见解，培养学生的合作交流能力和思维能力。3.练习法：通过课堂练习和课后作业，让学生巩固所学知识，提高运用知识解决问题的能力。

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）通过展示几个实际生活中的例子，引入分段函数的概念。例如：1.某停车场的收费标准是：停车不超过2小时，收费5元；超过2小时的部分，每小时加收1.5元（不足1小时按1小时计算）。设停车时间为\(x\)小时，收费为\(y\)元，如何用解析式表示\(y\)与\(x\)的关系？2.为了鼓励居民节约用水，某市自来水公司采取分段计费的方法收取水费：每月用水量不超过10吨时，每吨2元；超过10吨的部分，每吨3元。设每月用水量为\(x\)吨，水费为\(y\)元，怎样用函数表示\(y\)与\(x\)之间的关系？

让学生思考并尝试写出函数关系式，然后请几位同学回答，从而引出本节课的主题分段函数。

（二）讲解新课（25分钟）1.分段函数的概念结合导入新课中的例子，引导学生分析函数的特点：对于自变量\(x\)的不同取值范围，函数有着不同的对应法则。给出分段函数的定义：在函数的定义域内，对于自变量\(x\)的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。强调分段函数是一个函数，而不是几个函数，只不过它在定义域的不同区间上有不同的表达式。2.分段函数的定义域和值域定义域：分段函数的定义域是各段函数定义域的并集。值域：分别求出各段函数的值域，再取并集得到分段函数的值域。以导入新课中的第一个例子为例，分析其定义域和值域：定义域：\(x\geq0\)。当\(0\leqx\leq2\)时，\(y=5\)，这一段的值域为\(\{5\}\)；当\(x>2\)时，\(y=5+1.5\times\lceilx2\rceil\)（\(\lceilx2\rceil\)表示不小于\(x2\)的最小整数），值域为\((5,+\infty)\)。所以该分段函数的值域为\(\{5\}\cup(5,+\infty)=[5,+\infty)\)。3.分段函数的函数值计算给出一个分段函数的例子：\(f(x)=\begin{cases}x+1,&x<0\\2x,&0\leqx\leq1\\x^21,&x>1\end{cases}\)计算\(f(2)\)：因为\(2<0\)，所以将\(x=2\)代入\(f(x)=x+1\)，得\(f(2)=2+1=1\)。计算\(f(0.5)\)：因为\(0\leq0.5\leq1\)，所以将\(x=0.5\)代入\(f(x)=2x\)，得\(f(0.5)=2\times0.5=1\)。计算\(f(2)\)：因为\(2>1\)，所以将\(x=2\)代入\(f(x)=x^21\)，得\(f(2)=2^21=3\)。强调计算分段函数值时，要先确定自变量所在的区间，然后再代入相应的解析式进行计算。

（三）例题讲解（20分钟）例1：已知函数\(f(x)=\begin{cases}2x+1,&x\leq1\\x^22x+2,&x>1\end{cases}\)1.求\(f(2)\)的值。2.若\(f(a)=3\)，求\(a\)的值。

解：1.因为\(2\leq1\)，所以将\(x=2\)代入\(f(x)=2x+1\)，得\(f(2)=2\times(2)+1=3\)。2.当\(a\leq1\)时，\(f(a)=2a+1=3\)，解方程\(2a+1=3\)，得\(2a=2\)，\(a=1\)。当\(a>1\)时，\(f(a)=a^22a+2=3\)，即\(a^22a1=0\)，对于一元二次方程\(a^22a1=0\)，其中\(b=2\)，\(c=1\)，根据求根公式\(a=\frac{b\pm\sqrt{b^24ac}}{2a}\)，可得\(a=\frac{2\pm\sqrt{(2)^24\times1\times(1)}}{2\times1}=1\pm\sqrt{2}\)。因为\(a>1\)，所以\(a=1+\sqrt{2}\)。综上，\(a\)的值为\(1\)或\(1+\sqrt{2}\)。

例2：某商场对顾客实行优惠，规定：如一次购物不超过200元，则不予折扣；如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；如一次购物超过500元的，其中500元按第2条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠。某人两次去购物，分别付款168元和423元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款多少元？

解：因为\(200\times0.9=180\)元，\(168<180\)，所以第一次购物未享受优惠，商品标价即为168元。因为\(500\times0.9=450\)元，\(423<450\)，所以第二次购物享受了九折优惠，商品标价为\(423\div0.9=470\)元。两次购物商品总标价为\(168+470=638\)元。应付款为\(500\times0.9+(638500)\times0.8=450+110.4=560.4\)元。

通过这两个例题，进一步巩固分段函数的概念和应用，让学生掌握如何根据分段函数的条件进行计算和求解实际问题。

（四）课堂练习（15分钟）1.已知函数\(f(x)=\begin{cases}x^2,&x<0\\2x,&x\geq0\end{cases}\)，求\(f(1)\)，\(f(0)\)，\(f(2)\)的值。2.已知函数\(f(x)=\begin{cases}3x1,&x<1\\2x^2,&x\geq1\end{cases}\)，若\(f(a)=5\)，求\(a\)的值。3.某城市出租车收费标准为：起步价10元（3千米以内），3千米到5千米每千米1.2元，5千米以上每千米1.8元。若某人乘坐了\(x\)千米（\(x>5\)）的路程，写出他应付车费\(y\)元与\(x\)千米的函数关系式，并求当\(x=8\)时的车费。

让学生在练习本上完成，然后请几位同学上台板演，教师进行巡视指导，及时纠正学生出现的问题。通过课堂练习，及时反馈学生对知识的掌握情况，强化学生对分段函数的理解和应用能力。

（五）课堂小结（5分钟）1.与学生一起回顾本节课所学内容：分段函数的概念：在定义域内，对于自变量\(x\)的不同取值区间，有不同的对应法则。分段函数的定义域、值域求法：定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。分段函数函数值的计算方法：先确定自变量所在区间，再代入相应解析式计算。2.强调分类讨论思想在解决分段函数问题中的重要性，提醒学生在计算和解题过程中要仔细分析，避免出错。

（六）布置作业（5分钟）1.书面作业：教材课后习题第[X]题，第[X]题，第[X]题。2.拓展作业：已知函数\(f(x)=\begin{cases}x+2,&x\leq1\\x^2,&1<x<2\\2x,&x\geq2\end{cases}\)，求\(f(x)\)的定义域和值域，并画出函数图象。某工厂生产一种产品的成本\(C\)（单位：万元）与年产量\(x\)（单位：千件）之间的关系为\(C(x)=\begin{cases}10x+200,&0<x\leq20\\100010x,&20<x\leq100\end{cases}\)，若每件产品的售价为30万元，求该工厂年利润\(L(x)\)（单位：万元）与年产量\(x\)之间的函数关系式，并求年产量为多少时，年利润最大？最大年利润是多少？

通过书面作业巩固本节课所学的基础知识，拓展作业则进一步加深学生对分段函数的理解和应用，培养学生的综合运用能力和创新思维能力。

五、教学反思在本节课的教学过程中，通过实例引入分段函数的概念，让学生更容易理解和接受。在讲解分段函数的定义域、值域和函数值计算时，结合具体例子进行详细讲解，使学生能够较好地掌握相关知识和方法。