科学和工程计算复习题及答案

科学和工程计算复习题及答案一、选择题

1.以下哪种方法不属于数值积分的基本方法（）A.梯形公式B.辛普森公式C.牛顿迭代法D.矩形公式

答案：C解析：牛顿迭代法是用于求解方程根的迭代方法，不属于数值积分的基本方法。梯形公式、辛普森公式和矩形公式是数值积分中常用的基本方法。

2.用二分法求方程$f(x)=0$在区间$[a,b]$内的根，若要求误差不超过$\epsilon$，则所需的迭代次数$n$至少为（）A.$\frac{\ln(ba)\ln\epsilon}{\ln2}$B.$\frac{\ln(ba)+\ln\epsilon}{\ln2}$C.$\frac{\ln\epsilon\ln(ba)}{\ln2}$D.$\frac{\ln(ba)}{\ln\epsilon\ln2}$

答案：A解析：二分法的误差估计公式为$|x_nx^*|\leq\frac{ba}{2^n}$，令$\frac{ba}{2^n}\leq\epsilon$，解出$n\geq\frac{\ln(ba)\ln\epsilon}{\ln2}$。

3.已知矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，则其行列式的值为（）A.2B.2C.1D.1

答案：A解析：对于二阶矩阵$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$，其行列式的值为$adbc$，所以矩阵$A$的行列式为$1\times42\times3=2$。

4.求解线性方程组$Ax=b$，当系数矩阵$A$满足（）时，雅可比迭代法和高斯赛德尔迭代法都收敛。A.对称正定B.严格对角占优C.主对角线元素非零D.行列式不为零

答案：B解析：严格对角占优矩阵是保证雅可比迭代法和高斯赛德尔迭代法收敛的一个充分条件。

5.用牛顿插值法构造插值多项式$P(x)$，已知插值节点$x_0,x_1,\cdots,x_n$及对应的函数值$f(x_0),f(x_1),\cdots,f(x_n)$，则$P(x)$中$x^k$的系数$a_k$（）A.仅与$x_0,x_1,\cdots,x_k$及$f(x_0),f(x_1),\cdots,f(x_k)$有关B.仅与$x_k$及$f(x_k)$有关C.与所有插值节点及函数值都有关D.与所有插值节点及函数值都无关

答案：A解析：牛顿插值多项式中$x^k$的系数$a_k$是通过差商来确定的，仅与$x_0,x_1,\cdots,x_k$及$f(x_0),f(x_1),\cdots,f(x_k)$有关。

6.设$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，将区间$[a,b]$进行$n$等分，取每个小区间的中点作为求积节点，用复化辛普森公式计算积分$\int_a^bf(x)dx$的近似值，其截断误差为（）A.$O(\frac{1}{n^2})$B.$O(\frac{1}{n^4})$C.$O(\frac{1}{n^3})$D.$O(\frac{1}{n})$

答案：B解析：复化辛普森公式的截断误差为$O(\frac{1}{n^4})$。

7.已知函数$f(x)$在$x=x_0$处的泰勒展开式为$f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(xx_0)^k$，若取前$n+1$项作为$f(x)$的近似，则截断误差$R_n(x)$为（）A.$\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(xx_0)^{n+1}$，其中$\xi$介于$x$与$x_0$之间B.$\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}(xx_0)^n$，其中$\xi$介于$x$与$x_0$之间C.$\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(xx_0)^k$D.$\sum_{k=n}^{\infty}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(xx_0)^k$

答案：A解析：这是泰勒展开式截断误差的拉格朗日型余项形式。

8.用追赶法求解三对角方程组$Ax=b$，其中$A=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{pmatrix}$，$b=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$，则解向量$x$的第二个分量$x_2$为（）A.$\frac{3}{4}$B.$\frac{1}{2}$C.$\frac{2}{3}$D.$\frac{4}{5}$

答案：A解析：用追赶法求解三对角方程组，先计算出相关系数，再逐步求解得到$x_2=\frac{3}{4}$。

9.设$A$是$n$阶方阵，且$\lambda$是$A$的一个特征值，则关于特征向量$x$（）A.唯一确定B.有有限个C.有无穷多个，且相差一个非零常数倍D.不存在

答案：C解析：对于矩阵$A$的一个特征值$\lambda$，其对应的特征向量有无穷多个，且这些特征向量相差一个非零常数倍。

10.计算函数$f(x)=x^32x+1$在$x=1.5$处的函数值，若采用秦九韶算法，其计算过程为（）A.$((1.5\times1.52)\times1.5+1)$B.$1.5\times(1.5\times(1.52)+1)$C.$((1.5\times(1.52))\times1.5+1)$D.$1.5\times(1.5\times1.52)+1$

答案：A解析：秦九韶算法将多项式变形为$f(x)=((x\timesx2)\timesx+1)$，代入$x=1.5$可得$((1.5\times1.52)\times1.5+1)$。

二、填空题

1.设$f(x)=\ln(1+x)$，则$f(x)$在$x=0$处的$n$阶导数$f^{(n)}(0)=$______。

答案：$(1)^{n1}(n1)!$解析：根据函数的求导公式和规律，对$f(x)=\ln(1+x)$求导可得$f^{(n)}(x)=\frac{(1)^{n1}(n1)!}{(1+x)^n}$，将$x=0$代入得$f^{(n)}(0)=(1)^{n1}(n1)!$。

2.用欧拉法求解初值问题$\begin{cases}y^\prime=x+y\\y(0)=1\end{cases}$，取步长$h=0.1$，则$y(0.1)\approx$______。

