函数的单调性的教学设计

函数的单调性的教学设计一、教学目标1.知识与技能目标理解函数单调性的概念，能说出增函数、减函数的定义。会根据函数图象判断函数的单调性，能利用定义证明函数在某一区间上的单调性。2.过程与方法目标通过观察函数图象，培养学生的直观感知能力，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般的认知过程，体会归纳推理的方法。通过用定义证明函数单调性，提高学生的逻辑推理能力，培养学生的数学语言表达能力。3.情感态度与价值观目标通过本节课的学习，让学生感受数学的严谨性，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神。在合作交流中，培养学生的团队合作意识，增强学生学习数学的兴趣和信心。

二、教学重难点1.教学重点函数单调性的概念和判断函数单调性的方法。利用函数单调性的定义证明函数在某一区间上的单调性。2.教学难点对函数单调性概念的理解，特别是对"任意"的理解。利用定义证明函数单调性时，如何通过作差、变形，判断差的符号。

三、教学方法讲授法、直观演示法、讨论法、练习法相结合

四、教学过程

（一）创设情境，引入新课1.展示气温变化图提出问题：观察某地区一天24小时内的气温变化图，气温随时间是如何变化的？引导学生观察图象，描述气温在不同时间段的变化趋势，如在某些时间段气温上升，某些时间段气温下降。2.展示股票价格走势图提问：观察某只股票在一段时间内的价格走势图，股票价格随时间是怎样变化的？让学生说出价格在不同阶段的升降情况。3.引出课题教师总结：无论是气温的变化还是股票价格的变化，都反映出一种量随另一种量变化而变化的情况，在数学中，我们用函数来刻画这种变化关系。而函数的单调性就是描述函数值随自变量变化而变化的一种性质。今天我们就来学习函数的单调性。

（二）探究新知1.函数单调性的概念结合上述实例，引导学生观察函数图象，分析函数值随自变量的变化情况。以函数\(y=x^2\)为例，画出其图象（如：当\(x\in(\infty,0]\)时，随着\(x\)的增大，\(y\)值逐渐减小；当\(x\in[0,+\infty)\)时，随着\(x\)的增大，\(y\)值逐渐增大）。给出增函数和减函数的定义：增函数：一般地，设函数\(f(x)\)的定义域为\(I\)，如果对于定义域\(I\)内的某个区间\(D\)上的任意两个自变量的值\(x_1\)，\(x_2\)，当\(x_1<x_2\)时，都有\(f(x_1)<f(x_2)\)，那么就说函数\(f(x)\)在区间\(D\)上是增函数。减函数：一般地，设函数\(f(x)\)的定义域为\(I\)，如果对于定义域\(I\)内的某个区间\(D\)上的任意两个自变量的值\(x_1\)，\(x_2\)，当\(x_1<x_2\)时，都有\(f(x_1)>f(x_2)\)，那么就说函数\(f(x)\)在区间\(D\)上是减函数。强调定义中的几个要点："定义域\(I\)内的某个区间\(D\)"：函数的单调性是针对定义域内的某个区间而言的，不同区间上函数的单调性可能不同。"任意"：必须对区间\(D\)内的任意两个自变量\(x_1\)，\(x_2\)进行比较，不能只看特殊情况。"当\(x_1<x_2\)时，都有\(f(x_1)<f(x_2)\)（或\(f(x_1)>f(x_2)\)）"：体现了函数值随自变量变化的一种确定的大小关系。2.函数单调性的判断观察法让学生观察一些简单函数的图象，直接判断函数的单调性。例如，观察函数\(y=2x+1\)的图象，学生可以直观地看出它在\(R\)上是增函数；观察函数\(y=3x+2\)的图象，可知它在\(R\)上是减函数。定义法以函数\(f(x)=x^22x\)为例，讲解如何用定义法证明函数的单调性。步骤如下：取值：设\(x_1\)，\(x_2\)是区间\([1,+\infty)\)上的任意两个实数，且\(x_1<x_2\)。作差：\(f(x_1)f(x_2)=(x_1^22x_1)(x_2^22x_2)\)变形：\(f(x_1)f(x_2)=x_1^2x_2^22x_1+2x_2=(x_1x_2)(x_1+x_22)\)定号：因为\(x_1<x_2\)，所以\(x_1x_2<0\)。又因为\(x_1\)，\(x_2\in[1,+\infty)\)，所以\(x_1+x_2>2\)，即\(x_1+x_22>0\)。那么\((x_1x_2)(x_1+x_22)<0\)，也就是\(f(x_1)f(x_2)<0\)，即\(f(x_1)<f(x_2)\)。结论：所以函数\(f(x)=x^22x\)在区间\([1,+\infty)\)上是增函数。总结用定义法证明函数单调性的一般步骤：取值、作差、变形、定号、结论。

