椭圆第二定义教学设计

椭圆第二定义教学设计一、教学目标1.知识与技能目标理解椭圆的第二定义，掌握椭圆的准线方程。能运用椭圆的第二定义解决相关的几何问题，如求椭圆上点到焦点的距离、求椭圆方程等。2.过程与方法目标通过椭圆第二定义的探究过程，培养学生观察、分析、归纳、类比的能力，体会从特殊到一般的数学思想方法。经历运用椭圆第二定义解题的过程，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，培养学生的运算能力和逻辑思维能力。3.情感态度与价值观目标通过探究椭圆的第二定义，让学生感受数学的严谨性和科学性，激发学生学习数学的兴趣。在解决问题的过程中，培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强学生学习数学的自信心。

二、教学重难点1.教学重点椭圆第二定义的理解和应用。椭圆准线方程的推导和运用。2.教学难点椭圆第二定义的探究过程及理解。灵活运用椭圆第二定义解决相关问题，特别是涉及到离心率与椭圆形状关系的问题。

三、教学方法1.讲授法：讲解椭圆第二定义的概念、准线方程等基础知识，使学生对本节课的重点内容有初步的认识。2.探究法：通过设置问题情境，引导学生自主探究椭圆第二定义，培养学生的探究能力和创新思维。3.讨论法：组织学生讨论椭圆第二定义在解题中的应用，鼓励学生积极交流，拓宽解题思路，提高学生的合作学习能力。4.练习法：通过课堂练习和课后作业，让学生巩固所学知识，提高运用椭圆第二定义解决问题的能力。

四、教学过程

（一）复习导入（5分钟）1.提问：椭圆的第一定义是什么？其标准方程是什么？学生回答：平面内与两个定点\(F_1,F_2\)的距离之和等于常数（大于\(|F_1F_2|\)）的点的轨迹叫做椭圆。其标准方程为：焦点在\(x\)轴上时\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)；焦点在\(y\)轴上时\(\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)\)。2.追问：椭圆的离心率\(e\)的定义及范围是什么？学生回答：离心率\(e=\frac{c}{a}\)，其中\(c^2=a^2b^2\)，\(0<e<1\)。3.引出课题：今天我们将进一步探究椭圆的另一个重要定义椭圆的第二定义。

（二）新课讲授（25分钟）1.创设情境展示一张卫星运行轨道的图片，提问：卫星的运行轨道是什么形状？为什么卫星的轨道是椭圆的呢？引导学生思考：在椭圆中，除了第一定义所描述的性质外，是否还存在其他与椭圆相关的性质呢？2.探究椭圆的第二定义已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)，设\(F(c,0)\)为右焦点，\(l:x=\frac{a^2}{c}\)为右准线，点\(P(x,y)\)是椭圆上任意一点。求点\(P\)到焦点\(F\)的距离\(|PF|\)与点\(P\)到右准线\(l\)的距离\(d\)之比\(\frac{|PF|}{d}\)。首先求\(|PF|\)：根据两点间距离公式\(|PF|=\sqrt{(xc)^2+y^2}\)，又因为\(y^2=b^2(1\frac{x^2}{a^2})\)，代入可得：\(|PF|=\sqrt{(xc)^2+b^2(1\frac{x^2}{a^2})}\)化简得：\(|PF|=\sqrt{x^22cx+c^2+b^2\frac{b^2x^2}{a^2}}\)进一步化简：\(|PF|=\sqrt{\frac{a^2x^22a^2cx+a^2c^2+a^2b^2b^2x^2}{a^2}}\)因为\(c^2=a^2b^2\)，所以\(|PF|=\sqrt{\frac{(a^2b^2)x^22a^2cx+a^2(a^2b^2)+a^2b^2}{a^2}}\)即\(|PF|=\sqrt{\frac{c^2x^22a^2cx+a^4}{a^2}}=\frac{\sqrt{(cxa^2)^2}}{a}=\frac{|a^2cx|}{a}\)再求\(d\)：\(d=x\frac{a^2}{c}\)计算\(\frac{|PF|}{d}\)：\(\frac{|PF|}{d}=\frac{\frac{|a^2cx|}{a}}{x\frac{a^2}{c}}\)当\(x\geqa\)时，\(\frac{|PF|}{d}=\frac{\frac{a^2cx}{a}}{x\frac{a^2}{c}}=\frac{a^2cx}{axa^2}=\frac{c}{a}\)当\(x<a\)时，\(\frac{|PF|}{d}=\frac{\frac{cxa^2}{a}}{x\frac{a^2}{c}}=\frac{c}{a}\)得出结论：椭圆上的点\(P\)到焦点\(F\)的距离与它到相应准线\(l\)的距离之比等于离心率\(e\)。总结椭圆的第二定义：平面内，到一个定点\(F\)和一条定直线\(l\)（\(F\notinl\)）的距离之比是常数\(e(0<e<1)\)的点的轨迹叫做椭圆。其中，定点\(F\)叫做椭圆的焦点，定直线\(l\)叫做椭圆的准线，常数\(e\)叫做椭圆的离心率。3.推导椭圆的准线方程由椭圆的第二定义，对于焦点在\(x\)轴上的椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)，设焦点\(F(c,0)\)，相应准线方程为\(x=\frac{a^2}{c}\)；焦点\(F'(c,0)\)，相应准线方程为\(x=\frac{a^2}{c}\)。对于焦点在\(y\)轴上的椭圆\(\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)\)，设焦点\(F(0,c)\)，相应准线方程为\(y=\frac{a^2}{c}\)；焦点\(F'(0,c)\)，相应准线方程为\(y=\frac{a^2}{c}\)。4.理解椭圆第二定义与第一定义的联系与区别联系：椭圆的第一定义和第二定义都是描述椭圆的本质特征，它们相互关联，可以从不同角度来理解椭圆。区别：第一定义强调的是椭圆上点到两焦点距离之和为定值；第二定义强调的是椭圆上点到焦点与到相应准线距离之比为定值（离心率）。

