经济数学基础形成性考核册

经济数学基础形成性考核册一、课程概述经济数学基础是经济类和管理类专业的一门重要基础课程，它为后续的专业课程学习提供了必要的数学工具和方法。本课程主要涵盖了函数、极限与连续、导数与微分、导数应用、积分及其应用等内容。通过学习，学生将掌握经济分析中常用的数学模型和方法，培养逻辑思维能力、数学运算能力以及运用数学知识解决实际经济问题的能力。

二、各章节知识点总结

（一）函数1.函数的概念函数是一种对应关系，设集合A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。例如，某企业的生产成本C与产量q之间的关系可以用函数C=C(q)来表示，其中q是自变量，C是因变量。2.函数的定义域函数的定义域是自变量x的取值范围。确定函数定义域时，要考虑使函数有意义的各种条件。比如，对于分式函数，分母不能为零；对于根式函数，根号下的式子要大于等于零。例如，函数\(y=\frac{1}{x2}\)的定义域是\(x≠2\)；函数\(y=\sqrt{x+3}\)的定义域是\(x≥3\)。3.函数的性质单调性：设函数y=f(x)在区间I上有定义，如果对于区间I内的任意两点\(x_1\)、\(x_2\)，当\(x_1<x_2\)时，都有\(f(x_1)<f(x_2)\)（或\(f(x_1)>f(x_2)\)），那么就称函数y=f(x)在区间I上是单调增加（或单调减少）的。例如，函数\(y=2x+1\)在\((∞,+∞)\)上是单调增加的。奇偶性：设函数y=f(x)的定义域关于原点对称，如果对于定义域内的任意x，都有\(f(x)=f(x)\)，那么函数y=f(x)称为偶函数；如果对于定义域内的任意x，都有\(f(x)=f(x)\)，那么函数y=f(x)称为奇函数。例如，\(y=x^2\)是偶函数，\(y=x^3\)是奇函数。周期性：设函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，\(f(x+T)=f(x)\)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。例如，\(y=sinx\)是周期函数，其周期是\(2π\)。

（二）极限与连续1.极限的概念数列极限：对于数列\(\{x_n\}\)，如果当n无限增大时，\(x_n\)无限趋近于一个确定的常数A，那么就称常数A为数列\(\{x_n\}\)的极限，记作\(\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=A\)。例如，数列\(x_n=\frac{1}{n}\)，当\(n\rightarrow\infty\)时，\(x_n\rightarrow0\)，即\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0\)。函数极限：当自变量x无限趋近于某个值\(x_0\)（或\(x\rightarrow\infty\)）时，如果函数\(y=f(x)\)无限趋近于一个确定的常数A，那么就称A为函数\(y=f(x)\)当\(x\rightarrowx_0\)（或\(x\rightarrow\infty\)）时的极限，记作\(\lim_{x\rightarrowx_0}f(x)=A\)（或\(\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=A\)）。例如，\(\lim_{x\rightarrow2}(3x1)=3×21=5\)。2.极限的运算法则设\(\lim_{x\rightarrowx_0}f(x)=A\)，\(\lim_{x\rightarrowx_0}g(x)=B\)，则\(\lim_{x\rightarrowx_0}[f(x)\pmg(x)]=\lim_{x\rightarrowx_0}f(x)\pm\lim_{x\rightarrowx_0}g(x)=A\pmB\)；\(\lim_{x\rightarrowx_0}[f(x)\cdotg(x)]=\lim_{x\rightarrowx_0}f(x)\cdot\lim_{x\rightarrowx_0}g(x)=A\cdotB\)；当\(B≠0\)时，\(\lim_{x\rightarrowx_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\rightarrowx_0}f(x)}{\lim_{x\rightarrowx_0}g(x)}=\frac{A}{B}\)。例如，已知\(\lim_{x\rightarrow3}f(x)=2\)，\(\lim_{x\rightarrow3}g(x)=4\)，则\(\lim_{x\rightarrow3}[f(x)+g(x)]=2+4=6\)，\(\lim_{x\rightarrow3}[f(x)\cdotg(x)]=2×4=8\)，\(\lim_{x\rightarrow3}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)。3.两个重要极限\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{sinx}{x}=1\)，利用这个重要极限可以求一些与三角函数有关的极限。例如，\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{sin2x}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{sin2x}{2x}×2=2\)。\(\lim_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e\)，其中\(e\approx2.71828\)。例如，\(\lim_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{2}{x})^x=\lim_{x\rightarrow\infty}[(1+\frac{1}{\frac{x}{2}})^{\frac{x}{2}}]^2=e^2\)。4.函数的连续性设函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)的某一邻域内有定义，如果\(\lim_{x\rightarrowx_0}f(x)=f(x_0)\)，那么就称函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)处连续。例如，函数\(y=x^2\)在\(x=1\)处连续，因为\(\lim_{x\rightarrow1}x^2=1^2=1\)。

