工程数学I第4次作业

工程数学I第4次作业一、作业题目

本次作业涵盖了线性代数与概率论的多个知识点，包括矩阵的运算、线性方程组的求解、概率的基本性质以及随机变量的分布等内容。具体题目如下：

线性代数部分

1.已知矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}9&8&7\\6&5&4\\3&2&1\end{pmatrix}\)，计算\(A+B\)，\(AB\)，\(AB\)。2.求矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&1\\2&3&0\end{pmatrix}\)的逆矩阵\(A^{1}\)。3.解线性方程组\(\begin{cases}x_1+2x_2x_3=2\\2x_13x_2+x_3=1\\3x_1+x_22x_3=3\end{cases}\)。

概率论部分

1.已知事件\(A\)，\(B\)满足\(P(A)=0.5\)，\(P(B)=0.4\)，\(P(A\cupB)=0.7\)，求\(P(AB)\)，\(P(BA)\)，\(P(A\capB)\)。2.设随机变量\(X\)的概率分布为\(P(X=k)=\frac{C}{k!}\)，\(k=0,1,2,\cdots\)，求常数\(C\)。3.已知随机变量\(X\)服从正态分布\(N(1,4)\)，求\(P(1\ltX\leqslant3)\)。（附：\(\varPhi(1)=0.8413\)）

二、线性代数部分解答

1.矩阵运算

1.计算\(A+B\)\(A+B=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}9&8&7\\6&5&4\\3&2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+9&2+8&3+7\\4+6&5+5&6+4\\7+3&8+2&9+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&10&10\\10&10&10\\10&10&10\end{pmatrix}\)2.计算\(AB\)\(AB=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\begin{pmatrix}9&8&7\\6&5&4\\3&2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}19&28&37\\46&55&64\\73&82&91\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8&6&4\\2&0&2\\4&6&8\end{pmatrix}\)3.计算\(AB\)\(AB=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\begin{pmatrix}9&8&7\\6&5&4\\3&2&1\end{pmatrix}\)第一行与第一列元素相乘：\((1\times9)+(2\times6)+(3\times3)=9+12+9=30\)第一行与第二列元素相乘：\((1\times8)+(2\times5)+(3\times2)=8+10+6=24\)第一行与第三列元素相乘：\((1\times7)+(2\times4)+(3\times1)=7+8+3=18\)第二行与第一列元素相乘：\((4\times9)+(5\times6)+(6\times3)=36+30+18=84\)第二行与第二列元素相乘：\((4\times8)+(5\times5)+(6\times2)=32+25+12=69\)第二行与第三列元素相乘：\((4\times7)+(5\times4)+(6\times1)=28+20+6=54\)第三行与第一列元素相乘：\((7\times9)+(8\times6)+(9\times3)=63+48+27=138\)第三行与第二列元素相乘：\((7\times8)+(8\times5)+(9\times2)=56+40+18=114\)第三行与第三列元素相乘：\((7\times7)+(8\times4)+(9\times1)=49+32+9=90\)所以\(AB=\begin{pmatrix}30&24&18\\84&69&54\\138&114&90\end{pmatrix}\)

2.求矩阵\(A\)的逆矩阵\(A^{1}\)

1.首先求矩阵\(A\)的行列式\(|A|\)\(|A|=\begin{vmatrix}1&2&1\\0&1&1\\2&3&0\end{vmatrix}=1\times\begin{vmatrix}1&1\\3&0\end{vmatrix}2\times\begin{vmatrix}0&1\\2&0\end{vmatrix}+1\times\begin{vmatrix}0&1\\2&3\end{vmatrix}\)\(=1\times(0(3))2\times(0(2))+1\times(02)=342=3\)2.然后求伴随矩阵\(adj(A)\)求\(A_{11}\)：\(A_{11}=(1)^{1+1}\begin{vmatrix}1&1\\3&0\end{vmatrix}=0(3)=3\)求\(A_{12}\)：\(A_{12}=(1)^{1+2}\begin{vmatrix}0&1\\2&0\end{vmatrix}=(0(2))=2\)求\(A_{13}\)：\(A_{13}=(1)^{1+3}\begin{vmatrix}0&1\\2&3\end{vmatrix}=02=2\)求\(A_{21}\)：\(A_{21}=(1)^{2+1}\begin{vmatrix}2&1\\3&0\end{vmatrix}=(03)=3\)求\(A_{22}\)：\(A_{22}=(1)^{2+2}\begin{vmatrix}1&1\\2&0\end{vmatrix}=02=2\)求\(A_{23}\)：\(A_{23}=(1)^{2+3}\begin{vmatrix}1&2\\2&3\end{vmatrix}=(34)=1\)求\(A_{31}\)：\(A_{31}=(1)^{3+1}\begin{vmatrix}2&1\\1&1\end{vmatrix}=21=3\)求\(A_{32}\)：\(A_{32}=(1)^{3+2}\begin{vmatrix}1&1\\0&1\end{vmatrix}=(10)=1\)求\(A_{33}\)：\(A_{33}=(1)^{3+3}\begin{vmatrix}1&2\\0&1\end{vmatrix}=10=1\)所以伴随矩阵\(adj(A)=\begin{pmatrix}3&3&3\\2&2&1\\2&1&1\end{pmatrix}\)3.最后求逆矩阵\(A^{1}=\frac{1}{|A|}adj(A)=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}3&3&3\\2&2&1\\2&1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&1\\\frac{2}{3}&\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{pmatrix}\)