（三）例题讲解（20分钟）例1：已知椭圆\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)，点\(P\)在椭圆上，它到左焦点的距离等于\(4\)，求点\(P\)到右准线的距离。分析：首先根据椭圆方程求出\(a,b,c\)的值，再利用椭圆的第二定义求解。解：由椭圆方程\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)，可得\(a=5\)，\(b=3\)，则\(c=\sqrt{a^2b^2}=4\)。设点\(P\)到右焦点的距离为\(|PF_2|\)，根据椭圆的第一定义\(|PF_1|+|PF_2|=2a=10\)，已知\(|PF_1|=4\)，所以\(|PF_2|=6\)。离心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{4}{5}\)，设点\(P\)到右准线的距离为\(d\)，根据椭圆的第二定义\(\frac{|PF_2|}{d}=e\)，即\(\frac{6}{d}=\frac{4}{5}\)，解得\(d=\frac{15}{2}\)。例2：已知椭圆的中心在原点，焦点在\(x\)轴上，离心率\(e=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，且椭圆上一点到两焦点距离之和为\(12\)，求椭圆的标准方程及准线方程。分析：先根据椭圆的定义求出\(a\)的值，再由离心率求出\(c\)的值，进而求出\(b\)的值，得到椭圆的标准方程和准线方程。解：由椭圆上一点到两焦点距离之和为\(12\)，可得\(2a=12\)，即\(a=6\)。又因为离心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，所以\(c=3\sqrt{3}\)。由\(b^2=a^2c^2\)，可得\(b^2=3627=9\)。所以椭圆的标准方程为\(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1\)。准线方程为\(x=\pm\frac{a^2}{c}=\pm\frac{36}{3\sqrt{3}}=\pm4\sqrt{3}\)。

（四）课堂练习（10分钟）1.已知椭圆\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\)，点\(P\)在椭圆上，它到右焦点的距离为\(5\)，求点\(P\)到左准线的距离。2.椭圆的离心率\(e=\frac{1}{2}\)，准线方程为\(x=\pm4\)，求椭圆的标准方程。

（五）课堂小结（5分钟）1.椭圆的第二定义：平面内，到一个定点\(F\)和一条定直线\(l\)（\(F\notinl\)）的距离之比是常数\(e(0<e<1)\)的点的轨迹叫做椭圆。2.椭圆的准线方程：焦点在\(x\)轴上的椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)，准线方程为\(x=\pm\frac{a^2}{c}\)；焦点在\(y\)轴上的椭圆\(\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)\)，准线方程为\(y=\pm\frac{a^2}{c}\)。3.椭圆第二定义的应用：求椭圆上点到焦点的距离、求椭圆方程等。

（六）布置作业（5分钟）1.课本P51练习第3、4、5题。2.已知椭圆\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\)，点\(P\)在椭圆上，且点\(P\)到左焦点的距离为\(4\)，求点\(P\)到右准线的距离。若点\(P\)到右准线的距离为\(6\)，求点\(P\)到左焦点的距离。3.思考：椭圆的第二定义在实际生活中有哪些应用？请举例说明。

五、教学反