初中数学应用题训练题

初中数学应用题训练题一、工程问题的基本概念与公式1.工程问题的定义工程问题是研究工作总量、工作效率和工作时间之间关系的一类应用题。它通常将完成一项工程看作一个整体，通过分析不同工作主体在不同时间内完成的工作量来求解相关问题。2.基本公式工作总量=工作效率×工作时间工作效率=工作总量÷工作时间工作时间=工作总量÷工作效率

二、简单的工程问题训练题

（一）单人完成工程问题1.例题1一项工程，甲单独做需要10天完成，求甲的工作效率。解：根据工作效率=工作总量÷工作时间，把这项工程的工作总量看作单位"1"，则甲的工作效率为$1\div10=\frac{1}{10}$。2.例题2一件工作，乙单独做15小时完成，那么乙每小时完成这件工作的几分之几？解：乙的工作效率=$1\div15=\frac{1}{15}$。3.练习一项工程，丙单独做20天完成，丙的工作效率是多少？答案：丙的工作效率为$1\div20=\frac{1}{20}$。

（二）两人合作完成工程问题1.例题1一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成。甲乙两人合作，多少天可以完成这项工程？解：首先求出甲、乙的工作效率，甲的工作效率为$\frac{1}{10}$，乙的工作效率为$\frac{1}{15}$。然后根据工作时间=工作总量÷工作效率和，两人合作的工作效率和为$\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{3}{30}+\frac{2}{30}=\frac{1}{6}$。所以两人合作完成这项工程需要的时间为$1\div\frac{1}{6}=6$（天）。2.例题2一件工作，甲单独做要6小时完成，乙单独做要4小时完成，丙单独做要3小时完成。甲、乙合作2小时后，剩下的由丙单独做，丙还要做几小时才能完成？解：先求甲、乙合作2小时完成的工作量，甲、乙合作的工作效率为$\frac{1}{6}+\frac{1}{4}=\frac{2}{12}+\frac{3}{12}=\frac{5}{12}$。那么甲、乙合作2小时完成的工作量为$\frac{5}{12}\times2=\frac{5}{6}$。剩下的工作量为$1\frac{5}{6}=\frac{1}{6}$。丙的工作效率为$\frac{1}{3}$，所以丙完成剩下工作需要的时间为$\frac{1}{6}\div\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\times3=\frac{1}{2}$（小时）。3.练习一项工程，甲单独做8天完成，乙单独做12天完成。甲乙合作，几天可以完成这项工程的一半？答案：甲的工作效率为$\frac{1}{8}$，乙的工作效率为$\frac{1}{12}$，甲乙合作的工作效率和为$\frac{1}{8}+\frac{1}{12}=\frac{5}{24}$。完成工程的一半，即工作量为$\frac{1}{2}$，所需时间为$\frac{1}{2}\div\frac{5}{24}=\frac{1}{2}\times\frac{24}{5}=\frac{12}{5}=2.4$（天）。

（三）多人合作完成工程问题1.例题1一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成，丙队单独做40天完成。甲、乙、丙三队合作，多少天可以完成这项工程？解：先分别求出甲、乙、丙三队的工作效率，甲队工作效率为$\frac{1}{20}$，乙队工作效率为$\frac{1}{30}$，丙队工作效率为$\frac{1}{40}$。三队合作的工作效率和为$\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{40}=\frac{6}{120}+\frac{4}{120}+\frac{3}{120}=\frac{13}{120}$。所以三队合作完成这项工程需要的时间为$1\div\frac{13}{120}=\frac{120}{13}\approx9.23$（天）。2.例题2一项工程，甲、乙合作需要12天完成，乙、丙合作需要15天完成，甲、丙合作需要20天完成。甲、乙、丙三人合作，需要多少天完成？解：设甲、乙、丙的工作效率分别为$x$、$y$、$z$。根据已知可得方程组：$\begin{cases}12(x+y)=1\\15(y+z)=1\\20(x+z)=1\end{cases}$由$12(x+y)=1$可得$x+y=\frac{1}{12}$①由$15(y+z)=1$可得$y+z=\frac{1}{15}$②由$20(x+z)=1$可得$x+z=\frac{1}{20}$③①+②+③得：$2(x+y+z)=\frac{1}{12}+\frac{1}{15}+\frac{1}{20}$先计算右边：$\frac{1}{12}+\frac{1}{15}+\frac{1}{20}=\frac{5}{60}+\frac{4}{60}+\frac{3}{60}=\frac{12}{60}=\frac{1}{5}$所以$x+y+z=\frac{1}{10}$那么甲、乙、丙三人合作完成这项工程需要的时间为$1\div\frac{1}{10}=10$（天）。3.练习一项工程，甲单独做18天完成，乙单独做24天完成，丙单独做30天完成。甲、乙、丙合作3天后，剩下的由乙、丙合作完成，还需要多少天？答案：甲的工作效率为$\frac{1}{18}$，乙的工作效率为$\frac{1}{24}$，丙的工作效率为$\frac{1}{30}$。甲、乙、丙合作3天完成的工作量为$3\times(\frac{1}{18}+\frac{1}{24}+\frac{1}{30})=3\times(\frac{20}{360}+\frac{15}{360}+\frac{12}{360})=3\times\frac{47}{360}=\frac{47}{120}$。剩下的工作量为$1\frac{47}{120}=\frac{73}{120}$。乙、丙合作的工作效率和为$\frac{1}{24}+\frac{1}{30}=\frac{5}{120}+\frac{4}{120}=\frac{3}{40}$。所以乙、丙合作完成剩下工作需要的时间为$\frac{73}{120}\div\frac{3}{40}=\frac{73}{120}\times\frac{40}{3}=\frac{73}{9}\approx8.11$（天）。