答案：$1.21$解析：欧拉法的计算公式为$y_{n+1}=y_n+hf(x_n,y_n)$，这里$f(x,y)=x+y$，$x_0=0$，$y_0=1$，$h=0.1$，则$y(0.1)=y_1=y_0+hf(x_0,y_0)=1+0.1\times(0+1)=1.1$，$y(0.2)=y_2=y_1+hf(x_1,y_1)=1.1+0.1\times(0.1+1.1)=1.22$，$y(0.1)\approx1.21$（保留两位小数）。

3.已知向量$\vec{a}=(1,2,3)$，$\vec{b}=(4,5,6)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}=$______。

答案：$32$解析：向量点积的计算公式为$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$，所以$\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times4+2\times5+3\times6=4+10+18=32$。

4.设矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}$，则$A$的秩$r(A)=$______。

答案：$2$解析：对矩阵$A$进行初等行变换，化为阶梯形矩阵，可发现非零行的行数为$2$，所以$r(A)=2$。

5.用高斯消去法求解线性方程组$\begin{cases}x+2y=3\\3x+5y=4\end{cases}$，消元后的方程组为______。

答案：$\begin{cases}x+2y=3\\y=5\end{cases}$解析：用第一个方程乘以$3$减去第二个方程消去$x$，得到$y=5$，原方程组化为$\begin{cases}x+2y=3\\y=5\end{cases}$。

6.已知插值节点$x_0=0$，$x_1=1$，$x_2=2$，对应的函数值$f(x_0)=1$，$f(x_1)=2$，$f(x_2)=4$，则拉格朗日插值多项式$L_2(x)=$______。

答案：$1+x+x^2$解析：根据拉格朗日插值公式$L_2(x)=\sum_{i=0}^{2}f(x_i)l_i(x)$，其中$l_i(x)=\frac{\prod_{j=0,j\neqi}^{2}(xx_j)}{\prod_{j=0,j\neqi}^{2}(x_ix_j)}$，分别计算可得$L_2(x)=1\times\frac{(x1)(x2)}{(01)(02)}+2\times\frac{(x0)(x2)}{(10)(12)}+4\times\frac{(x0)(x1)}{(20)(21)}=1+x+x^2$。

7.用改进的欧拉法求解初值问题$\begin{cases}y^\prime=y\\y(0)=1\end{cases}$，取步长$h=0.1$，则$y(0.1)\approx$______。

答案：$0.905$解析：改进的欧拉法公式为$\begin{cases}y_{p}=y_n+hf(x_n,y_n)\\y_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}(f(x_n,y_n)+f(x_{n+1},y_{p}))\end{cases}$，这里$f(x,y)=y$，$x_0=0$，$y_0=1$，$h=0.1$，先计算$y_p=y_0+hf(x_0,y_0)=1+0.1\times(1)=0.9$，再计算$y(0.1)=y_1=y_0+\frac{h}{2}(f(x_0,y_0)+f(x_1,y_p))=1+\frac{0.1}{2}(10.9)=0.905$。

8.已知矩阵$A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$，其特征值为$\lambda_1=1$，$\lambda_2=3$，对应的特征向量分别为$\vec{p}_1=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$，$\vec{p}_2=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$，则将矩阵$A$对角化后的相似变换矩阵$P=$______。

答案：$\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$解析：相似变换矩阵$P$由特征向量组成，所以$P=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$。

9.用牛顿柯特斯公式计算积分$\int_0^1x^2dx$，当取$n=2$时，其近似值为______。

答案：$\frac{1}{3}$解析：当$n=2$时，牛顿柯特斯公式为辛普森公式，$\int_0^1x^2dx\approx\frac{10}{6}(0^2+4\times(\frac{1}{2})^2+1^2)=\frac{1}{3}$。

10.设$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$f(a)f(b)\lt0$，用二分法求方程$f(x)=0$在区间$[a,b]$内的根，若第$k$次迭代后得到的区间为$[a_k,b_k]$，则区间长度$b_ka_k=$______。

答案：$\frac{ba}{2^k}$解析：二分法每次迭代区间长度减半，所以第$k$次迭代后区间长度$b_ka_k=\frac{ba}{2^k}$。

三、简答题

1.简述数值计算中误差的来源及分类。

答案：数值计算中的误差来源主要有以下几类：模型误差：数学模型是对实际问题的近似描述，模型与实际问题之间的差异导致的误差称为模型误差。观测误差：通过测量得到的数据往往存在误差，这种由测量引起的误差称为观测误差。截断误差：在数值计算中，通常用有限的计算过程代替无限的计算过程，由此产生的误差称为截断误差。例如用泰勒多项式近似代替函数时，取有限项所带来的误差。舍入误差：计算机在进行数值计算时，只能表示有限位数的数，对数字进行四舍五入等处理会产生舍入误差。

误差可分为绝对误差和相对误差。绝对误差是指近似值与准确值之差；相对误差是指绝对误差与准确值之比，通常用百分数表示。

2.什么是高斯消去法？简述其基本步骤。

答案：高斯消去法是一种求解线性方程组的基本方法。

其基本步骤如下：消元过程：对于线性方程组$Ax=b$，将其增广矩阵$(A|b)$进行初等行变换。从第一个方程开始，通过消元操作将后面方程中第一个未知数的系数化为零。依次对每个方程进行类似操作，将方程组化为上三角方程组。回代过程：对上三角方程组从最后一个方程开始，依次求解未知数。利用已求出的未知数的值代入前面的方程，逐步求出所有未知数的值。

3.简述牛顿迭代法的原理，并说明其收敛的条件。

答案：牛顿迭代法是用于求解方程$f(x)=0$的一种迭代方法。

其原理是：设$f(x)$在包含根$x^*$的区间$[a,b]$上具有连续的二阶导数，取初始近似值$x_0\in[a,b]$，然后通过迭代公式$x_{n+1