必修三第二章统计复习教案

必修三第二章统计复习教案一、教学目标1.知识与技能目标系统复习统计的相关概念，包括总体、个体、样本、样本容量等，理解它们之间的关系。熟练掌握抽样方法，如简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的特点、适用范围及操作步骤。能根据频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等图表，提取数据信息，进行数据分析，如计算平均数、中位数、众数、方差等数字特征。理解线性回归方程的原理，会根据给出的数据求回归直线方程，并能利用回归方程进行预测。2.过程与方法目标通过对各种统计图表和抽样方法的复习，培养学生的数据处理能力和逻辑思维能力。在解决实际统计问题的过程中，让学生体会统计思想，提高学生运用统计知识解决实际问题的能力。通过对回归分析的复习，培养学生运用数学模型进行预测和决策的能力。3.情感态度与价值观目标让学生感受统计在日常生活和科学研究中的广泛应用，体会数学的实用性，激发学生学习数学的兴趣。通过小组合作交流，培养学生的团队合作精神和勇于探索的精神。

二、教学重难点1.教学重点三种抽样方法的区别与联系及应用。频率分布直方图、茎叶图的绘制与解读，以及数字特征的计算。线性回归方程的求解和应用。2.教学难点合理选择抽样方法解决实际问题。对频率分布直方图中各个量的理解及计算。线性回归方程的理解和应用，以及如何根据数据特点进行有效的数据分析和预测。

三、教学方法1.讲授法：系统讲解统计的基本概念、抽样方法、图表分析及回归分析的相关知识，使学生形成完整的知识体系。2.讨论法：组织学生对一些典型的统计案例进行讨论，鼓励学生积极思考，发表自己的见解，培养学生的合作交流能力和思维能力。3.练习法：通过课堂练习和课后作业，让学生巩固所学知识，提高运用统计知识解决实际问题的能力。

四、教学过程

（一）知识梳理1.总体、个体、样本、样本容量总体：所研究对象的全体。个体：总体中的每一个研究对象。样本：从总体中所抽取的一部分个体。样本容量：样本中个体的数目。2.抽样方法简单随机抽样定义：从总体\(N\)个个体中不放回地抽取\(n\)个个体作为样本\((n\leqN)\)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。方法：抽签法、随机数法。系统抽样定义：当总体中的个体数较多时，可以将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样。步骤：编号、分段、确定起始个体编号、按规则抽取样本。分层抽样定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样。步骤：分层、确定抽样比、计算各层抽样数、在各层抽样。3.用样本估计总体频率分布表与频率分布直方图频率分布表：反映了样本数据在各个小范围内所占的比例大小。频率分布直方图：以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小。绘制频率分布直方图的步骤：求极差、决定组距与组数、将数据分组、列频率分布表、画频率分布直方图。茎叶图定义：将样本数据有条理地列出来，从中观察数据的分布情况。优点：保留了原始数据，便于记录和表示，能直观地反映数据的分布情况。数字特征平均数：\(\overline{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}\)，反映了数据的平均水平。中位数：将数据从小到大排序后，位于中间位置的数（如果数据个数为奇数）或中间两个数的平均数（如果数据个数为偶数），它不受极端值的影响。众数：一组数据中出现次数最多的数据。方差：\(s^{2}=\frac{1}{n}[(x_{1}\overline{x})^{2}+(x_{2}\overline{x})^{2}+\cdots+(x_{n}\overline{x})^{2}]\)，反映了数据的离散程度。4.变量间的相关关系与线性回归分析相关关系定义：两个变量之间的关系，但又不是确定的函数关系。分类：正相关和负相关。散点图：将样本中的\(n\)个数据点\((x_{i},y_{i})(i=1,2,\cdots,n)\)描在平面直角坐标系中得到的图形，通过散点图可以直观地判断两个变量之间是否具有相关关系。线性回归方程最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法。线性回归方程：\(\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}\)，其中\(\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}\overline{x})(y_{i}\overline{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}\overline{x})^{2}}\)，\(\hat{a}=\overline{y}\hat{b}\overline{x}\)。

（二）典型例题讲解例1：为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区\(100\)名年龄为\(17.5\)岁\(18\)岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如下：

（1）根据直方图可得这\(100\)名学生中体重在\([56.5,64.5)\)的学生人数是多少？（2）请根据频率分布直方图，估计该地区\(17.5\)岁\(18\)岁的男生体重的中位数与平均数。

解：（1）由频率分布直方图可知，体重在\([56.5,64.5)\)的频率为\((0.03+0.05+0.05+0.07)×2=0.4\)。所以这\(100\)名学生中体重在\([56.5,64.5)\)的学生人数是\(100×0.4=40\)人。

（2）求中位数：设中位数为\(x\)，因为前两个小矩形的面积之和为\((0.01+0.03)×2=0.08\)，前三个小矩形的面积之和为\(0.08+0.05×2=0.18\)。所以\(0.08+(x60)×0.05=0.5\)，解得\(x=60+\frac{0.50.08}{0.05}=60+8.4=66.4\)。