（三）课堂练习1.教材上的练习题让学生完成教材中关于函数单调性概念理解和简单判断的练习题，巩固所学知识。例如：判断下列函数的单调性：\(y=3x5\)\(y=x^2+1\)教师巡视指导，及时纠正学生出现的错误。2.拓展练习已知函数\(f(x)=\frac{1}{x}\)，判断它在区间\((0,+\infty)\)和\((\infty,0)\)上的单调性，并证明。解：在区间\((0,+\infty)\)上：取值：设\(x_1\)，\(x_2\)是区间\((0,+\infty)\)上的任意两个实数，且\(x_1<x_2\)。作差：\(f(x_1)f(x_2)=\frac{1}{x_1}\frac{1}{x_2}=\frac{x_2x_1}{x_1x_2}\)变形：已变形为\(\frac{x_2x_1}{x_1x_2}\)。定号：因为\(x_1\)，\(x_2\in(0,+\infty)\)，所以\(x_1x_2>0\)。又因为\(x_1<x_2\)，所以\(x_2x_1>0\)。那么\(\frac{x_2x_1}{x_1x_2}>0\)，即\(f(x_1)f(x_2)>0\)，\(f(x_1)>f(x_2)\)。结论：所以函数\(f(x)=\frac{1}{x}\)在区间\((0,+\infty)\)上是减函数。在区间\((\infty,0)\)上：取值：设\(x_1\)，\(x_2\)是区间\((\infty,0)\)上的任意两个实数，且\(x_1<x_2\)。作差：\(f(x_1)f(x_2)=\frac{1}{x_1}\frac{1}{x_2}=\frac{x_2x_1}{x_1x_2}\)变形：已变形为\(\frac{x_2x_1}{x_1x_2}\)。定号：因为\(x_1\)，\(x_2\in(\infty,0)\)，所以\(x_1x_2>0\)。又因为\(x_1<x_2\)，所以\(x_2x_1>0\)。那么\(\frac{x_2x_1}{x_1x_2}>0\)，即\(f(x_1)f(x_2)>0\)，\(f(x_1)>f(x_2)\)。结论：所以函数\(f(x)=\frac{1}{x}\)在区间\((\infty,0)\)上是减函数。

（四）课堂小结1.引导学生回顾本节课所学内容提问：这节课我们学习了哪些知识？学生回答：函数单调性的概念，包括增函数和减函数的定义；判断函数单调性的方法，如观察法和定义法。2.强调重点和难点重点：函数单调性的概念和判断方法，以及利用定义证明函数单调性的步骤。难点：对"任意"的理解，以及作差变形后如何判断差的符号。3.总结学习方法鼓励学生在今后的学习中，多通过观察、分析函数图象来直观感受函数的性质，同时要注重逻辑推理能力的培养，严格按照定义进行证明和判断。

（五）布置作业1.书面作业教材课后习题中关于函数单调性的相关题目，如判断函数单调性、用定义证明函数单调性等。已知函数\(f(x)=2x^2+3x1\)，判断它在区间\([\frac{3}{4},+\infty)\)上的单调性，并证明。2.拓展作业查阅资料，了解函数单调性在实际生活中的其他应用，下节课进行分享。思考：若函数\(f(x)\)在区间\(A\)上是增函数，在区间\(B\)上也是增函数，那么函数\(f(x)\)在区间\(A\cupB\)上一定是增函数吗？举例说明。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对函数单调性的概念有了一定的理解，掌握了判断函数单调性的方法，特别是通过具体的例子，让学生经历了从直观感知到抽象概括，再到逻辑推理的过程，培养了学生的数学