第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式

第2课时用待定系数法求二次函数的解析式一、教学目标1.知识与技能目标学生能够理解待定系数法求二次函数解析式的原理。熟练掌握用待定系数法求二次函数的三种常见形式：一般式\(y=ax^2+bx+c(a≠0)\)、顶点式\(y=a(xh)^2+k(a≠0)\)、交点式\(y=a(xx_1)(xx_2)(a≠0)\)。能根据已知条件选择合适的形式准确求出二次函数的解析式，并能运用解析式解决相关的数学问题。2.过程与方法目标通过对不同已知条件下求二次函数解析式方法的探究，培养学生分析问题、解决问题的能力以及逻辑思维能力。经历待定系数法求二次函数解析式的过程，体会从特殊到一般、再从一般到特殊的数学思想方法，提高学生的数学建模能力。3.情感态度与价值观目标通过解决实际问题，让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。在探究活动中，培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强学生的学习自信心。

二、教学重难点1.教学重点理解待定系数法求二次函数解析式的思路和方法。掌握根据不同条件选择恰当的二次函数形式来求解解析式。2.教学难点如何引导学生根据题目所给条件准确选择合适的二次函数解析式形式进行求解。灵活运用二次函数解析式解决实际问题，培养学生的数学应用意识和综合运用知识的能力。

三、教学方法1.讲授法：通过简洁明了的语言，向学生讲解待定系数法的概念、原理以及求二次函数解析式的具体步骤，使学生对新知识有初步的认识和理解。2.讨论法：组织学生就不同条件下如何选择二次函数解析式形式展开讨论，激发学生的思维，促进学生之间的交流与合作，培养学生的团队精神和自主探究能力。3.练习法：设计有针对性的练习题，让学生通过实际操作，巩固所学知识，提高运用待定系数法求二次函数解析式的技能，及时反馈学生对知识的掌握情况。

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）1.展示问题已知一个二次函数的图象经过点\((1,0)\)，\((2,0)\)，\((3,4)\)，你能求出这个二次函数的解析式吗？2.引导思考让学生回顾一次函数解析式的求法，思考如何利用已知点的坐标来确定二次函数的解析式。3.引出课题从而引出本节课的主题用待定系数法求二次函数的解析式。

（二）知识讲解（15分钟）1.待定系数法的概念讲解：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法。强调：待定系数法的关键在于根据已知条件列出关于未知系数的方程（组），然后求解方程（组）得到系数的值。2.二次函数的三种常见形式一般式：\(y=ax^2+bx+c(a≠0)\)顶点式：\(y=a(xh)^2+k(a≠0)\)，其中\((h,k)\)为抛物线的顶点坐标。交点式：\(y=a(xx_1)(xx_2)(a≠0)\)，其中\(x_1\)，\(x_2\)是抛物线与\(x\)轴交点的横坐标。结合二次函数的图象，详细讲解三种形式的特点和适用情况：一般式：当已知二次函数图象上任意三个点的坐标时，可设一般式求解。顶点式：已知二次函数的顶点坐标或对称轴以及图象上另一点的坐标时，设顶点式较为简便。交点式：已知二次函数与\(x\)轴的两个交点坐标以及图象上另一点的坐标时，选用交点式求解。