求平均数：\(\overline{x}=54.5×0.02×2+56.5×0.03×2+58.5×0.05×2+60.5×0.05×2+62.5×0.07×2+64.5×0.03×2+66.5×0.02×2+68.5×0.01×2\)\(=1.09+3.39+5.85+6.05+8.75+3.87+2.66+1.37=32.93\)。

例2：某单位有职工\(160\)人，其中业务员\(104\)人，管理人员\(32\)人，后勤服务人员\(24\)人，为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为\(20\)的样本，试用三种抽样方法分别进行抽样。

解：简单随机抽样：将\(160\)人编号从\(1\)到\(160\)，然后把号码写在号签上，将号签放在一个容器中搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取\(20\)次，就得到一个容量为\(20\)的样本。

系统抽样：将\(160\)人分成\(20\)组，每组\(8\)人。第一组：\(18\)号；第二组：\(916\)号；......；第二十组：\(153160\)号。在第一组中用简单随机抽样确定起始号码\(k\)，然后依次抽取\(k+8\)，\(k+16\)，......，\(k+152\)，这样就得到一个容量为\(20\)的样本。

分层抽样：计算抽样比\(\frac{20}{160}=\frac{1}{8}\)。业务员应抽取\(104×\frac{1}{8}=13\)人；管理人员应抽取\(32×\frac{1}{8}=4\)人；后勤服务人员应抽取\(24×\frac{1}{8}=3\)人。然后在业务员中用简单随机抽样抽取\(13\)人，在管理人员中用简单随机抽样抽取\(4\)人，在后勤服务人员中用简单随机抽样抽取\(3\)人，将抽取的人员合在一起就得到一个容量为\(20\)的样本。

例3：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：

|年龄\(x\)（岁）|23|27|39|41|45|49|50||::|::|::|::|::|::|::|::||脂肪含量\(y\)（%）|9.5|17.8|21.2|25.9|27.5|26.3|28.2|

（1）请画出散点图，并判断年龄与脂肪含量是否具有相关关系？（2）求回归直线方程。

解：（1）散点图如下：

通过散点图可以看出，年龄与脂肪含量具有正相关关系。

（2）计算\(\overline{x}=\frac{23+27+39+41+45+49+50}{7}=39\)，\(\overline{y}=\frac{9.5+17.8+21.2+25.9+27.5+26.3+28.2}{7}=22.6\)。

\(\sum_{i=1}^{7}(x_{i}\overline{x})(y_{i}\overline{y})=(2339)×(9.522.6)+(2739)×(17.822.6)+(3939)×(21.222.6)+(4139)×(25.922.6)+(4539)×(27.522.6)+(4939)×(26.322.6)+(5039)×(28.222.6)\)\(=(16)×(13.1)+(12)×(4.8)+0×(1.4)+2×3.3+6×4.9+10×3.7+11×5.6\)\(=209.6+57.6+0+6.6+29.4+37+61.6=392.8\)。

\(\sum_{i=1}^{7}(x_{i}\overline{x})^{2}=(2339)^{2}+(2739)^{2}+(3939)^{2}+(4139)^{2}+(4539)^{2}+(4939)^{2}+(5039)^{2}\)\(=(16)^{2}+(12)^{2}+0^{2}+2^{2}+6^{2}+10^{2}+11^{2}\)\(=256+144+0+4+36+100+121=661\)。

则\(\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{7}(x_{i}\overline{x})(y_{i}\overline{y})}{\sum_{i=1}^{7}(x_{i}\overline{x})^{2}}=\frac{392.8}{661}\approx0.594\)。

\(\hat{a}=\overline{y}\hat{b}\overline{x}=22.60.594×39=22.623.166=0.566\)。

所以回归直线方程为\(\hat{y}=0.594x0.566\)。

（三）课堂练习1.某中学有高中生\(3500\)人，初中生\(1500\)人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为\(n\)的样本，已知从高中生中抽取\(70\)人，则\(n\)为（）A.\(100\)B.\(150\)C.\(200\)D.\(250\)

2.一个容量为\(20\)的样本数据，分组后组距与频数如下：\([10,20)\)，\(2\)；\([20,30)\)，\(3\)；\([30,40)\)，\(4\)；\([40,50)\)，\(5\)；\([50,60)\)，\(4\)；\([60,70]\)，\(2\)。则样本在区间\([10,50)\)上的频率为（）A.\(0.5\)B.\(0.7\)C.\(0.25\)D.\(0.05\)

3.已知一组数据\(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}\)的平均数是\(2\)，方差是\(\frac{1}{3}\)，那么另一组数据\(3x_{1}2,3x_{2}2,3x_{3}2,3x_{4}2,3x_{5}2\)的平均数和方差分别为（）A.\(2,\frac{1}{3}\)B.\(2,1\)C.\(4,\frac{2}{3}\)D.\(4,3\)

4.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了\(5\)次试验，收集数据如下：

|零件数\(x\)（个）|10|20|30|40|50