3.解线性方程组

1.首先写出增广矩阵\(\overline{A}=\begin{pmatrix}1&2&1&2\\2&3&1&1\\3&1&2&3\end{pmatrix}\)2.进行初等行变换：\(R_22R_1\)，\(R_33R_1\)得\(\begin{pmatrix}1&2&1&2\\0&7&3&3\\0&5&1&3\end{pmatrix}\)\(R_3\frac{5}{7}R_2\)得\(\begin{pmatrix}1&2&1&2\\0&7&3&3\\0&0&\frac{8}{7}&\frac{6}{7}\end{pmatrix}\)3.由最后一行可得：\(\frac{8}{7}x_3=\frac{6}{7}\)，解得\(x_3=\frac{3}{4}\)4.由第二行：\(7x_2+3x_3=3\)，将\(x_3=\frac{3}{4}\)代入得：\(7x_2+\frac{9}{4}=3\)，解得\(x_2=\frac{3}{4}\)5.由第一行：\(x_1+2x_2x_3=2\)，将\(x_2=\frac{3}{4}\)，\(x_3=\frac{3}{4}\)代入得：\(x_1+2\times\frac{3}{4}\frac{3}{4}=2\)，解得\(x_1=\frac{5}{4}\)

所以方程组的解为\(x_1=\frac{5}{4}\)，\(x_2=\frac{3}{4}\)，\(x_3=\frac{3}{4}\)。

三、概率论部分解答

1.概率的基本运算

1.求\(P(AB)\)根据公式\(P(AB)=P(A)P(A\capB)\)又因为\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)P(A\capB)\)，已知\(P(A)=0.5\)，\(P(B)=0.4\)，\(P(A\cupB)=0.7\)所以\(0.7=0.5+0.4P(A\capB)\)，解得\(P(A\capB)=0.2\)则\(P(AB)=P(A)P(A\capB)=0.50.2=0.3\)2.求\(P(BA)\)同理\(P(BA)=P(B)P(A\capB)=0.40.2=0.2\)3.求\(P(A\capB)\)前面已求得\(P(A\capB)=0.2\)

2.求常数\(C\)

1.因为随机变量\(X\)的所有概率之和为\(1\)，即\(\sum_{k=0}^{\infty}P(X=k)=1\)已知\(P(X=k)=\frac{C}{k!}\)，所以\(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{C}{k!}=C\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\)由指数函数的泰勒展开式\(e^x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}\)，当\(x=1\)时，\(e=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\)所以\(C\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=C\cdote=1\)，解得\(C=e^{1}\)

3.求正态分布概率\(P(1\ltX\leqslant3)\)

1.已知\(X\)服从正态分布\(N(1,4)\)，则\(\mu=1\)，\(\sigma=2\)2.进行标准化变换，令\(Z=\frac{X\mu}{\sigma}=\frac{X1}{2}\)当\(X=1\)时，\(Z_1=\frac{11}{2}=1\)当\(X=3\)时，\(Z_2=\frac{31}{2}=1\)3.则\(P(1\ltX\leqslant3)=P(1\ltZ\leqslant1)=\varPhi(1)\varPhi(1)\)因为正态分布的对称性，\(\varPhi(1)=1\varPhi(1)\)已知\(\varPhi(1)=0.8413\)，所以\(P(1\ltZ\leqslant1)=\varPhi(1)(1\varPhi(1))=2\varPhi(1)1=2\times0.84131=0.6826\)

综上，本次工程数学I第4次作业已全部解答完毕。通过对这些题目的解答，进