（三）例题讲解（20分钟）1.例1：已知二次函数的图象经过\((1,0)\)，\((1,4)\)，\((0,3)\)三点，求这个二次函数的解析式。分析：已知图象经过三个点的坐标，设一般式\(y=ax^2+bx+c(a≠0)\)，将三点坐标分别代入一般式，得到一个关于\(a\)，\(b\)，\(c\)的三元一次方程组，解方程组即可求出\(a\)，\(b\)，\(c\)的值。解：设二次函数的解析式为\(y=ax^2+bx+c(a≠0)\)。把\((1,0)\)，\((1,4)\)，\((0,3)\)分别代入解析式得：\(\begin{cases}a+b+c=0\\ab+c=4\\c=3\end{cases}\)将\(c=3\)代入前两个方程可得：\(\begin{cases}a+b3=0\\ab3=4\end{cases}\)化简第二个方程得\(ab=1\)。与\(a+b=3\)相加，消去\(b\)可得：\(2a=2\)，解得\(a=1\)。将\(a=1\)代入\(a+b=3\)，可得\(1+b=3\)，解得\(b=2\)。所以，二次函数的解析式为\(y=x^2+2x3\)。总结：对于已知三点坐标求二次函数解析式的问题，设一般式求解，通过代入点的坐标得到方程组，解方程组确定系数。2.例2：已知二次函数的顶点坐标为\((2,1)\)，且经过点\((3,1)\)，求这个二次函数的解析式。分析：已知顶点坐标，设顶点式\(y=a(xh)^2+k(a≠0)\)，将顶点坐标\((2,1)\)代入可得\(y=a(x2)^21\)，再把点\((3,1)\)代入求出\(a\)的值。解：设二次函数的解析式为\(y=a(x2)^21(a≠0)\)。把\((3,1)\)代入解析式得：\(a(32)^21=1\)\(a1=1\)解得\(a=2\)。所以，二次函数的解析式为\(y=2(x2)^21=2x^28x+7\)。总结：当已知顶点坐标时，设顶点式求解，代入顶点坐标后再利用另一点坐标求出\(a\)的值。3.例3：已知二次函数的图象与\(x\)轴交于\(A(1,0)\)，\(B(3,0)\)两点，且经过点\(C(0,3)\)，求这个二次函数的解析式。分析：已知二次函数与\(x\)轴的两个交点坐标，设交点式\(y=a(xx_1)(xx_2)(a≠0)\)，将交点坐标\(A(1,0)\)，\(B(3,0)\)代入可得\(y=a(x+1)(x3)\)，再把点\(C(0,3)\)代入求出\(a\)的值。解：设二次函数的解析式为\(y=a(x+1)(x3)(a≠0)\)。把\((0,3)\)代入解析式得：\(a(0+1)(03)=3\)\(3a=3\)解得\(a=1\)。所以，二次函数的解析式为\(y=(x+1)(x3)=x^22x3\)。总结：已知与\(x\)轴的两个交点坐标时，设交点式求解，代入另一点坐标求出\(a\)的值。

（四）课堂练习（15分钟）1.已知二次函数的图象经过\((0,1)\)，\((1,2)\)，\((2,1)\)三点，求这个二次函数的解析式。2.已知二次函数的顶点坐标为\((3,2)\)，且经过点\((1,2)\)，求这个二次函数的解析式。3.已知二次函数的图象与\(x\)轴交于\(M(2,0)\)，\(N(4,0)\)两点，且经过点\(P(0,4)\)，求这个二次函数的解析式。学生独立完成练习，教师巡视指导，及时纠正学生的错误。请三位同学上台板演，其他同学在练习本上完成，然后教师进行点评，强调解题的思路和关键步骤。

（五）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾本节课所学内容待定系数法求二次函数解析式的原理。二次函数的三种常见形式及其适用情况。根据不同已知条件选择合适的形式求二次函数解析式的方法。2.让学生分享本节课的收获和体会鼓励学生积极发言，培养学生的语言表达能力和总结归纳能力。教师对学生的发言进行补充和完善，强调重点知识和易错点。

（六）布置作业（5分钟）1.基础作业已知二次函数的图象经过\((2,1)\)，\((1,1)\)，\((1,5)\)三点，求这个二次函数的解析式。已知二次函数的顶点坐标为\((1,4)\)，且经过点\((2,3)\)，求这个二次函数的解析式。已知二次函数的图象与\(x\)轴交于\(A(1,0)\)，\(B(3,0)\)两点，且经过点\(C(2,1)\)，求这个二次函数的解析式。2.拓展作业已知抛物线\(y=ax^2+bx+c\)经过点\((1,0)\)，\((3,0)\)，其顶点到\(x\)轴的距离为\(2\)，求此抛物线的解析式。某商品的进价为每件\(40\)元，售价为每件\(60\)元时，每个月可卖出\(100\)件；如果每件商品的售价每上涨\(1\)元，则每个月少卖\(2\)件。设每件商品的售价为\(x\)元（\(x≥60\)），每个月的销售利润为\(y\)元。（1）求\(y\)与\(x\)的函数关系式。（2）当售价定为多少元时，每个月的利润最大？最大利润是多少？基础作业面向全体学生，巩固本节课所学的基础知识；拓展作业则供学有余力的学生选做，培养学生的综合运用知识和解决实际问题的能力。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对用待定系数法求二次函数的解析式有了较为系统的认识和掌握。在教学过程中，通过引导学生分析不同已知条件下如何选择合适的函数形式，培养了学生的逻辑