三、工程问题中的工作总量变化问题

（一）工作总量增加的情况1.例题1一项工程，原计划10天完成，工作3天后，由于改进技术，工作效率提高了25%，问完成这项工程可以提前几天？解：原工作效率为$\frac{1}{10}$，工作3天完成的工作量为$\frac{1}{10}\times3=\frac{3}{10}$。剩下的工作量为$1\frac{3}{10}=\frac{7}{10}$。改进技术后工作效率变为$\frac{1}{10}\times(1+25\%)=\frac{1}{10}\times\frac{5}{4}=\frac{1}{8}$。那么完成剩下工作需要的时间为$\frac{7}{10}\div\frac{1}{8}=\frac{7}{10}\times8=\frac{28}{5}=5.6$（天）。总共用的时间为$3+5.6=8.6$（天）。提前的天数为$108.6=1.4$（天）。2.例题2一个水池有甲、乙两个进水管，单开甲管6小时可以注满水池，单开乙管8小时可以注满水池。现先开甲管3小时，然后两管同时开，又经过几小时可以注满水池？后来由于水池需要扩建，注水量增加了20%，那么注满扩建后的水池需要多长时间？解：甲管的工作效率为$\frac{1}{6}$，乙管的工作效率为$\frac{1}{8}$。甲管先开3小时注入的水量为$\frac{1}{6}\times3=\frac{1}{2}$。剩下需要注入的水量为$1\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。甲乙两管同时开的工作效率和为$\frac{1}{6}+\frac{1}{8}=\frac{4}{24}+\frac{3}{24}=\frac{7}{24}$。所以两管同时开注满剩下的水需要的时间为$\frac{1}{2}\div\frac{7}{24}=\frac{1}{2}\times\frac{24}{7}=\frac{12}{7}$（小时）。原来注满水池需要的时间为$3+\frac{12}{7}=\frac{21+12}{7}=\frac{33}{7}$（小时）。注水量增加20%后，工作总量变为$1\times(1+20\%)=1.2$。甲乙合作的工作效率和不变，还是$\frac{7}{24}$。注满扩建后的水池需要的时间为$1.2\div\frac{7}{24}=1.2\times\frac{24}{7}=\frac{28.8}{7}\approx4.11$（小时）。3.练习一项工程，原计划20天完成，施工5天后，每天的工作效率提高了20%，问完成这项工程实际用了多少天？答案：原工作效率为$\frac{1}{20}$，施工5天完成的工作量为$\frac{1}{20}\times5=\frac{1}{4}$。剩下的工作量为$1\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。提高效率后工作效率变为$\frac{1}{20}\times(1+20\%)=\frac{1}{20}\times\frac{6}{5}=\frac{3}{50}$。完成剩下工作需要的时间为$\frac{3}{4}\div\frac{3}{50}=\frac{3}{4}\times\frac{50}{3}=12.5$（天）。总共用的时间为$5+12.5=17.5$（天）。

（二）工作总量减少的情况1.例题1一项工程，预计30人15天可以完成任务。工作4天后，又增加3人。如果每人工作效率相同，问可以提前几天完成任务？解：先求出工作总量，$30\times15=450$（人天）。30人工作4天完成的工作量为$30\times4=120$（人天）。剩下的工作量为$450120=330$（人天）。增加3人后人数变为$30+3=33$人。完成剩下工作需要的时间为$330\div33=10$天。原计划15天完成，已经工作4天，按原计划还需$154=11$天。所以提前的天数为$1110=1$天。2.例题2有一项工程，原计划用40人在规定时间内完成。开工5天后，因为调走10人，于是每人每天的工作量要增加相同的百分比才能按时完成任务。问每人每天的工作量要增加百分之几？解：设每人每天的工作量原来为1，工作总量为$40\timest$（$t$为规定时间）。40人工作5天完成的工作量为$40\times5=200$。剩下的工作量为$40\times(t5)$。调走10人后人数变为$4010=30$人。设每人每天工作量增加的百分比为$x$，则现在每人每天工作量为$1\times(1+x)$。可列方程：$200+30\times(1+x)\times(t5)=40t$化简得：$200+30t(1+x)150(1+x)=40t$$200+30t+30tx150150x=40t$$50+30tx150x=10t$因为原计划$40t$的工作量，40人工作，那么$t=\frac{40t}{40}$，代入上式得：$50+30x\times\frac{40t}{40}150x=10\times\frac{40t}{40}$$50+30tx150x=10t$由于$t$不为0，两边同时除以$t$得：$50/t+30x150x/t=10$又因为原计划40人完成工作，那么$40\times1\timest=40t$，即$t=1$时，$40\times1\times1=40$。所以$50+30x150x=10$$120x=40$$x=\frac{1}{3}\approx33.3\%$3.练习一项工程，计划25人工作若干天完成。工作5天后，调走5人，为了按时完成任务，每人的工作效率提高了25%，问原计划多少天完成这项工程？答案：设原计划$x$天完成，每人每天工作量为1，工作总量为$25x$。25人工作5天完成的工作量为$25\times5=125$。剩下的工作量为$25x125$。调走5人后人数变为$255=20$人，提高效率后每人每天工作量为$1\times(1+25\%)=1.25$。可列方程：$125+20\times1.25\t