（三）导数与微分1.导数的概念函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)处的导数\(f^\prime(x_0)\)定义为\(f^\prime(x_0)=\lim_{\Deltax\rightarrow0}\frac{f(x_0+\Deltax)f(x_0)}{\Deltax}\)。例如，对于函数\(y=x^2\)，\(f^\prime(x)=\lim_{\Deltax\rightarrow0}\frac{(x+\Deltax)^2x^2}{\Deltax}=\lim_{\Deltax\rightarrow0}\frac{x^2+2x\Deltax+\Deltax^2x^2}{\Deltax}=\lim_{\Deltax\rightarrow0}(2x+\Deltax)=2x\)，则\(f^\prime(1)=2\)。2.导数的几何意义函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)处的导数\(f^\prime(x_0)\)就是曲线\(y=f(x)\)在点\((x_0,f(x_0))\)处的切线斜率。例如，曲线\(y=x^2\)在点\((1,1)\)处的切线斜率为\(f^\prime(1)=2\)，根据点斜式可得切线方程为\(y1=2(x1)\)，即\(y=2x1\)。3.导数的基本公式与运算法则基本公式：\((C)^\prime=0\)（C为常数）；\((x^n)^\prime=nx^{n1}\)；\((sinx)^\prime=cosx\)；\((cosx)^\prime=sinx\)；\((e^x)^\prime=e^x\)；\((a^x)^\prime=a^x\lna\)（\(a>0,a≠1\)）；\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)；\((log_ax)^\prime=\frac{1}{x\lna}\)（\(a>0,a≠1\)）。运算法则：\((u\pmv)^\prime=u^\prime\pmv^\prime\)；\((uv)^\prime=u^\primev+uv^\prime\)；\((\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\primevuv^\prime}{v^2}\)（\(v≠0\)）。例如，已知\(y=3x^2+sinx\)，则\(y^\prime=(3x^2)^\prime+(sinx)^\prime=6x+cosx\)；若\(y=x^2e^x\)，则\(y^\prime=(x^2)^\primee^x+x^2(e^x)^\prime=2xe^x+x^2e^x=e^x(x^2+2x)\)。4.微分的概念函数\(y=f(x)\)在点\(x\)处的微分\(dy=f^\prime(x)dx\)。例如，对于函数\(y=x^2\)，\(y^\prime=2x\)，则\(dy=2xdx\)。

（四）导数应用1.函数的单调性设函数\(y=f(x)\)在区间I内可导，如果\(f^\prime(x)>0\)，那么函数\(y=f(x)\)在区间I内单调增加；如果\(f^\prime(x)<0\)，那么函数\(y=f(x)\)在区间I内单调减少。例如，对于函数\(y=x^22x\)，\(y^\prime=2x2\)，令\(y^\prime>0\)，即\(2x2>0\)，解得\(x>1\)；令\(y^\prime<0\)，即\(2x2<0\)，解得\(x<1\)。所以函数\(y=x^22x\)在\((1,+∞)\)上单调增加，在\((∞,1)\)上单调减少。2.函数的极值设函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)的某邻域内有定义，如果对于该邻域内异于\(x_0\)的任意一点x，都有\(f(x)<f(x_0)\)（或\(f(x)>f(x_0)\)），那么就称\(f(x_0)\)是函数\(y=f(x)\)的一个极大值（或极小值）。求函数极值的步骤：求导数\(f^\prime(x)\)；令\(f^\prime(x)=0\)，求出驻点；用驻点将定义域分成若干区间，判断\(f^\prime(x)\)在各区间的符号，确定极值点；求出极值。例如，对于函数\(y=x^33x^2\)，\(y^\prime=3x^26x=3x(x2)\)，令\(y^\prime=0\)，得驻点\(x=0\)和\(x=2\)。当\(x<0\)时，\(y^\prime>0\)；当\(0<x<2\)时，\(y^\prime<0\)；当\(x>2\)时，\(y^\prime>0\)。所以\(x=0\)是极大值点，极大值为\(y(0)=0\)；\(x=2\)是极小值点，极小值为\(y(2)=2^33×2^2=4\)。3.函数的最值求函数在闭区间\([a,b]\)上最值的步骤：求函数\(y=f(x)\)在\((a,b)\)内的驻点和不可导点；计算函数在驻点、不可导点以及区间端点\(a\)、\(b\)处的函数值；比较这些函数值的大小，最大的就是最大值，最小的就是最小值。例如，求函数\(y=x^33x\)在\([3,3]\)上的最值。\(y^\prime=3x^23=3(x+1)(x1)\)，驻点为\(x=1\)和\(x=1\)。计算\(y(3)=(3)^33×(3)=18\)，\(y(1)=(1)^33×(1)=2\)，\(y(1)=1^33×1=2\)，\(y(3)=3^33×3=18\)。所以最大值为\(18\)，最小值为\(18\)。

（五）积分及其应用1.不定积分的概念如果在区间I内，可导函数F(x)的导函数为f(x)，即对任一x∈I，都有\(F^\prime(x)=f(x)\)或\(dF(x)=f(x)dx\)，那么函数F(x)就称为f(x)（或\(f(x)dx\)）在区间I内的一个原函数。函数\(f(x)\)的全体原函数叫做\(f(x)\)的不定积分，记作\(\intf(x)dx\)。例如，因为\((x^2)^\prime=2x\)，所以\(x^2\)是\(2x\)的一个原函数，\(\int2xdx=x^2+C\)（C为任意常数）。2.不定积分的基本公式与运算法则基本公式：\(\int0dx=C\)；\(\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C\)（\(n≠1\)）；\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)；\(\intsinxdx=cosx+C\)；\(\i